Equations de Maxwell - Energie du champ électromagnétique.
Objectifs: Présenter sous forme unifiée les équations fondamentales de l’électromagnétique.
Etudier les transferts énergétiques entre champ et matière.
Table des matières
I Equations de Maxwell 2
I.1 Equation de conservation de la charge . . . 2
I.2 Bilan sur les lois intégrales statiques . . . 4
I.3 Les équations de Maxwell . . . 6
I.4 Propagation d’onde . . . 7
II Approximation des régimes stationnaires 9 II.1 Problème de propagation du champ . . . 9
II.2 ARQS magnétique . . . 10
II.3 Equations de Maxwell dans l’ARQS . . . 10
III Energie du champ électromagnétique 12 III.1 Force de Lorentz et densité volumique . . . 12
III.2 Puissance cédée du champ aux charges . . . 13
III.3 Bilan de Poynting et identité de Poynting . . . 14
I Equations de Maxwell
Les équations de Maxwell sont un ensemble de quatre équations locales sur les champs vectoriels électrique et ma- gnétique. Elles posent le cadre de l’électromagnétisme et permettent de déterminer l’ensemble des propriétés du champ appeléchamp électromagnétique. Les phénomènes d’optique géométrique, la propagation des ondes hertzienne ou l’électrocinétique et bien d’autre domaine peuvent être décrit sous le cadre unificateur des équations de Maxwell.
Elles constituent le postulat de l’électromagnétisme et n’ont jamais, encore, été mise en défaut. Elle sont également à l’origine de la relativité restreinte qui décrit, entre autre, les changements de référentiel galiléen grâce aux transfor- mation de Lorentz.
Dans ce chapitre nous devrons considérer des champs tels que :
−
→E(M, t)
−
→B(M, t)
I.1 Equation de conservation de la charge
Soit un référentiel galiléen.
Considérons un ensemble de charges dont une partie est immobile et une autre mobile. On note : qi et nvi respectivement la charge et le nombre de charge par unité de volume des charges immobiles ; qm et nvm la charge et le nombre de charge par unité de volume des charges en mouvement dans le référentiel gali- léen.
On note également −→v la vitesse commune à toutes les charges mo- biles.
La charge est unegrandeur conservative, elle ne peut être ni créée ni détruite mais elle est seulementéchangée.
Si on choisit un volume dans le milieu décrit précédemment et qu’on observe une évolution de la quantité de charge dans le volume, alors c’est qu’une partie des charges ont traversé la surface délimitant ce volume. On cherche une équation permettant de décrire cette conservation.
Pour simplifier le problème sans perdre de généralité on considère un problème à une dimension. Alors la vitesse
−
→v(M, t) =−→v(x, t), la densité de courant volumique dans le milieu s’exprime :−→
j(M, t) =qm.nvm.−→v(M, t)
−
→j(M, t) =−→
j(x, t) =j(x, t)−→ex. La densité volumique de charges dans le milieu :
ρ(M, t) =ρ(x, t) =nvi.qi+nvm.qm
Considérons un volume élémentaire cylindrique dτ appelée vo- lume de contrôle, de section −→
dS entre x et x + dx. On réa- lise un bilan des charges contenues dans cet élément de vo- lume.
Notons δQ(t) la charge totale contenue dans le volume dτ à la date t:
δQ(t) =ρ(x, t)dτ =ρ(x, t).dS.dx.
A la date t+dt ultérieur, la charge contenue dans le même volume est :
δQ(t+dt) =ρ(x, t+dt).dS.dx
D’après l’analyse précédente siδQ(t+dt)6=δQ(t), alors des charges traversent les sectionsdS(x) etdS(x+dx). On appelle charge entranteδQentrantla quantité de charges qui traversentdS(x) et charge sortanteδQsortant la quantité
de charges qui traversentdS(x+dx).
Finalement siδQ(t)6=δQ(t+dt), alorsδQentrant6=δQsortant.
Bien entendu seules les charges mobiles peuvent entrer ou sortir du volume de contrôle alors : δQentrant=−→
j(x, t).−→ dS(x).dt δQsortant=−→
j(x+dx).−→
dS(x+dx).dt
Remarquons ici quedS(x) =dS(x+dx). La conservation de la charge se traduit par : δQ(t+dt)−δQ(t) = δQentrant−δQsortant
(ρ(x, t+dt)−ρ(x, t))dS.dx = (j(x, t)−j(x+dx, t))dS.dt
∂ρ(x, t)
∂t dS.dx.dt = −∂j(x, t)
∂x dS.dt.dx
∂ρ(x, t)
∂t = −∂j(x, t)
∂x Propriété:
La charge est une grandeur conservative, elle ne peut être ni créée ni détruite, mais elle est seulement échangée.
Cette propriété se traduit parl’équation de conservation de la charge. Pour un problème à une dimension suivantOxcette équation s’écrit :
∂ρ
∂t(x, t) =−∂j
∂x(x, t) On admet la généralisation à trois dimension d’espace :
∂ρ
∂t(M, t) +div−→
j(M, t) = 0 Remarque :
Cette loi est une loi locale, elle s’exprime en un pointM de l’espace.
Pour obtenir la formulation intégrale il suffit d’en calculer l’intégrale sur un volumeV de l’espace. On obtient alors : ˆˆˆ
V
∂ρ
∂t(M, t)dτ = ˆˆˆ
V
div−→
j(M, t)dτ Le théorème de Green-Ostrogradsky donne :
ˆˆˆ
V
div−→
j(M, t)dτ =
‹
Σ
−
→j(M, t).−→ dS(M) avec Σ la surface définissant la frontière du volumeV. Finalement on trouve :
ˆˆˆ
V
∂ρ
∂t(M, t)dτ =−
‹
Σ
−
→j(M, t).−→ dS(M)
Propriété:
L’équation de conservation de la charge peut s’écrire sous forme intégrale. Elle se traduit alors pour un volumeV
par l’équation : ˆˆˆ
V
∂ρ
∂t(M, t)dτ =−
‹
Σ
−
→j(M, t).−→ dS(M)
Exemple d’utilisation : loi des noeuds
Considérons un noeud dans un circuit. On note−→
j1 la densité volumique de courant entrant dans le noeud et−→
j2et−→
j3les densités de courant sortantes.
On note −→ dS1,−→
dS2 et −→
dS3 les sections du noeuds engendrées par une surface fermée Σ qui englobe le noeud.
Considérons que le régime est stationnaire, c’est-à-dire que ∂ρ
∂t(M, t) = 0.
Dans ce cas stationnaire la loi de conservation de la charge s’écrit : div−→
j(M) = 0
La densité volumique de courant est à flux conservatif.
La loi intégrale de conservation de la charge donne :
‹ −→ j .−→
dS= 0
Comme la densité volumique de courant est nulle en dehors du conducteur on peut écrire :
‹ −→ j .−→
dS= ˆˆ
S1
−
→j1.−→ dS1+
ˆˆ
S2
−
→j2.−→ dS2+
ˆˆ
S3
−
→j3.−→ dS3= 0 En tenant compte des orientations relatives des courants et des surfaces on trouve :
−I1+I2+I3 = 0 I1−I2−I3 = 0 Propriété:
Enrégime stationnairela loi de conservation de la charge s’écrit :div−→
j(M) = 0, elle permet de retrouver la loi des noeuds.
I.2 Bilan sur les lois intégrales statiques
En électrostatique comme en magnétostatique nous avons déjà vu des lois intégrales sur les champs −→ E(M) et
−
→B(M) : Propriété:
Enrégime statique, indépendant du temps, les champs électrostatiques obéissent à quatre équations intégrales : Théorème de Gauss
‹
Σ
−
→E(M).−→
dS(M) =Qint
ε0 Circulation conservative
˛
Γ
−
→E(M).−→
dl(M) = 0
Flux conservatif
‹
Σ
−
→B(M).−→
dS(M) = 0
Théorème d’Ampère
˛
Γ
−
→B(M).−→
dl(M) =µ0.Ienlacé
Lorsque les champs sont également fonction du temps deux de ces équations restent inchangées, ce sont le théorème de Gauss et la propriété de conservation du flux du champ magnétique.
Les deux autres doivent être adaptées car elles ne sont pas cohérentes avec l’induction de Faraday et la loi de conservation de la charge.
Considérons dans un premier temps un solénoïde infini de rayonRparcouru par un courant d’intensitéI(t) fonction du temps.
I(t)
Choisissant une base d’étude cylindrique d’axeOz(−→er,−→eθ,−→ez), en un pointM de l’espace. On remarque qu’on retrouve les mêmes symétries et invariances que celles étudiées en magnétostatique : (M,−→er,−→eθ) est un plan de symétrie de la distribution de courant. Cette distribution est invariante par rotation d’angle θet translation suivantz. Le principe de Curie implique :
−
→B(M, t) =B(r, t)−→ez
On fait l’hypothèse que l’expression du champ magnétique est la même en régime dépendant du temps, alors :
−
→B(M, t) =µ0.n.I(t) avecnle nombre de spires par unité de longueur du solénoïde.
On cherche à exprimer laforce électromotrice induite, la loi de Faraday donne : e(t) =−dΦB
dt =−N.dϕB
dt
avecϕBle flux du champ magnétique à travers une unique spire. Finalement avecϕB = ˆˆ
Spire
−
→B(x, t).−→
dSon obtient : e(t) =−N.µ0.n.dI
dtπ.R2=N.ei(t) en notantei(t) la f.e.m induite dans une unique spire.
I(t) ei(t) Cette f.e.m est une différence de potentiel, par définition on peut l’ex-
primer comme la circulation du champ électrique le long d’un contour s’ap- puyant sur une spire : contour soutenant la surface de calcul du flux du champ magnétique. On écrit alors :
e(t) =N.
˛
Spire
−
→E(M, t).−→ dl Remarques :
i-En régime dépendant du temps il existe des champs électriques qui ne sont
pas à circulation conservative. La loi de l’induction de Faraday peut donc se mettre sous la forme :
˛
Γ
−
→E(M, t).−→
dl(M) =−d dt
ˆˆ
Σ
−
→B(M, t).−→ dS(M)
avec Γ le contour fermé définissant la surface ouverte Σ.
ii- Dans le cas du solénoïde infini on trouve−→ E et −→
dl sont colinéaire, alors−→
E(M, t) =E(r, t)−→eθ, contenu dans le plan de symétrie de la distribution de courant.
On peut en déduire que les plans d’anti-symétrie de−→
B sont des plans de symétrie de−→ E. Propriété:
En régime dépendant du temps la loi de l’induction de Faraday s’écrit sous forme intégrale :
˛
Γ
−
→E(M, t).−→
dl(M) =−d dt
ˆˆ
Σ
−
→B(M, t).−→ dS(M)
avec Γ le contour fermé définissant la surface ouverte Σ à travers laquelle on calcul le flux du champ magnétique.
I.3 Les équations de Maxwell
Propriété:
Le champ électromagnétique −→
E(M, t),−→ B(M, t)
créé par des distributions de charges ρ(M, t) et de courants
−
→j(M, t), obéit à un ensemble de quatre équations appeléeséquations de Maxwell:
Equation de Maxwell-Gauss (MG) div−→
E(M, t) =ρ(M, t) ε0
Equation de Maxwell-Faraday (MF) −→ rot−→
E(M, t) =−∂−→ B(M, t)
∂t Equation de Maxwell-flux (MT) div−→
B(M, t) = 0
Equation de Maxwell-Ampère (MA) −→ rot −→
B(M, t) =µ0
−
→j(M, t) +µ0ε0
∂−→ E(M, t)
∂t Ces quatre équations et la force de Lorentz, constituent le postula de l’électromagnétisme.
Remarques :
i-Les équations de Maxwell sont des équations locales linéaires, elles sont vérifiées en un point M de l’espace pour toute datet.
ii- Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday sont des équations dite de structure. C’est-à-dire quelle per- mettent de déduire les propriétés intrinsèques au champ électromagnétique. Elles permettent de trouver "l’organisation respective" des vecteurs−→
E et −→ B.
iii-Les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère permettent de relier les champs−→ E et −→
B à leur source.
On remarque qu’une source de−→
B est le terme ε0
∂−→ E
∂t qui n’apparait pas en régime stationnaire.
On cherche une raison de cette introduction.
Calculons la divergence de l’équation de Maxwell-Ampère : div−→
rot−→ B(M, t)
=div µ0
−
→j(M, t) +µ0ε0
∂−→ E(M, t)
∂t
!
Ici les variables d’espace et de temps ne sont pas corrélées, on peut intervertir les dérivées partielles temporelles
∂
∂t et les opérateurs vectoriels. Et puisdiv−→ rot−→
B = 0 : 0 =µ0div−→
j(M, t) +µ0ε0∂div−→ E(M, t)
∂t En utilisant l’équation de Maxwell-Gauss :div−→
E(M, t) = ρ(M, t) ε0
. Finalement :
∂ρ(M, t)
∂t +div−→
j(M, t) = 0 Définition:
On appelle courant de déplacement le terme ε0
∂−→ E(M, t)
∂t = −→
jD(M, t). Il constitue une source du champ magnétique qui n’apparait pas en régime statique.
Il est introduit en régime dépendant du temps et permet de rendre compatible l’équation de Maxwell-Ampère avec l’équation de conservation de la charge.
Propriété: Les termesε0
∂−→ E(M, t)
∂t et−∂−→ B(M, t)
∂t présents dans les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday respec- tivement, permettent de coupler les champs électrique et magnétique, puisqu’ils sont l’un l’autre, sources respective de−→
B et−→
E eux même.
En régime dépendant du temps un champ électrique n’existe pas seul, il est accompagné d’un champ magnétique et réciproquement.
On parle alors dechamp électromagnétique.
De même que nous avons vu une relation forte enl’opérateur divergence et le flux d’un côté ; l’opérateur rotationelet lacirculation d’un autre, on peut associer à chaque équation de Maxwell une équation intégrale.
Propriété:
A chaque équation locale de Maxwell peut-être associé une équation intégrale :
Equation de Maxwell-Gauss Théorème de Gauss
div−→
E(M, t) = ρ(M, t) ε0
‹
Σ
−
→E(M, t).−→
dS(M) = Qint
ε0
Equation de Maxwell-Faraday Loi de Faraday
−→ rot−→
E(M, t) =−∂−→ B(M, t)
∂t
˛
Γ
−
→E(M, t).−→
dl(M) =−dΦB
dt Equation de Maxwell-flux Conservation du flux magnétique
div−→
B(M, t) = 0
‹
Σ
−
→B(M, t).−→
dS(M) = 0 Equation de Maxwell-Ampère Théorème d’Ampèregénéralisé
−→ rot−→
B(M, t) =µ0−→
j(M, t) +µ0ε0∂−→ E(M, t)
∂t
˛
Γ
−
→B(M, t).−→
dl(M) =µ0.Ienlacé+µ0 ˆˆ
Σ
ε0∂−→ E(M, t)
∂t .−→ dS(M)
I.4 Propagation d’onde
Le couplage des champs−→
E(M, t) et−→
B(M, t) dans les équations de Maxwell sont responsables du fait que le champ électromagnétique se propage sous forme d’onde, c’est-à-dire sous forme d’une fonction qui nécessairement dépend de l’espace et du temps. On peut essayer de le comprendre de façon qualitative.
Considérons un milieu vide de charge et de courant. Dans ce cadre les équations de Maxwell s’écrivent : div−→
E(M, t) = 0
−→ rot−→
E(M, t) =−∂−→ B(M, t)
∂t div−→
B(M, t) = 0
−→ rot−→
B(M, t) =µ0ε0∂−→ E(M, t)
∂t Supposons que−→
E(M) soit statique. Alors−→
E(M) =−−−→
grad (V(M)) et comme−→ rot −−→
grad (V) =−→
0 , alors−→ rot−→
E =−→ 0 . Alors la proposition contraposée est aussi valable :
Si−→ rot−→
E 6=−→
0 alors le champ électrique n’est pas statique.
L’équation de Maxwell-Faraday permet d’affirmer que−→ rot−→
E 6=−→
0 , donc : si−→
E est une fonction du temps il est aussi une fonction de l’espace. Cette solution prend la forme d’une onde.
Propriété:
Le couplage spatio-temporel entre champ électrique et magnétique dans les équations de Maxwell est représentatif du fait que le champ électromagnétique se propage sous forme d’onde.
La méthode pour déterminer l’équation de propagation à partir des équations de Maxwell est la même pour le champ−→
E comme pour le champ−→
B. Il convient de la connaître.
Méthode:
1.Ecrire les hypothèses sur le milieu de propagation :
On considère l’espace vide de charge et de courant :ρ(M, t) = 0 et−→
j(M, t) =−→
0 .ε0 etµ0. 2.Ecrire les quatre équations de Maxwell :
Maxwell-Gaussdiv−→
E(M, t) = 0 Maxwell-Faraday−→
rot−→
E(M, t) =−∂−→ B(M, t)
∂t Maxwell-fluxdiv−→
B(M, t) = 0 Maxwell-Ampère−→
rot −→
B(M, t) =µ0ε0∂−→ E(M, t)
∂t 3.Calcul :
On calcul le rotationel de l’équation de Maxwell-Faraday :
−→ rot −→
rot−→
E(M, t) =−→
rot −∂−→ B(M, t)
∂t
!
L’analyse vectorielle précise que−→ rot −→
rot−→ E =−−→
grad (div−→
E)−∆−→ E, alors :
−−→grad (div−→
E(M, t))−∆−→
E(M, t) =−∂−→ rot→−
B(M, t)
∂t L’équation de Maxwell-Gauss donne :div−→
E(M, t) = 0 et Maxwell-Ampère :−→ rot−→
B(M, t) =µ0ε0
∂−→ E(M, t)
∂t :
−∆−→
E(M, t) =−µ0ε0
∂
∂t
∂−→ E(M, t)
∂t
!
Finalement :
∆−→
E(M, t)−µ0ε0
∂2−→ E(M, t)
∂t2 =−→ 0 Une application numérique simple donne :µ0ε0= 4.π.10−7. 1
36.π.10−9= 1
9.10−16= 1 c2.
Propriété:
Dans le vide, de charge et de courant, le champ électromagnétique respecte une équation de propagation appelée équation de d’Alembert, qui peut être déduite des équations de Maxwell :
∆−→
E(M, t)− 1 c2
∂2−→ E(M, t)
∂t2 =−→ 0
aveccla célérité des ondes électromagnétiques égale à celle de la lumière dans le vide.
II Approximation des régimes stationnaires
II.1 Problème de propagation du champ
q1 O1
D1
M
q1
O1
D1
M
D2
O2
q2
Considérons la situation suivante : une charge q1 statique dans un référentiel galiléen est placée en un pointO1. Avec le cours d’électrostatique on sait que cette charge créé enM un champ électrostatique :
−
→E1(M) = q1
4πε0
−−−→O1M k−−−→
O1Mk3
Si on ajoute une charge q2 dans l’espace en un point O2, alors le champ en M change instantanément et devient :
−
→E2(M) = q1 4πε0
−−−→O1M k−−−→
O1Mk3+ q2 4πε0
−−−→O2M k−−−→
O2Mk3
On remarque que cette situation n’est pas en accord avec les équations de Max- well. En effet on vient de montrer que le champ électromagnétique se propage. Donc la variation de la charge en un pointOne peut pas être instantanément ressenti en un pointM à travers le champ électrique−→
E.
Il faut "attendre la propagation du champ électrique" pour qu’au pointM le champ électrique soit modifié.
Station de radio
Radio D
I(t)
Considérons maintenant la situation suivante : une station radio émet grâce à une antenne une onde électromagnétique de fréquence f = 87,6 MHz. Cette onde est émise par variation d’un courant dans l’antenne, on ne s’intéresse pas au mécanisme d’émission de cette onde.
Un poste de radio capte cette émission à une dis- tance D de l’antenne émettrice. La vitesse de pro- pagation de cette onde se fait à la célérité c = 3.108m s−1.
Imaginons que le poste d’émission commence à émettre à la date t = 0. On peut calculer la date à la- quelle le poste de radio reçoit cette onde :
τ=D c
Alors toute variation des caractéristiques du courantI(t) dans l’antenne se propage dans l’air entre la station émettrice et le poste de radio et ses variations se font "ressentir" au bout deτ.
Définition:
On appelle Approximation des Régime Quasi Stationnaire, le cadre d’étude du champ électromagnétique pour lequel on peut négligé la durée de propagation du champ électromagnétique face à la durée caractéristique d’évo- lution des courants à l’origine du champ électromagnétique.
On parled’ARQS magnétique.
Remarque :
Dans le cadre l’ARQS magnétique, les variations du champ électromagnétique, dues aux sources, se font instantanément ressentir aux points d’observation du champ. Ici le point M.
II.2 ARQS magnétique
Pour être plus précis on peut utiliser la définition de l’ARQS pour établir un certain nombred’ordre de grandeur afin de préciser le cadre dans lequel l’ARQS peut s’appliquer.
On noteT la durée caractéristique d’évolution des sources du champ électromagnétique, ici les courants : T = 1
f L’ARQS correspond à la situation :
τT
De la même manière on peut calculer la longueur d’onde de l’onde électromagnétique émise : λ= c
ν =c.T Or par définition c.τ =D
Propriété:
Un système peut être étudier dans le cadre de l’ARQS magnétique lorsque la taille caractéristique du systèmeD est très petite devant la longueur d’onde :
Dλ Exemple :
i-: dans une maison le réseau électrique à pour dimension caractéristiqueD= 10 m. Les courants électriques ont une fréquence caractéristique d’évolutionf = 50 Hz.
Alorsλ= c
f = 6.106m :
λD
Le réseau électrique d’une maison peut être étudier dans le cadre de l’ARQS magnétique.
ii- : A l’inverse pour cherche quelle doit être la dimension d’un système qui respecterai l’ARQS magnétique. Par exemple pour les ondes lumineuses visibles : 400 nm< λ <800 nm.
Il faut alorsDλ, soit D∼40 nm.
II.3 Equations de Maxwell dans l’ARQS
Dans le cadre de l’ARQS magnétique les équations de Maxwell doivent être modifiées. Cette modification des équations de Maxwell peut être déterminer par une étude enordre de grandeur.
On note :
i-T la durée caractéristique d’évolution du champ électromagnétique ; ii-D la distance caractéristique du domaine d’évolution du champ.
Alors en ordre de grandeur on obtient :
k−→ rot−→
Ek ∼ E D
∂−→ B
∂t
∼ B T De même :
k−→ rot−→
Bk ∼ B D
∂−→ E
∂t
∼ E T L’équation de conservation de la charge permet d’obtenir : ρ
T ∼ j
D et l’équation de Maxwell-Faraday : E D ∼B
T. Propriété:
Dans le cadre de l’ARQS magnétique, les lois de la magnétostatique restent valable. L’équation de Maxwell-Ampère peut s’écrire sous la forme :−→
rot −→
B =µ0.−→ j.
Alors l’équation de conservation de la charge devientdiv−→
j = 0. Le terme ε0
∂−→ E
∂t devient négligeable devant les densités de courants volumiques.
Pour montrer cela on estime un ordre de grandeur de : µ0.ε0.
∂−→ E
∂t k−→
rot−→ Bk : µ0.ε0.
∂−→ E
∂t k−→
rot−→ Bk ∼
µ0.ε0.E T B D en notant queµ0.ε0= 1
c2 et grâce à l’équation de Maxwell-FaradayE∼D.B T on a : µ0.ε0.
∂−→ E
∂t k−→
rot−→
Bk ∼ D2 c2.T2
Comme par hypothèse :Dc.T, on obtient queµ0.ε0.
∂−→ E
∂t
est un terme d’ordre 2 en D λ. On peut le négliger dans l’équation de Maxwell-Ampère.
Propriété:
Dansl’ARSQ magnétiqueles équations de Maxwell deviennent : Equation de Maxwell-Gauss (MG) div−→
E(M, t) =ρ(M, t) ε0
Equation de Maxwell-Faraday (MF) −→ rot−→
E(M, t) =−∂−→ B(M, t)
∂t Equation de Maxwell-flux (MT) div−→
B(M, t) = 0 Equation de Maxwell-Ampère (MA) −→
rot −→
B(M, t) =µ0
−
→j(M, t) L’équation de conservation de la charge devient :div−→
j(M, t) = 0. Alors le théorème d’Ampère et la loi des noeuds restent vérifiées.
Remarques:
i-Les champs électrique et magnétique restent couplé par l’induction de Faraday. Mais il n’y a plus propagation du champ, les variation des sources se "ressentent" instantanément en tous les points du système considéré.
ii-Cette approximation n’est pas valable pour les condensateurs, en effet dans l’espace inter-armature−→
j(M, t) n’existe pas, on ne peut alors pas négliger les courants de déplacement.
iii- L’ARQS magnétique est un cadre théorique important pour les applications industrielles : définition des induc- tances propres et mutuelles, transformateurs, courant de Foucault et freinage magnétique, alternateurs...
III Energie du champ électromagnétique
III.1 Force de Lorentz et densité volumique
Reprenons le milieu étudié au début du chapitre. Dans un référentiel gali- léen R, on considère des charges immobiles qi et des charges mobiles qm. La vi- tesse par rapport à R des charges mobiles est −→v. Pour plus de simplicité on indice par k chacune des charges du milieu. Alors pour les charges immobiles
−
→vk=−→ 0 .
On considère la présence d’un champ électromagnétique dans le milieu (−→
E(M, t),−→
B(M, t)) quitte à supposer que ce champ est créé par les charges elles- mêmes.
Chaque charge individuelleksubit la force de Lorentz :
−
→Fk =qk.−→
E(M, t) +qk.−→vk(M, t)∧−→
B(M, t) =qk
−→
E(M, t) +−→vk(M, t)∧−→ B(M, t)
.
On choisi un volume de contrôledτ et on note nv la densité volumique particulaire, c’est-à-dire le nombre de charges par unité de volume.
On cherche à exprimer la force de Lorentz qui s’applique sur l’élément de volume dτ. En notantdN le nombre de charge dans le volumedτ :
dN =nv.dτ
Alors la force de Lorentz s’exerçant sur l’ensemble des chargesdN est :d−→
F =dN.−→ Fk soit : d−→
F =nv.qk.−→
E(M, t)dτ+nv.qk.−→vk(M, t)∧−→
B(M, t)dτ Puis par définition on a :ρ(M, t) =nv.qk et −→
j(M, t) =nv.qk.−→vk(M, t).
Définition:
On appelle force volumique de Lorentz la force subit par un élément de volume dτ contenant une densité volumique de chargeρ(M, t) et densité volumique de courant−→
j(M, t) :
−
→fLorentz=d−→ F
dτ =ρ(M, t).−→
E(M, t) +−→
j(M, t)∧−→ B(M, t) k−→
fLorentzken N.m−3 Remarque :
La force de Lorentz d’applique à une charge ponctuelle, elle a donc bien un aspect locale. C’est la même chose pour la force volumique de Lorentz, qui d’applique sur un élément de volume dτ, voisinage élémentaire d’un pointM.
III.2 Puissance cédée du champ aux charges
Dans le système décrit précédemment de charges fixes et de charges mobile on cherche à exprimer la puissance de la force de Lorentz. Comme les charges fixes sont par définition immobiles, il n’y a pas de transfert de puissance du champ vers ces charges. Dans l’écriture de la force volumique de Lorentz on peut encore décomposer le système en charges fixes et charges mobiles.
−
→fLorentz=ρi(M, t)−→
E(M, t) +ρm(M, t)−→
E(M, t) +ρm(M, t)−→v(M, t)∧−→ B(M, t) avec−→
j(M, t) =ρm(M, t)−→v(M, t) etρmla densité volumique de charges mobiles,ρi la densité volumique de charges fixes.
Considérons un élément de volumedτ dans le milieu précédent. La force de Lorentz subit par les charges dans ce milieu est :
d−→ F =−→
fLorentzdτ =δQi
−
→E(M, t) +δQm
−
→E(M) +δQm−→v(M, t)∧−→ B(M, t)
Comme seul les charges mobiles subissent un travail la puissance cédée du champ électromagnétique aux charges mobiles du milieu est :
δP = δQm
−
→E(M) +δQm−→v(M, t)∧−→ B(M, t)
.−→v(M, t) Le produit mixte :−→v(M, t)∧−→
B(M, t)
.−→v(M, t) = 0. Finalement on arrive à : δP =δQm
−
→E(M, t).−→v(M, t) On propose une réécriture de cette puissance :δP =−→
j(M, t).−→
E(M, t)dτ. Propriété:
Dans l’espace où règne un champ électromagnétique−→
E(M, t),−→ B(M, t)
en présence de charges mobiles, le champ électromagnétique cède une puissance à ces charges, c’est-à-dire qu’il cède une puissance à la matière. La puissance cédée par unité de volume s’exprime :
δP dτ =−→
j(M, t).−→ E(M, t) en W.m−3
III.3 Bilan de Poynting et identité de Poynting
Propriété:
L’énergie est une grandeur physique s’exprimant en joule J, caractérisant la transformation d’un système. Elle ne peut être ni créée ni détruite. Elle est seulement échangée.
Considérons une densité volumique de courant−→
j(M)stationnaireet uniforme à géométrie cylindrique. On suppose l’existence d’un champ électromagnétique ex- térieur lui mêmestationnaireet uniforme.
Avec ce qu’on vient de voir on peut faire un bilan de puissance sur un élément de volumedτ du milieu contenant la densité volumique de courant.
Il existe un transfert de puissance du champ vers la matière : δPcédée=−→
j(M).−→ E(M).dτ Par intégration on peut calculer la puissance cédée sur l’ensemble du volume :
ˆ
V olume
−
→j(M).−→
E(M).dτ. Comme les champs sont tous uniformes :
Pcédée=−→ j(M).−→
E(M).V
Par définition l’énergie reçue par les charges mobiles du milieu de la part du champ électromagnétique s’écrit : dEreçu=Pcédéedt
On remarque ici une absurdité:
i-le champ électromagnétique est stationnaire, donc l’énergie électromagnétique totale du champ :Uem= ˆˆˆ
uemdτ est également stationnaire, elle vérifie alors :
dUem dt = 0
Or si le champ électromagnétique cède de la puissance au milieu matériel comment se fait-il que sont énergie totale ne soit pas fonction du temps ?
ii-Le milieu matériel ne fait qu’absorber indéfiniment de l’énergie dEreçu>0 ou ne fait qu’indéfiniment en perdre.
Comment le régime stationnaire peut-il alors perdurer ? Propriété:
En présence d’un champ électromagnétique il existe une forme d’énergie rayonnée à travers la surface délimitant un volume de contrôledτ. Cette énergie est caractérisée par le vecteur de Poynting−→
R(M, t) dont le flux à travers cette surface s’identifie à la puissance rayonnée par le champ électromagnétique :
dPrayonnée=−→
R(M, t).−→ dS(M) Soit un volume de contrôle dτ contenant une densité ρ(M, t) de charges et −→
j(M, t) densité de courant. On suppose qu’il existe un champ électromagnétique−→
E(M, t),−→ B(M, t)
.
L’énergie totale du champ électromagnétique par unité de volume s’écrit :
uem =ε0
2 E2(M, t) + 1
2µ0B2(M, t)
On réalise un bilan d’énergie sur le volume de contrôle dτ entret et t+dt: si l’énergie totale du champ électromagnétiqueUem(t+dt)6=
Uem(t) alors c’est que le champ à cédée de l’énergie à la matière et qu’il existe une énergie rayonnée.
Uem(t+dt)−Uem(t) =−Pcédée.dt− Prayonnée.dt Un développement :Uem(t+dt)−Uem(t) =
ˆˆˆ
V
uem(M, t+dt)dτ− ˆˆˆ
V
uem(M, t)dτ = ˆˆˆ
V
∂uem(M, t)
∂t .dt.dτ.
Alors :
ˆˆˆ
V
∂uem
∂t .dt.dτ =− ˆˆˆ
V
−→
j(M, t).−→ E(M, t)
.dτ.dt−
‹
Σ
−
→R(M, t).−→ dS(M).dt Avec le théorème de Green-Ostrogradsky :
‹
Σ
−
→R(M, t).−→ dS(M) =
ˆˆˆ
V
div−→
R(M, t).dτ. Finalement : ˆˆˆ
V
∂uem
∂t (M, t) +−→
j(M, t).−→
E(M, t) +div−→ R(M, t)
dτ = 0
Propriété:
En tout point de l’espace, la conservation de l’énergie électromagnétique conduit à l’équation locale :
∂uem
∂t (M, t) +−→
j(M, t).−→
E(M, t) +div−→
R(M, t) = 0 appeléeéquation de Poynting.
Remarques :
i-le premier terme de se bilan fait apparaitre la variation d’énergie volumique totale du champ électromagnétique : uem=ε0
2 E2(M, t) + 1 2µ0
B2(M, t). Cette variation d’énergie ne peut être due qu’à deux phénomènes :
ii-la puissance volumique cédée par le champ à la matière, puissance volumique cédée lorsque la matière contient des charges mobiles :−→
j(M, t).−→ E(M, t).
iii- et enfin une puissance volumique rayonnée à travers la surface du volume considéré, qui de façon locale s’écrit : div−→
R(M, t).
Cette puissance peut-être soit rayonnée vers l’intérieur soit vers l’extérieur du volume considéré.
Afin de trouver l’expression du vecteur de Poynting il faut repartir des équations de Maxwell dans leur expression complète :
−
→j(M, t).−→
E(M, t) = 1 µ0
−→ rot−→
B(M, t)−ε0
∂−→ E
∂t (M, t)
! .−→
E avec MA
= 1
µ0
−
→E(M, t).−→ rot−→
B −ε0
−
→E(M, t).∂−→ E
∂t (M, t) Une formule d’analyse vectorielle permet de remarquer que :div(−→
E ∧−→ B) =−→
B .−→ rot−→
E −−→ E .−→
rot−→ B alors :
−
→j(M, t).−→
E(M, t) = −div
−
→E(M, t)∧−→ B(M, t) µ0
!
− 1 µ0
−
→B(M, t).∂−→ B(M, t)
∂t − ∂
∂t
ε0.E2(M, t) 2
= −div
−
→E(M, t)∧−→ B(M, t) µ0
!
− ∂
∂t 1
µ0B2(M, t)
− ∂
∂t
ε0.E2(M, t) 2
0 = −→
j(M, t).−→
E(M, t) +div
−
→E(M, t)∧−→ B(M, t) µ0
!
+∂uem
∂t (M, t)
Définition:
Par identification entre l’équation de Poynting et le bilan précédent, on peut trouver l’expression du vecteur de Poynting, qui représente la puissance surface rayonnée :
−
→R(M, t) =
−
→E(M, t)∧−→ B(M, t) µ0
aveck−→
Rk en W.m−2. Propriété:
Soit une distribution de charge et de courant volumiques ρ(M, t),−→
j(M, t), soit un champ électromagnétique
−
→E(M, t),−→ B(M, t).
En tout point de la distribution la conservation de l’énergie se traduit par un bilan de puissance locale :
∂uem
∂t (M, t) +−→
j(M, t).−→
E(M, t) +div −→
E(M, t)∧−→ B(M, t) µ0
!
= 0 Cette équation estl’identité de Poynting.
On peut aussi l’écrire sous forme intégrale : d
dt ˆˆˆ
V
uem(M, t)dτ+ ˆˆˆ
V
−
→j(M, t).−→
E(M, t)dτ +
‹
Σ
−
→R(M, t).−→ dS= 0
