Raffinement de maillage spatio-temporel pour les équations de Maxwell

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Raffinement de maillage spatio-temporel pour les

équations de Maxwell

Thierry Fouquet

To cite this version:

Thierry Fouquet. Raffinement de maillage spatio-temporel pour les équations de Maxwell. Analyse numérique [math.NA]. Université Paris Dauphine, 2000. Français. �tel-01581160�

THESE

presentee a

L'UNIVERSITE DE PARIS IX DAUPHINE

U.F.R. MATHEMATIQUES DE LA DECISION

pour obtenir le titre de

DOCTEUR EN SCIENCES

specialite

MATHEMATIQUES APPLIQUEES

par

Thierry Fouquet

Sujet de la these:

Ranement de maillage spatio-temporel

pour les equations de Maxwell.

Soutenue le 13 Juin 2000 devant le jury compose de: MM.

Yves Achdou

Rapporteur

Bruno Despres

Rapporteur

Patrick Joly

Directeur de these

Guy Chavent

President du jury

Mikhael Balabane

Examinateur

Patrick Ciarlet

Examinateur

Francis Collino

Examinateur

\L'Universite n'entend donner aucune approbation ni improbation aux opinions emises dans les theses : ces opinions doivent ^etre considerees comme propres a leurs auteurs."

Comment remercier Patrick Joly et Francis Collino de leur devouement, de leur aide precieuse et de leur amitie? Autant essayer de remercier la providence qui m'a permis de pouvoir passer ces quelques annees de these dans les meilleures conditions possibles.

Merci a Yves Achdou et Bruno Despres qui ont accepte d'^etre rapporteurs de ce travail et dont les remarques judicieuses m'ont ete bien utiles.

Non content de me mettre sur les voies de l'analyse numerique, Michael Balabane a ega-lement accepte de participer a mon jury, qu'il en soit grandement remercie.

Merci a Guy Chavent qui le premier m'a introduit a l'INRIA et qui a ensuite eu la gentillesse d'^etre le president de ce jury.

Je remercie egalement Patrick Ciarlet de s'^etre interesse a mes travaux. Il m'a apporte une aide precieuse et a gentiment accepte de faire parti de ce jury.

Merci a Frederic Nataf d'avoir egalement accepter de faire partie de ce jury.

Merci a Francois Clement et Houssem Haddar qui m'ont tour a tour supporte dans leur bureau, et dispense de judicieux conseils.

Je remercie egalement tous les membres des projets Ondes et Estime pour leur aide et leur gentillesse. Ce fut un veritable plaisir de travailler avec cette seconde famille.

Table des matieres

Introduction

1

I Des schemas de raccord par interpolation, Phenomenes d'instabilites 7

1 Presentation de schemas de ranement par interpolation

9

1.1 Un survol non exhaustif de la bibliographie sur le ranement de maillage

spatio-temporel pour l'electromagnetisme . . . 9

1.2 Presentation explicite et simpliee de deux strategies de raccord . . . 11

1.2.1 Presentation du probleme modele. . . 11

1.2.2 Raccord par interpolation spatiale . . . 13

1.2.3 Raccord par interpolation temporelle . . . 13

2 Raccord par interpolation temporelle de deux demi-espaces in nis.

17

2.1 Analyse de la stabilite par Fourier-Laplace . . . 17

2.1.1 Transformees de Fourier-Laplace: denition et resolution . . . 17

2.1.2 Denition et analyse de

r

(

!

) . . . 20

2.1.3 Resolution du probleme . . . 24

2.1.4 Preuve de l'inegalite (2.24) . . . 27

2.1.5 Reinterpretation en terme d'ondes planes . . . 29

2.1.6 Cas d'une onde incidente dans la grille ne: une etude analytique . . . 30

2.2 Etude de Precision . . . 35

2.2.1 Calcul par developpements limites de l'erreur de troncature . . . 35

2.2.1.1 Erreur de troncature sur l'approximation du schema . . . . 35

2.2.1.2 Erreur de troncature sur la continuite de

u

. . . 35

2.2.1.3 Re-interpretation du schema : Approximation du Dirac . . . 35

2.2.2 Experiences numeriques . . . 36

2.2.3 Analyse des coecients de reexion et de transmission . . . 43

2.2.3.1 Calcul de precision des coecients de reexion et de transmission 43 2.2.3.2 Cas d'un train d'ondes dans la grille grossiere: une etude nu-merique de reexion . . . 46

2.2.3.3 Cas d'un train d'ondes dans la grille ne: une etude numerique de reexion. . . 49

2.2.3.4 Un phenomene curieux. . . 52

TABLE DES MATIERES

3 Extension a un ranement plus fort. Cas de 2 milieux in nis.

55

3.1 Description du schema. . . 55

3.2 Analyse de la stabilite par Fourier-Laplace. . . 56

3.2.1 Re-interpretation de la solution en termes d'ondes planes. . . 60

3.2.1.1 Cas d'une onde incidente dans la grille grossiere. . . 63

3.2.1.2 Cas d'une onde incidente dans la grille ne. . . 63

3.3 Etude de precision. . . 65

3.3.1 Ordre du Schema. . . 65

4 Cas de la bande nie ranee: apparition d'instabilites.

71

4.1 Position du probleme. . . 71

4.2 Rappel des solutions sous forme d'ondes planes. . . 75

4.3 Analyse de la bande ranee. . . 77

4.3.1 Analyse par ondes planes, expression de la solution. . . 77

4.3.2 Interpretation de la solution ondes planes en terme de stabilite. . . 79

4.3.3 Lien entre le p^ole de la solution et la stabilite du schema. . . 83

4.3.4 Cas de l'onde parasite evanescente pour un ranement 1-2. . . 90

4.3.5 Cas de l'onde parasite evanescente pour un ranement 1-n . . . 93

4.4 Resultats numeriques. . . 95

4.4.1 Mise en evidence de l'instabilite. . . 95

4.4.2 Caracterisation de l'instabilite. . . 96

5 Extension du schema aux equations de Maxwell

101

5.1 Cas 1D . . . 101

5.1.1 Un schema de ranement 1-3 . . . 102

5.1.2 Un schema de ranement 1-2 implicite . . . 103

5.1.3 Comment se ramener a l'equation des Ondes . . . 104

5.2 Extension du schema au cas 2D . . . 105

II Des schemas garantissant la stabilite: l'approche di erences nies 109

1 Presentation d'un schema aux dierences nies 1 D

111

1.1 Le probleme modele, schema en l'absence de ranement . . . 111

1.2 Vers la recherche d'un schema de ranement 1-2 . . . 112

1.2.1 De la conservation d'energie discrete dans les schemas . . . 112

1.2.2 Variation de l'energie ne

E

_nf. . . 115

1.2.3 Variation de l'energie grossiere

E

2n g . . . 117

1.2.4 Variation de l'energie totale et estimations . . . 119

1.2.5 Le schema conservatif retenu . . . 120

1.2.6 Un autre choix possible ... a abandonner . . . 121

1.3 Etude du schema selectionne. . . 122

1.3.1 Une etude numerique d'erreur. . . 122

1.3.2 Analyse par ondes planes du schema retenu. . . 127

1.3.3 Une etude sur les ondes parasites. . . 128

1.3.4 Comparaison avec un ranement de maillage spatial pur. . . 138

1.3.5 Le schema de ranement 1-

p

. . . 141

TABLE DES MATIERES

1.3.5.1 Presentation sommaire d'un schema de ranement 1-p. . . . 142

1.3.5.2 Etude numerique. . . 143

1.4 Les schemas lineaires conservatifs . . . 146

1.4.1 Schemas lineaires compatibles avec la conservation de l'energie . . . . 148

1.4.2 Selection des bons schemas par analyse par ondes planes . . . 151

2 Un schema conservatif en 2D pour la polarisation transverse electrique. 153

2.1 Presentation du probleme modele. . . 153

2.2 Construction d'un schema de ranement 1-2. . . 154

2.2.1 Variation de l'energie ne

E

_nf. . . 156

2.2.2 Variation de l'energie grossiere. . . 157

2.2.3 Conservation de l'energie totale. . . 158

2.3 Un schema de ranement 1-p en deux dimensions. . . 160

2.3.1 Construction du schema. . . 162

2.3.2 Experiences numeriques. . . 163

III Des schemas garantissant la stabilite: l'approche elements nis 167

1 Re-interpretation variationnelle du schema de ranement 1-D

169

1.1 Forme variationnelle du schema de Yee . . . 169

1.2 Presentation d'une methode variationnelle . . . 171

1.3 Lien avec la methode de ranement de la partie 2 . . . 176

2 Le cas 3D: un probleme modele et sa formulation variationnelle mixte 179

2.1 Probleme modele et notations . . . 179

2.2 Formulation sous forme de probleme couple . . . 179

2.3 Formulation variationnelle . . . 181

2.3.1 Theoreme de trace pour

H

(rot) dans les ouverts polygonaux . . . 181

2.3.2 Derivation de la formulation variationnelle . . . 183

3 Discretisation du probleme

187

3.1 Semi discretisation en Espace. . . 187

3.2 Semi discretisation en temps. . . 189

3.2.1 Discretisation de la formulation variationnelle. . . 189

3.2.2 Sur le calcul et l'existence de la solution discrete. . . 190

3.2.3 Estimation d'energie Stabilite. . . 192

3.3 Choix des espaces d'approximation. . . 194

3.3.1 Description des maillages. . . 195

3.3.2 Approximation du champ electrique. . . 195

3.3.3 Approximation du champ magnetique. . . 196

3.3.4 Approximation du Courant. . . 197

3.4 Approximation des formes bilineaires. . . 199

3.4.1 Quadrature et condensation de masse. . . 200

3.4.2 Calcul de la condition de stabilite. . . 200

3.4.3 Existence du courant. . . 202

TABLE DES MATIERES

4 Vers l'implementation numerique

203

4.1 Construction des operateurs discrets . . . 203

4.1.1 Les Matrices de masse . . . 203

4.1.2 Le rotationnel discret . . . 204

4.1.3 Matrice de couplage . . . 205

4.2 Les equations du schema . . . 207

4.2.1 Remarque sur les schemas a l'interieur . . . 207

4.2.2 Schema a l'interface: Preambule . . . 208

4.2.3 Schema a l'interface pour la grille grossiere . . . 209

4.2.4 Schema a l'interface pour la grille ne . . . 211

4.2.5 Resolution. Determination du Courant . . . 214

4.2.6 Proprietes de la matrice . . . 215

5 Extension de la methode en presence de conducteurs parfaits

219

5.1 Position du probleme . . . 219

5.2 Description des conducteurs. Modication des espaces . . . 219

5.3 Discretisation . . . 220

6 Algorithmique

223

6.1 Une implementation pas a pas . . . 223

6.2 Une implementation un peu optimisee . . . 224

6.3 Calcul des Matrices . . . 224

6.4 Complements sur les conducteurs . . . 224

7 Application et validation des resultats

227

7.1 Analyse numerique d'erreur . . . 227

7.1.1 Domaine vide . . . 227

7.1.2 Domaine avec un conducteur . . . 230

7.2 Validation a travers quelques experiences numeriques . . . 233

7.2.1 Une bo^te ranee dans le vide . . . 233

7.2.2 Une bo^te ranee coupant une plaque horizontale . . . 233

7.2.3 Une bo^te ranee intersectant un cube biseaute . . . 234

7.2.4 Une bo^te ranee autour d'une ouverture percee dans un cube . . . . 235

7.3 Une experience type d'utilisation de ranement de maillage. . . 239

A Analyse des eets de dispersion

243

B Vitesse de groupe

245

C Annulation du determinant dans le cas 1/n

247

D Annexe: Un schema de raccord dissipatif

249

D.1 Le schema sans ranement . . . 249

D.1.1 Equation du schema . . . 249

D.2 Calcul de la transformee de Fourier Laplace de la solution . . . 250

D.2.1 Etude dej

r

(

!

)j . . . 251

D.2.2 Analyse de la dispersion . . . 252

D.3 Un schema de ranement 1-2 . . . 252

TABLE DES MATIERES

D.3.1 Presentation des equations de raccord . . . 252

D.3.2 Calcul des transformees de la solution en presence du ranement . . . 253

D.3.2.1 Etude dans la grille grossiere . . . 253

D.3.2.2 Etude dans la grille ne . . . 254

D.3.2.3 Calcul des coecients de reexion . . . 255

D.3.2.4 onde incidente dans la grille ne . . . 256

E La formulation variationnelle en 2D

257

E.1 Construction acceleree de la methode variationnelle . . . 257

E.2 Choix d'une discretisation adequate . . . 260

F Calcul des valeurs propres de la matrice associee a l'energie

263

G Une de nition du nombre de points par longueur d'onde

265

G.1 Cas de la Gaussienne . . . 265

TABLE DES MATIERES

Introduction

Position du probleme et motivation

Les techniques de dierences nies ou d'elements nis avec condensation de masse sont largement utilisees pour la simulation de la propagation des ondes ou plus generalement la resolution de systemes hyperboliques lineaires dont les equations de Maxwell constituent un archetype. Les domaines d'application, nombreux, vont de l'acoustique a l'electromagnetisme en passant par la sismique en geophysique. La methode permet de se ramener a des equations discretes dont les inconnues sont les valeurs du ou des champs en des points d'une grille de

calcul qui est le plus souvent reguliere, de pas

h

en espace et 

t

en temps. Les schemas

numeriques qui nous interessent ici sont des schemas explicites dont il est maintenant com-munement admis, qu'ils sont preferables aux schemas implicites. Leur mise en oeuvre consiste simplement a appliquer une formule explicite permettant d'evaluer la solution, progressive-ment, en des temps echantillonnes. Pour les equations de Maxwell, le schema de Yee constitue le prototype d'un tel schema. C'est le schema le plus couramment utilise jusqu'a nos jours. C'est ce schema qui consistera le noyau de base de notre etude.

La premiere propriete que doit satisfaire un schema numerique est la stabilite, cette pro-priete exprime le fait que l'on est a priori capable d'obtenir une borne sur une certaine norme de la solution approchee a l'aide de constantes independantes des parametres de

discretisa-tion 

t

et

h

. Il existe bien s^ur dierentes notions de stabilite, liees au choix de la norme

consideree. Cette norme peut ^etre \discrete" mais doit ^etre un equivalent convenable d'une norme continue. Pour les systemes hyperboliques lineaires et notamment ceux auxquels est associee une conservation de l'energie, comme le systeme de Maxwell, ces normes sont des

normes de type

L

2, raison pour laquelle on parle de stabilite

L

2. Il est bien connu que pour

un schema explicite approchant une equation hyperbolique, la stabilite

L

2 n'est assuree que

si le pas de temps 

t

est susamment petit devant le pas d'espace

h

. Plus precisement

la condition de stabilite est une condition de type C.F.L. imposant une borne sur le rapport



= 

t=h

. Ainsi, pour le schema de Yee la condition necessaire et susante de stabilite s'ecrit



= 

t=h

 p

d=d

,

d

etant la dimension de l'espace, ou l'on a suppose implicitement que la

vitesse de propagation des ondes etait egale a 1. Une fois la stabilite assuree, la convergence du schema est alors garantie pour peu qu'on sache verier sa consistance (c.a.d montrer que l'erreur de troncature du schema tend vers 0 avec les parametres de discretisation.): C'est le theoreme d'equivalence de Lax. On peut m^eme obtenir des estimations d'erreurs pour peu que la solution que l'on desire approcher soit susamment reguliere.

Le co^ut de calcul de ces methodes est bien s^ur lie a la taille de la grille et augmente avec l'inverse du pas de la grille. Ce pas doit ^etre bien s^ur susamment n pour que la precision obtenue sur la solution soit acceptable. Pour quantier cela, le resultat de convergence ou les estimations d'erreur ne sont pas susants. Il faut avoir recours a des etudes plus nes des

Introduction

sources d'erreur quitte a se limiter a des situations simples telles que la simulation des ondes en milieu homogene. Pour les schemas conservatifs (c.a.d. conservant un equivalent discret d'une energie de la solution) comme le schema de Yee, il n'y a evidemment pas de dissipation numerique. Si on met de c^ote le probleme d'echantillonnage des donnees (conditions initialles, sources), la seule source d'erreur est alors la dispersion numerique: les hautes frequences qui composent l'onde numerique ont tendance a aller moins vite que les plus basses entra^nant une de-coherence du signal d'autant plus grande que la longueur parcourue augmente. On ma^trise ce phenomene en prenant, ce qui est intuitif, susamment de points de grille par longueur d'onde pour toutes les longueurs d'onde composant le signal que l'on veut approcher. Ce qui est moins intuitif, c'est que, au moins pour le schema de Yee (mais cela est aussi vrai pour d'autres schemas), a pas d'espace xe on va augmenter la dispersion numerique (et donc

deteriorer la precision du schema), en diminuant le pas de temps 

t

. En d'autres termes la

dispersion numerique decroit lorsque le rapport



= 

t=h

augmente vers sa valeur maximale

autorisee par la condition de stabilite. Il est facile de mettre en evidence des eets de la dispersion sur des experiences numeriques.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.02

Courbes de dispersion pour k=C(ex+ey+ez)

k/λ α=αmax/2 α=αmax 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1

Courbes de dispersion pour k=C(ex+ey)

x/λ α=αmax α=αmax/2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

Courbes de dispersion pour k=C ex

k/λ

α=αmax

α=αmax/2

Courbes de dispersion : On represente le rapport de la vitesse numerique sur la vitesse reelle en fonction de la frequence, pour dierentes directions de propagation. La vitesse numerique de propagation des ondes s'eloigne de la vitesse reelle, lorsque les frequences de l'onde sont

plus importantes. Le phenomene s'accentue lorsque le rapport 

th diminue, et ce quelque soit

la direction du vecteur de propagation.



= 1



= p 2 2



= p 2 4

Solutions 1D a

t

=20

s

,

t

=100

s

et

t

=180

s

. La dispersion numerique qui augmente au

cours du temps est plus importante lorsque le rapport 

t=h

diminue

Introduction

La dispersion etant contr^olee, une autre cause d'erreur, liee a des aspects geometriques, peut survenir. Dans les problemes de diraction on doit imposer des conditions aux limites ap-propriees sur la frontiere de l'obstacle. Par exemple, pour les equations de Maxwell, on impose que le champ electrique tangent est nul a la surface d'un obstacle parfaitement conducteur. Or la frontiere de l'objet ne suit pas necessairement la grille de calcul et on est amene a conside-rer une frontiere approchee en marches d'escalier. Or ces marches engendrent des diractions numeriques parasites qui peuvent entacher d'une erreur signicative le resultat du calcul. D'autres problemes de geometrie peuvent se poser dans le cas ou l'objet diractant presente une section tres faible par rapport aux longueurs d'ondes impliquees (cas des antennes laires en electromagnetisme). La modelisation de l'objet conduit a choisir un pas tres petit pour bien tenir compte de sa geometrie. Si l'on travaille avec une grille reguliere, on imagine alors les consequences desastreuses de la presence du moindre brin de l.

Une premiere solution peut ^etre d'utiliser la methode des domaines ctifs. Celle-ci consiste a introduire un parametre de Lagrange deni a la surface de l'objet sur un maillage dierent et reintroduit dans les equations volumiques. L'inconvenient est alors que la taille du pas de discretisation de l'obstacle est lie a celui du maillage, et donc si l'obstacle est n ou possede des asperites, il contraint a nouveau a utiliser un maillage n dans tout le domaine.

Une autre idee pour traiter la diculte consiste a distinguer deux zones pour le calcul. Une zone (la plus importante) ou le calcul se fait sur une grille principale et une ou plusieurs zones ou l'on utilise des morceaux de grilles ranees, c'est a dire dont le pas de discretisation est une fraction du pas de la grille principale. La propagation de l'onde est realisee principalement dans la grille grossiere tandis que les grilles ranees, localisees au voisinage des asperites des objets diractants permettent de bien rendre compte de l'interaction complexe entre l'onde et la structure. De plus, la precision du calcul du point de vue de la dispersion, etant une fonction decroissante du rapport des pas de discretisation en temps et en espace, il est donc souhaitable que le rapport optimal soit conserve d'une grille a l'autre et par consequent, de raner egalement en temps, la grille ranee en espace. Le point delicat est alors le traitement de la frontiere entre les grilles.

Presentation du plan de travail et des principaux resultats

ob-tenus

Au cours du deroulement de la these, nous avons tout d'abord ete amenes a eectuer l'analyse de certaines methodes de ranement de maillage existantes. Ceci nous a permi d'identier des phenomenes d'instabilite, semble-t-il nouveaux, associes a ce type de schema. C'est la raison qui nous a conduit a chercher une nouvelle voie pour contourner cette diculte. Nous avons ensuite construit et analyse une nouvelle methode able de ranement de grille spatio-temporelle appliquee a la simulation de la propagation des ondes. Nous etudions alter-nativement les potentialites d'une telle methode pour les equations de Maxwell et l'equation des ondes, le but ultime impose par le centre d'etude de Gramat etant de realiser un code informatique de ranement de maillage pour le schema de Yee dans le cas de 3 dimensions.

Cette contrainte nous a donc oriente vers des methodes de ranement basees sur des schemas aux dierences nies. Nous nous sommes dans un premier temps interesse a une methode de ranement analogue a celles trouvees dans la litterature, c'est a dire utilisant des interpolations spatio-temporelles pour eectuer le raccord entre des grilles de discretisations dierentes. Malheureusement, la stabilite de ces methodes s'est averee tres mal contr^olee ou au

Introduction

prix d'une deterioration des resultats non negligeable. La stabilite semblant ^etre le principal ecueil pour eectuer le raccord entre deux maillages dierents, nous avons donc recherche des schemas permettant de garantir la stabilite via la conservation d'une energie discrete. Le schema aux dierences nies que nous avons trouve s'est revele ^etre stable et precis et nous a donc conrme le bien-fonde de notre strategie. Malheureusement, l'approche dierences nies de la methode quoi que conceptuellement simple, conduit a des calculs rapidement inextricables si l'on cherche a construire un schema dans le cas a trois dimensions. Nous avons donc pense a elaborer un formalisme abstrait, englobant la methode trouvee a une dimension, an de construire une methode variationnelle tres generale. Si, pour des raisons contractuelles, nous presentons cette derniere appliquee au schema de Yee a 3 dimensions, il ne fait pas de doute que le lecteur saurait y voir des applications a d'autres types de discretisation.

Analyse des methodes par interpolation

Comme pourra le remarquer le neophyte se penchant sur la litterature, notamment la litterature \electromagnetique" (I.E.E.E.), la plupart des schemas de raccords sont bases sur des interpolations spatiales, temporelles ou spatio-temporelle. C'est donc tout naturellement, que nous avons dans un premier temps oriente notre strategie vers un ranement spatio-temporel avec un schema de raccord par interpolation. An d'etudier les potentialites de ces schemas, notamment leur stabilite et leur precision, nous avons choisi de nous interesser a un cas simple a savoir l'equation des ondes 1-D, discretisee par le schema aux dierences nies appele 'leap-frog', ou 'saute-mouton'.

Nous traitons tout d'abord le cas d'un raccord de deux grilles innies ou le pas de discre-tisation de la grille ne est deux fois plus n que celui de la grille grossiere. A l'aide d'une analyse dans le plan de Fourier-Laplace de la solution du schema, on montre que le schema est GKS stable (Gustafsson-Kreiss-Sundstr!om "17]) sous la condition \C.F.L." usuelle, c'est a dire la condition de stabilite en l'absence de ranement. Une fois la stabilite assuree, on s'interesse a la precision de la methode au moyen d'une analyse harmonique. On montre que toute onde harmonique incidente solution du schema dans la grille grossiere donne naissance au contact de l'interface a deux ondes transmises dans la grille ranee et une onde reechie dans la grille grossiere. Le fait qu'il y ait deux ondes transmises s'explique par le phenomene de repliement

du spectre: une onde de pulsation

!

est indistinguable dans la grille grossiere d'une onde de

pulsation

!

+ 2

2t. Ce n'est pas le cas dans la grille ne ce qui induit un couplage entre les

ondes de pulsation

!

et

!

+ 

t. Ce phenomene est un des points cles pour comprendre les

phenomenes d'oscillations parasites (c.a.d. hautes frequences). L'etude de precision est menee a partir des expressions du coecient de reexion et des deux coecients de transmission. La methode s'avere d'ordre 1 mais, numeriquement, le raccord semble de bonne qualite puisque, l'erreur induite par le ranement de maillage est negligeable devant l'erreur due au schema classique qui est pourtant d'ordre 2. Le m^eme type de resultats est ensuite obtenu pour un ranement 1-n, c'est a dire lorsque le pas de discretisation de la grille ne est n fois plus n que celui de la grille grossiere.

Ces resultats ont trait au couplage de deux grilles semi-innies. Notons que ces premiers re-sultats sont plut^ot positifs: le schema est stable sous la condition CFL usuelle et les reexions parasites sont faibles et bien ma^trisees. En fait, la situation se revele changee radicalement lorsque l'on se place en milieu borne. En eet, si l'on s'interesse au cas ou le domaine ou l'on rane le maillage est de longueur nie, ce que l'on cherchera toujours a obtenir en pratique,

Introduction

on montre alors que la stabilite n'est plus assuree sous la condition usuelle mais depend de l'occurence d'un zero d'une fonction d'une variable complexe, parametree par le nombre de mailles de la couche et par le rapport du pas de temps sur le pas d'espace. Un resultat im-portant est que des phenomenes d'explosion ressemblant fortement a de l'instabilite peuvent survenir m^eme si l'on respecte la CFL usuelle. Suivant le probleme considere on montre que

cette explosion peut ^etre soit une instabilite forte soit bornee par

e

C_{ste TL ou}

_T

_{est le temps}

de simulation et

L

la longueur de la bande ranee. Ceci est conrme par des experiences

numeriques ou l'on observe des explosions exponentielles qui se developpent, quelques fois tardivement, et degradent bient entendu les resultats du calcul.

Ces phenomenes d'instabilites sont tres g^enants car la nouvelle CFL depend de facon complexe du nombre de maille dans la couches ainsi que du nombre de Courant, et ce, bien que l'on se soit place en dimension 1. On s'attend alors a ce que l'extension de ces schemas a des cas plus compliques tels les equations de Maxwell 2-D, ne nous permette plus de ma^triser cette instabilite. Ceci est conrme par des experiences numeriques. En eet, si dans un premier temps, les methodes par interpolations semblent stables, il s'avere que pour des temps de simulation plus longs, une explosion de la solution du systeme de Maxwell-2D appara^t au voisinage de la grille ne. La condition C.F.L. empirique pour faire dispara^tre cette instabilite est alors inacceptable.

Cette methode d'interpolation se revelant trop incertaine pour ^etre utilisee avec conance dans le cas de ranement spatio-temporelle, il nous a semble plus judicieux de se tourner vers des methodes garantissant la stabilite de maniere plus systematique.

Une methode de ranement de maillage stable en di erences nies

Nous presentons dans cette partie une nouvelle methode de ranement de maillage pour le systeme de Maxwell 1-D. Cette methode vise a assurer la stabilite a priori via la conser-vation d'une energie electromagnetique discrete. Elle permet le raccord de deux grilles, l'une

discretisee avec un maillage espace-temps (2

h

2

t

), l'autre avec une discretisation (

h



t

)

sous la condition de stabilite usuelle. Le point cle de la methode consiste a n'assurer que faiblement la condition de continuite des inconnues entre les deux grilles. On considere en fait qu'a l'interface physique correspond deux interfaces discretes, une pour la grille grossiere et une pour la grille ne. L'etape suivante consiste a deriver une energie discrete de maniere a obtenir une condition de conservation de celle-ci. Ceci permet d'obtenir une relation assurant

la stabilite

L

2 du schema. Cette relation quadratique appara^t comme un equivalent discret de

l'annulation du saut des inconnues a l'interface. A partir de cette relation on trouve ensuite un schema lineaire permettant de raccorder les deux grilles de maniere stable et precise a condition que le rapport du pas de temps sur le pas d'espace ne soit pas trop proche de 1. Toutefois nous voyons que cette condition n'est pas tres penalisante. L'extension de ce schema a deux dimensions est ensuite realisee et donne egalement de bons resultats, toutefois, elle laisse presager que les calculs necessaires a la construction du schema en 3 dimensions, s'ave-reraient trop complexes. Cette derniere reexion nous a incites a rechercher un formalisme abstrait permettant de conduire les calculs plus aisement.

Une methode de ranement de maillage stable en elements nis

Dans la troisieme partie, nous montrons que la methode n'est qu'un cas particulier et qu'elle entre dans un cadre variationnel general et une approximation appropriee par

Introduction

ments nis mixtes. Le schema de raccord s'apparente alors a la methode des elements joints. En interpretant la recherche d'une condition de raccord, comme un probleme de transmis-sion, on montre que l'introduction d'une variable auxiliaire denie sur l'interface permet la construction d'une condition de raccord permettant la conservation d'un equivalent discret de l'energie. Cette variable auxiliaire qui n'est autre qu'un multiplicateur de Lagrange, s'as-simile dans le cas des equations de Maxwell a un courant deni sur l'interface. On montre que ce courant se calcule gr^ace a la resolution d'un systeme lineaire inversible et creux. La methode construite dans le cadre variationnel est explicitee pour le cas du schema de Yee, mais pourrait egalement ^etre etendue a d'autres schemas. On pourrait notamment gr^ace a cette methode raccorder des grilles non conformes.

Nous appliquons ensuite notre strategie en discretisant les equations de Maxwell a trois dimensions par le schema de Yee, et presentons les resultats numeriques du code informatique que nous avons incorpore dans un logiciel industriel. Les simulations eectuees demontrent l'inter^et et les potentialites du ranement spatio-temporel local. Dans un premier temps, on constate que dans le vide, l'erreur due au ranement de maillage est negligeable devant l'er-reur classique du schema de Yee. De plus, en presence de conducteur, gr^ace a une meilleure prise en compte de la geometrie mais egalement une meilleure approximation des singulari-tes au voisinage de l'obstacle, le ranement local permet d'obtenir des resultats quasiment identiques a ceux d'une simulation ou l'ensemble du maillage aurait ete rane.

Premiere partie

Des schemas de raccord par

interpolation,

Phenomenes d'instabilites

Chapitre 1

Presentation de schemas de

ranement par interpolation

1.1 Un survol non exhaustif de la bibliographie sur le

ra-nement de maillage spatio-temporel pour

l'electromagne-tisme

Mis a part l'article pionnier de Kunz et Simpson de 1981, "20], c'est au debut des annees 1990 que sont apparus les premiers travaux sur le ranement de maillage spatio-temporel. La modelisation des phenomenes electromagnetiques a l'aide du schema saute-mouton de Yee ou FDTD, "27], etait depuis une vingtaine d'annee tres couramment pratiquee aussi bien dans les laboratoires de recherche que pour les applications industrielles. La complexite croissante des structures rayonnantes a calculer a pose le probleme de l'erreur due a la geometrie de maniere de plus en plus aigu!e et la methode de ranement de grille a semble toute indiquee. On a ainsi vu para^tre une serie de travaux, surtout dans des revues comme IEEE Transaction on

Anten-nas and Propagation ou encore IEEE Transaction on Microwave Theory and Technology, qui

en gros suivait la m^eme demarche. Dans un premier temps, on choisit de facon assez arbitraire un rapport de pas de grille (1:2,1:3 voire 1:4), un schema d'interpolation (centre ou non) puis on code la methode et on la teste sur des exemples d'inter^et pratique. Le premier article de ce genre a ete publie en 1990 par Kim et Hoefer, "18]. Les auteurs retiennent un ranement spatio-temporel de 1:4. Le schema consiste a utiliser la formule explicite de Yee 4 fois sur la grille ne pour une seule fois sur la grille grossiere. Des formules d'interpolation portant sur

les deux champs sont utilisees pour clore le systeme d'equations1 (ce schema n'est d'ailleurs

pas donne de maniere tres claire dans l'article). Les conclusions sont que la methode marche (gain de 73 en temps de calcul) mais les auteurs signalent deux dicultes. Tout d'abord, que des reexions parasites sont presentes et qu'il faut utiliser une interpolation \conforme au comportement de la solution ". Ensuite, dans le cas de sandwichs (grilles grossiere-grille ne-grille grossiere) des phenomenes indesirables (\a serious interaction") peuvent appara^tre. Pa-rallelement en 1991 Zivanovic et al. proposent un schema d'interpolation pour un ranement 1:2 puis 1:3. L'interpolation est la encore eectuee sur les champs electriques et magnetiques. Deux exemples, diciles a interpreter, sont donnes qui semblent montrer que la methode \marche". On peut reprocher a ce papier son c^ote un peu peremptoire \...The technique is

1. rappelons que le schema de Yee utilise comme inconnues le champ electrique et le champ magnetique

Presentation de schemas de ranement par interpolation

shown to be numerically stable and does not entail any extra numerical error."(sic). Les re-sultats ne semblent pourtant pas toujours tres bons, surtout pour la grille 1:2 ou, pour une experience numerique particuliere, le ranement entra^ne une deterioration des resultats. Les conditions d'interpolation pour la grille 1:3 sont particulierement sophistiquees (utilisation d'un schema d'equations d'ondes pour l'interpolation du champ electrique). Elles semblent donner de meilleurs resultats que le ranement 1:2. Nulle mention de problemes de stabi-lite n'est signalee. Dans une communication, Prescott et Shulley, "26], proposent une version legerement modiee des equations d'interpolation. Leur methode est testee sur un calcul de coecient de reexion pour un guide d'onde 2-D. Des resultats d'erreur de moins de 0.65 % sont donnes sur une large plage de frequences, mais il est dicile d'interpreter ces resultats car le rapport de ces frequences avec le pas de discretisation n'est pas donne. Un travail si-milaire est eectue par Shimizu et al., "12]. De nouveau, les auteurs proposent un schema d'interpolation original et portant a la fois sur le champ electrique et le champ magnetique. Le coecient de reexion d^u au changement de grille est determine experimentalement sur un exemple de simulation d'un guide d'ondes cylindrique. Ils obtiennent une erreur de moins de 0,6 % pour des frequences allant jusqu'a 21 points de grilles grossieres, Le papier qui nous a semble le plus abouti est celui de Chevalier, Luebbers et Cable, "10] a propos d'un ranement de grille 1:3. Son originalite est double. D'une part, l'interpolation entre les grilles ne porte que sur le champ magnetique. Cela permet de traiter convenablement les cas ou l'interface entre grille ne et grille principale est traversee par des milieux de permitivite dielectrique variable, c'est a dire des cas ou le champ electrique n'est plus une fonction continue de l'es-pace. D'autre part, ce papier est le premier a exprimer clairement l'existence de dicultes liees a la stabilite du schema. A deux dimensions d'espace, une diminution d'un facteur 1.2 du pas de temps s'avere indispensable pour avoir la stabilite. Un autre probleme est signale et qui se manifeste par la presence d'un bruit constitue d'oscillations hautes frequences sur la solution numerique. Les auteurs proposent une methode pour diminuer ce bruit qui consiste a ponderer leur formules d'interpolation posees sur plusieurs interfaces decalees: au voisinage de l'interface, certains n&uds du maillage sont alors vus comme appartenant a la fois a la grille ne et a la grille grossiere. Trois experiences numeriques sont presentees, le calcul d'un dip^ole puis d'une sphere conductrice et enn d'un guide d'onde. Les resultats montrent une erreur de l'ordre de 0.5 % pour 10 points par longueurs d'onde par rapport aux resultats des m^emes calculs utilisant la grille ne. Si l'on accepte cette marge d'erreur, le gain en temps de calcul et en occupation memoire est impressionnant (facteur 10). Les m^emes calculs eectues sur la seule grille grossiere aboutissent a plus de 100 % d'erreur pour un temps de calcul uniquement divise par 2.

La premiere conclusion de ce bref survol est que le ranement de maillage spatio-temporel a surtout ete aborde d'un point de vue heuristique et etudie d'un point de vue experimental (analyse de resultats d'experiences numeriques). Les resultats des calculs montrent la grande potentialite de la methode, lorsqu'elle est convenablement utilisee. Le papier de Chevalier et al excepte, le choix de la formule d'interpolation (interpolation spatiale, temporelle, spatio-temporelle) est toujours assez arbitraire. Des problemes d'instabilites fortes (explosion au bout de quelques pas de temps) ou faible (explosion a la suite de multiples aller-retours de l'onde a l'interieur de la bo^te de calcul) ont ete signales par certains auteurs sans qu'aucune analyse mathematique ne soit donnee.

Nous n'avons pas trouve de papiers de nature vraiment mathematique sur la question precise du ranement spatio-temporel pour Maxwell. Neanmoins, il existe des articles sur des sujets connexes comme celui de P. Monk, "21] qui traite du ranement uniquement spatial

1.2 Presentation explicite et simpli ee de deux strategies de raccord

pour l'equation de Maxwell instationnaire. Si l'on se borne a des ranements en espace il existe maintenant des techniques variationnelles bien ma^trisees qui garantissent la stabilite modulo l'introduction d'inconnues supplementaires sur l'interface grille ne - grille grossiere: ce sont les elements joints "1], "5]. Une analyse assez complete est presentee par M. Berger dans "3] qui traite du ranement spatio-temporel de grille 1:n pour l'equation de transport scalaire 1D. Cette analyse est menee a partir d'une formule explicite de la solution du schema via une transformation de Fourier-Laplace en temps. Elle obtient la stabilite d'un schema s'appuyant sur un m^eme schema dissipatif pose sur deux grilles dont les pas sont en rapport de 1 a n, les deux grilles etant couplees par des formules ad hoc. Dans "4], Berger et Leveque presente une methode de ranement de maillage espace temps pour des systemes hyperboliques. La methode est basee sur un schema aux volumes nis et permet de faire du maillage adaptatif. L'equation de transport scalaire est toutefois un modele plus simple que l'equation des ondes. En eet, sa solution se propageant toujours dans une direction privilegiee ne peut rencontrer chaque interface entre grilles nes et grilles grossieres qu'une seule fois. Ce n'est pas le cas pour l'equation des ondes ou le systeme de Maxwell a cause des phenomenes de reexion d'ou l'apparition de nouvelles etudes necessaires.

1.2 Presentation explicite et simpliee de deux strategies de

raccord par interpolation pour l'equation des ondes.

1.2.1 Presentation du probleme modele.

L'objet de cette partie est d'eectuer une analyse mathematique du ranement de grille spatio-temporel par interpolation sur un cas simple a savoir l'equation des ondes 1-D

8 > > > > > > > < > > > > > > > :

@

2

u

@x

2 ;

c

2

@

2

u

@t

2 = 0

x

2

R

u

(

x

0) =

u

0(

x

)

@u

@t

(

x

0) =0

:

(1.1)

Pour simplier l'ecriture nous prendrons

c

=1.

Ce modele est susamment elementaire pour se pr^eter a des calculs explicites et assez riche pour contenir beaucoup des caracteristiques et des dicultes du modele plus complexe des equations de Maxwell en 2 ou 3 dimensions.

Nous choisissons de discretiser cette equation par le schema aux dierences nies le plus classique

u

k+1 j ;2

u

kj+

u

k;1 j 

t

2 ;

u

_kj+1 ;2

u

kj+

u

kj ;1

h

2 = 0



(1.2)

ou

u

kj 

u

(

jhk



t

). Gr^ace a ce schema, on peut, a l'aide des valeurs de

u

aux instants

k

et

k

;1 (points verts sur la gure 1.1), calculer les valeurs de

u

a l'instant

k

+ 1 (point rouge).

Pour completer le schema, il nous faut preciser le schema de demarrage aux premiers pas

de temps: il nous faut initialiser le schema avec des conditions initiales en

k

=0 et 1 pour

u

kj.

Le premier pas de temps est simplement initialise par la valeur aux noeuds de la fonction

initiale

u

0 choisie.

Presentation de schemas de ranement par interpolation

t h t unj x

Fig. 1.1 { Schema 'Saute-mouton'

Pour le deuxieme pas de temps on utilise un developpement de Taylor a l'ordre 2 ainsi que

la condition de vitesse nulle

du

_dt

_=t=0= 0 et l'equation des ondes satisfaite par

u

pour ecrire

u

(

jh



t

)

u

1 j =

u

0(

jh

) + 

t

2 2

u

0((

j

+ 1)

h

) ;2

u

0(

jh

) +

u

0((

j

;1)

h

)

h

2 (1.3)

Cette maniere de faire est classique et permet d'approcher les conditions initiales a l'ordre 2.

Il est bien connu (cf. "11] par exemple) que ce schema est stable des que 

t

est inferieur

a 

x

. En d'autres termes, le nombre de Courant t

x doit ^etre inferieur ou egal a 1. Si cette

condition n'est pas remplie le schema explose au bout d'un nombre ni d'iterations. Le schema

aux caracteristiques qui correspond au cas limite 

t

= 

x

est interessant car il n'induit

aucune dispersion. Malheureusement ce schema ne peut se generaliser aux dimensions d'espace superieures a 1. Les autres schemas possedent tous un caractere dispersif qui se traduit par une variation de la vitesse de propagation des ondes en fonction des frequences composant l'onde. Au fur et a mesure de la progression de l'onde, la partie haute frequence du signal a tendance a tra^ner en oscillant derriere le front principal. Si l'on veut que cet eet soit faible, il convient de choisir un pas de grille susamment n par rapport aux longueurs d'ondes qui constituent le signal.

On discretise ensuite l'equation sur deux maillages dierents. La grille de discretisation

de droite (indicee

j >

0) maillee plus nement que la grille de gauche (indicee

j <

0). Les

inconnues de chaque grille seront respectivement indicees par

g

et

f

. On construit ensuite le

schema a l'aide des approximations suivantes (exemple pour un ranement 1-2)

8 < : (

u

g)2k 2j 

u

(2

jh

2

k



t

)

j

0 (

u

f)kj

u

(

jhk



t

)

j >

0



(1.4)

ou

h

est le pas d'espace, 

t

le pas de temps et u la solution de (1.1)

En

x <

0 l'equation est approchee par (

u

g)2k+2 2j ;2(

u

g) 2k 2j + (

u

g) 2k;2 2j 4

t

2 ; (

u

g)2k 2j+2 ;2(

u

g) 2k 2j + (

u

g) 2k 2j;2 4

h

2 = 0 pour

j <

0



(1.5)

12

1.2 Presentation explicite et simpli ee de deux strategies de raccord

tandis que pour

x >

0 l'equation est approchee par

(

u

f)k+1 j ;2(

u

f)kj+ (

u

f) k;1 j 

t

2 ; (

u

f)kj+1 ;2(

u

f)kj+ (

u

f)kj ;1

h

2 = 0 pour

j >

1

:

(1.6)

On remarque, qu'avec ce choix le rapport du pas de temps sur le pas d'espace reste constant d'une grille de calcul a l'autre: le nombre de Courant est inchange entre les deux grilles.

Le choix qui est ici fait de prendre une seule interface en

x

= 0 se generalise aisement au

cas de plusieurs interfaces, par exemple au cas ou la grille ne est entre deux grilles grossiere. Restent a denir les approximations de l'equation a l'interface des deux grilles car chaque schema fait appel aux valeurs de la grille voisine a l'interface. C'est la diculte du ranement de maillage spatio-temporelle: trouver une bonne maniere de raccorder les deux grilles. Nous presentons ici des schemas tres simples, inspires de la litterature, permettant de resoudre ce probleme par interpolation.

1.2.2 Raccord par interpolation spatiale

On choisit ici, de construire des schemas d'approximation dierents sur l'interface entre les deux grilles en faisant appel a des interpolations spatiales. Plus exactement, les points de l'interface de la grille grossiere sont calcules par le schema classique complete par un point de la grille ne. Les schemas permettant le calcul des points de l'interface de la grille ne (en noir sur la gure 1.2) sont eux completes par les interpolations spatiales d'ordre 2. Bien

evidemment, puisque l'on interpole, on aura necessairement (

u

f)2k

0 = (

u

g) 2k

0 . Nous utiliserons

neanmoins les deux notations, (

u

f)2k

0 etant utilise dans un schema deni sur la grille ne et

(

u

g)2k

0 dans la grille grossiere.

On presente ici les schemas resultants de cette strategie dans le cas du ranement 1;2.

Sur l'interface, le schema depend de l'iteration. (

u

g)2k+2 0 ;2(

u

g) 2k 0 + (

u

g) 2k;2 0 4

t

2 ; (

u

f)2k 2 ;2(

u

g) 2k 0 + (

u

g) 2k ;2 4

h

2 = 0 (

u

f)2k+1 0 ;2(

u

f) 2k 0 + (

u

f) 2k;1 0 

t

2 ; (

u

f)2k 1 ;2(

u

f) 2k 0 + ((

u

g)2k 0 + (

u

g) 2k ;2) 2

h

2 = 0

1.2.3 Raccord par interpolation temporelle

Le principe est a peu pres le m^eme, c'est a dire que les points des interfaces de chaque grille sont calcules a l'aide de modication du schema classique. La dierence ici est d'utiliser des interpolations en temps pour completer le calcul sur la grille la plus ne.

En

j

=0, l'equation (1.5) devient (

u

g)2k+2 0 ;2(

u

g) 2k 0 + (

u

g) 2k;2 0 4

t

2 ; (

u

f)2k 2 ;2(

u

g) 2k 0 + (

u

g) 2k ;2 4

h

2 = 0

:

(1.7)

En

j

=1, l'approximation dependra de l'iteration en temps car les elements de la grille grossiere

ne sont calcules qu'une fois sur deux. Ainsi en

j

=1 pour les iterations impaires l'equation (1.6)

devient (

u

f)2k+1 1 ;2(

u

f) 2k 1 + (

u

f) 2k;1 1 

t

2 ; (

u

f)2k 2 ;2(

u

f) 2k 1 + (

u

g) 2k 0

h

2 = 0



(1.8)

13

Presentation de schemas de ranement par interpolation

Points interpoles Points speciaux 

t

Grille ne -2 (2n+ 2)t (2n+ 1)t 2nt 0 1 2 Indices d'espace

x

t

_h

Grille grossi ere

Fig. 1.2 { schema d'une interpolation spatiale

alors que pour les iterations paires, on approche (

u

g)2k+1

j;1  1 2((

u

g) 2k+2 j;1 +(

u

g) 2k j;1) et on obtient (

u

f)2k+2 1 ;2(

u

f) 2k+1 1 + (

u

f) 2k 1 

t

2 ; (

u

f)2k+1 2 ;2(

u

f) 2k+1 1 + 1 2((

u

g) 2k+2 0 + (

u

g) 2k 0 )

h

2 = 0

:

(1.9)

La gure 1.3 recapitule les schemas a l'interface entre les deux grilles.

C'est l'analyse de ce schema que nous allons developper. Ce choix etant fait, il nous faut savoir l'eet induit par le changement de grille sur le schema: a-t-on toujours stabilite si le nombre de Courant est inferieur a 1?, deteriore-t-on la precision du schema?, comment se compare l'erreur due au changement de grille au phenomene de dispersion? Ces questions seront successivement abordees dans les sections suivantes.

Une premiere ebauche de reponse peut ^etre faite a la vue de l'experience numerique pre-sentee tableau 1.1. Le moins que l'on puisse dire c'est qu'une simulation avec ranement de maillage ne donne manifestement pas les resultats escomptes puisqu'au bout d'un certain temps, la solution dans la grille ne presente ce que l'on peut appeler une anomalie. Peut ^etre est-ce un des phenomenes indesirables mentionnes dans la litterature. Nous tenterons d'apporter quelques lumieres sur ce phenomene.

1.2 Presentation explicite et simpli ee de deux strategies de raccord

2 3 4 5 6 0 1 -2 -4 0 1 2 3 4 -6 indices k (temps) indices j (espace) Points speciaux Points interpoles grille ne grille grossiere

Fig. 1.3 { Schema de l'interpolation sur la grille pour un ranement 1-2

Presentation de schemas de ranement par interpolation

t=0s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=570s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=11s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=639s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=23s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=662s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=34s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t=684s −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Tab.1.1 { Resultats d'une simulation de ranement de maillage, pour un nombre de Courtant

t

h  0

:

9. La grille ne est situee a droite et contient 7 points. Les conditions aux bords

sont des conditions de Dirichlet. Dans un premier temps, l'onde se propage normalement dans les deux grilles, mais apres quelques aller-retours (t=639s), la solution dans la grille ne augmente sans raison apparente et nit par exploser. Ce phenomene ressemble a une instabilite...

Chapitre 2

Raccord par interpolation

temporelle de deux demi-espaces

innis. Analyse du ranement 1-2

2.1 Analyse de la stabilite par Fourier-Laplace

Nous proposons dans cette section de resoudre explicitement les equations du schema de raccord par interpolation temporelle a l'aide de la transformation de Fourier-Laplace et d'analyser ainsi theoriquement sa stabilite. Cette methode est en eet particulierement bien adaptee a l'etude du couplage de deux schemas d'equations d'ondes. Il s'agit d'une technique a la Kreiss comme pour l'etude des schemas de discretisation des problemes hyperboliques aux limites (cf. "19], "22] par exemple).

2.1.1 Transformees de Fourier-Laplace: denition et resolution

L'idee de la methode est d'utiliser les transformees de Fourier-Laplace discretes en temps

des solutions du schema pour montrer que les normes

`

2 de ces dernieres sont majorees par une

constante. Cette constante peut eventuellement dependre de la duree de simulation (

n



t

).

Nous sommes donc amenes a calculer les transformees de Fourier-Laplace des solutions de (1.5) et (1.7) dans la grille grossiere et de (1.6), (1.8) et (1.9) dans la grille ne. Pour

simplier, on suppose que les conditions initiales sont a support dans

x <

0 et on cherche la

solution dans la grille grossiere sous la forme (

u

g)2k 2j = (

u

inc) 2k 2j + (~

u

g) 2k 2j



(2.1) ou (

u

inc)2k

2j est l'onde numerique incidente, c'est a dire celle qui verie le schema (1.5) pour

j

2 Z avec les m^emes conditions initiales que (

u

g) en

k

= 0 et

k

= 1. On introduit alors

les transformees de Fourier-Laplace discretes en temps des suites (~

u

g)2k

2j, (

u

inc) 2k 2j, (

u

f) 2k j et (

u

f)2k+1 j .

17

Raccord par interpolation temporelle de deux demi-espaces in nis.

8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : (^ug)2j(

!

) = 2

t

1 X k=0 (~

u

g)2k 2j

e

i!2kt (^uinc)2j(

!

) = 2

t

1 X k=0 (

u

inc)2k 2j

e

i!2kt (^uf)Pj(

!

) = 2

t

1 X k=0 (

u

f)2k j

e

i!2kt (^uf)Ij(

!

) = 2

t

1 X k=0 (

u

f)2k+1 j

e

i!(2k+1)t

:

(2.2)

ou

!

(la frequence) est l'argument complexe de ces suites. Le pas de temps dans la grille

ne etant deux fois plus n, la transformee de la solution dans la grille ne, a donc deux composantes dans la decomposition choisie. On pose

(^Uf)j = " (^uf)Pj (^uf)Ij #

:

(2.3)

On peut justier l'existence et m^eme l'analycite des fonctions denies ci-dessus au moins

pour la partie imaginaire de

!

(=(

!

)) assez grand, car les equations du schema nous montrent

qu'il existe un

M

ne dependant que du rapport des pas de discretisation tel que

X j0 j(

u

g) 2k 2j j 2+ X j>0 k(

U

f)kjk 2 (

M

(



)) 2k 0 @ X j0 j(

u

g) 0 2j j 2+ X j0 j(

u

g) 2 2j j 2+ X j>0 k(

U

f) 0 jk 2 1 A



avec k(

U

f)kjk 2 =j(

u

f) 2k j j 2 +j(

u

f) 2k;1 j j 2 et



=

h

2 

t

2

:

En eet, une majoration a la ba!onnette nous donne que pour tout

j >

0

j(

u

f) 2k+1 j j 2 4 4(1; 1



)2 j(

u

f) 2k j j 2 +j(

u

f) 2k;1 j j 2 + 1



2( j(

u

f) 2k j;1 j 2 +j(

u

f) 2k j+1 j 2 ) avec (

u

f)2k j;1 = (

u

g) 2k 0 lorsque

j

=1, et donc X j>0 j(

u

f) 2k+1 j j 2 

C

(



) 0 @ X j>0 j(

u

f) 2k j j 2+ X j>0 j(

u

f) 2k;1 j j 2+ X j0 j(

u

g) 2k 2j j 2 1 A

avec, par exemple,

C

(



) =16((1;

1

)2+ 8

2 + 4. De m^eme, on montre que

X j>0 j(

u

g) 2k+2 2j j 2 

C

(



) 0 @ X j0 j(

u

g) 2k 2j j 2 +X j0 j(

u

g) 2k;2 2j j 2 +X j>0 j(

u

f) 2k j j 2 1 A

:

Enn, X j>0 j(

u

f) 2k+2 j j 2  16(1; 1



)2+ 8



2  X j>0 j(

u

f) 2k+1 j j 2+ 4 X j>0 j(

u

f) 2k j j 2+ 2



2 X j0 j(

u

g) 2k+2 2j j 2+ 2



2 X j0 j(

u

g) 2k 2j j 2 

C

0(



) 0 @ X j0 j(

u

g) 2k 2j j 2+ X j0 j(

u

g) 2k;2 2j j 2+ X j>0 j(

u

f) 2k;1 j j 2+ X j>0 j(

u

f) 2k j j 2 1 A

:

18

2.1 Analyse de la stabilite par Fourier-Laplace

ou

C

0(



) =  4 + 2 2 +

C

(



)(16(1 ; 1 )2+ 10 2) . et

M

(



) = 2

C

(



) +

C

0(



) + 1 convient.

Les series intervenant dans (2.2) sont donc absolument convergentes des que =(

!

)

>

log(

M

(



))

=



t

. En eet, en posant

c

0 = X j0 j(

u

g) 0 2j j 2+ X j0 j(

u

g) 2 2j j 2+ X j>0 k(

U

f) 0 jk 2



on a

(^ug)2j(

!

) + (^uf)Pj(

!

) + (^uf)Ij(

!

) 

c

0 X k

e

i2k ; !;i log(M()) t  t

et la serie du second membre est alors absolument convergente des que=(

!

)

>

log(

M

(



))

=



t

.

On en deduit que les transformees de Fourier Laplace sont bien denies et analytiques, au

moins sur un demi-plan de la forme =(

!

)

> S >

0 pour

S

assez grand. De plus, on verie

facilement que ces fonctions sont bornees a l'inni,=(

!

)!1.

Une fois ces denitions posees, on va utiliser les equations du schema pour etablir des relations entre les transformations de Fourier-Laplace des fonctions inconnues. Nous venons de voir que tous les calculs qui vont suivre se justient au moins lorsque la partie imaginaire

de

!

est assez grande.

On multiplie ensuite l'equation (1.5) par

e

;i2k!t puis on somme sur les indices

k

. En

utilisant la relation

e

2i!t ;2 +

e

;2i!t= ;4sin 2(

!



t

)



on obtient alors la relation classique pour le schema interieur

8 > < > : 4sin2(

!



t

) 

t

2 (^ug) 2j+ 1

h

2((^ug) 2j+2 ;2(^ug) 2j+ (^ug)2j;2) = 0 pour

j <

0



(2.4)

De m^eme on ecrit l'equation (1.6) aux instants pairs (

k

= 2

k

0) et impairs (

k

= 2

k

0+ 1) et on

les multiplie respectivement par

e

;i2k!t et

e

;i(2k+1)!t. Apres sommation et en utilisant

e

i!t+

e

;i!t=2cos(

!



t

)



on trouve 8 > > > < > > > :

2(^u_Pf)j ;2cos(

!



t

)(^uIf)j



t

2 + 1

h

2((^uPf)j +1

;2(^uPf)j + (^uPf)j

;1) = 0

2(^u_If)j;2cos(

!



t

)(^uPf)j



t

2 + 1

h

2((^uIf)j +1 ;2(^uIf)j+ (^uIf)j ;1) = 0 pour

j >

1



(2.5)

que l'on peut egalement reecrire

8 > < > : Af(^Uf)j 

t

2 + 1

h

2((^Uf)j +1 ;2(^Uf)j+ (^Uf)j ;1) = 0 pour

j >

1



(2.6) ou

A

f = " 2 ;2cos(

!



t

) ;2cos(

!



t

) 2 #

:

19

Raccord par interpolation temporelle de deux demi-espaces in nis.

Les equations (1.6) et (1.8) multipliees par

e

;i2k!t, et (1.9) par

e

;i(2k+1)!t, donnent en les

sommant les relations liant les transformees a l'interface.

8 > < > : 4sin2(

!



t

) 

t

2 (^ug) 2j+ 1

h

2  (^ug)2j;2 ;2(^ug) 2j+ (^uf) P 2j+2 ;(^uinc) 2j+2 = 0 pour

j

= 0



(2.7) 8 > > < > > : Af(^Uf)j 

t

2 + 1

h

2  (^uf)j+1 ;2(^uf)j + "

(^ug)0+ (^uinc)0

cos(

!



t

)((^ug)0+ (^uinc)0)

#!

= 0

pour

j

= 1



(2.8)

Les relations (2.4) et (2.6) sont des recurrences a deux niveaux que l'on sait resoudre a l'aide des solutions du polyn^ome caracteristique

8 > > < > > :

r

2(

!

) ;2

A

(

!

)

r

(

!

) + 1 = 0 avec

A

(

!

) = 1;2

h

2 

t

2 sin 2(!t 2 )

:

(2.9)

Ce polyn^ome possede deux racines donnees par

r

(

!

) =

A

(

!

) q

A

2(

!

) ;1 (2.10)

et dont le produit vaut 1. Ainsi, a moins que les deux racines ne se trouvent sur le cercle unite,

l'une (

r

;) est de module strictement superieur a 1, l'autre (

r

+) est de module strictement

inferieur a 1. On montre plus loin que si=(

!

) est assez grande, on est toujours dans le second

cas. De ce fait, la solution generale de, disons (2.4) qui s'ecrit ^ (

u

g)2j =

C

+(

!

) ;

r

+(2

!

) j +

C

;(

!

) ;

r

;(2

!

) j 8

j <

0



(2.11)

et qui a donc deux constantes indeterminees, n'en a en fait qu'une seule car

C

+doit ^etre nulle

pour que (

u

g) soit dans

`

2. On va preciser tout ceci en denissant dans le plan complexe \la

racine de module plus petit que 1 de (2.9)".

2.1.2 Denition et analyse de

r

(

!

)

On commence par choisir une determination de la racine carree. On prend p

z

=

e

1 2

logz

ou log

z

=logj

z

j+

i

arg(

z

) avec arg(

z

) 2];



" (determination principale du logarithme).

La fonction p

z

est denie analytique surC prive de la coupure ];1



0]. Si on utilise cette

denition, on verie que les fonctions

r

(

!

) donnees par

r

 (

!

) =

A

(

!

)

A

(

!

) s 1; 1

A

2(

!

) (2.12)

sont analytiques en tous points tels que

A

(

!

) ne soit pas un reel de ";1



1]. Supposons le pas

de temps plus petit que le pas d'espace, un calcul simple montre que la coupure en

!

pour

r

(

!

) est alors constituee d'une famille de segments de la forme "

;

=



t =



t

]+ 2



Z

=



t

ou

=2arcsin(t

x). Une propriete remarquable est que ces segments correspondent precisement

aux valeurs de

!

pour lesquelles les deux racines sont de module 1. En eet, si (2.9) admet

2.1 Analyse de la stabilite par Fourier-Laplace

;





arg(

z

)

0

-6

Fig. 2.1 { Coupure pour log(

z

) =log(j

z

j) +

i

arg(

z

)

deux racines de modules 1, soient

e

i _et

_e

;i avec



reel on trouve que cos



=

A

,

A

est un

reel de ";1



1] et

!

est sur la coupure de

r

(

!

). En utilisant un argument de continuite, on

en deduit que (2.10) denit deux racines de (2.9) dont le module est, globalement sur son

domaine, soit plus petit soit plus grand que 1. Commep

1;1

=A

2

1;1

=

(2

A

2),

j

A

j!1,

il est facile de voir que c'est

r

+qui correspond a la racine de module inferieur a 1. On resume

tout ceci dans la

Propriete 1

Supposons 

t

plus petit que

h

, La fonction

r

(

!

) =

A

(

!

);

A

(

!

) s 1; 1

A

2(

!

)

:

A

(

!

) = 1;2

h

2 

t

2 sin 2(! t 2 )



(2.13)

est denie, 2

=



t

periodique et analytique sur

) = Cjj n "; 2 

t

arcsin 

x

t

2

t

arcsin 

x

t

] + 2



t

Z 



ou elle verie

r

(

!

)2 ;2

A

(

!

)

r

(

!

) + 1 = 0



j

r

(

!

)j

<

1

:

(2.14)

Remarque 1

: Il y a bien d'autres facons de denir cette racine sur =(

!

)

>

0. Le choix qui

est fait ici permet de prendre comme coupure les

!

qui correspondent precisement aj

r

+(

!

) j= j

r

;(

!

)

j= 1. Le choix plus naturel qui consisterait a denir la racine par

A

(

!

)

p

A

2(

!

) ;1

ne permet pas de denir la racine sur l'axe imaginaire pur.

Il est interessant de regarder le comportement de cette racine lorsque l'on s'approche

de l'axe reel. On voit qu'alors l'expression

A

(

!

) va tendre vers un reel, et de m^eme pour

1;

A

(

!

)

;2. Si cette derniere quantite est positive (

j

A

(

!

)j1), il y a continuite de

r

(

!

) et on

trouve la racine de module plus petit que 1 du polyn^ome qui est donnee par

A

(

!

)+p

A

(

!

)2 ;1

puisque

A

(

!

) est negatif (cf. la formule donnant

A

(

!

)).

Raccord par interpolation temporelle de deux demi-espaces in nis.

-6 ; t

+

 t ;  t

+

 t

Fig. 2.2 { Representation du domaine d'analycite de la fonctions

r

(

!

) sur une periode. A la

traversee de la coupure ";

=



t =



t

], la fonction

r

(

!

) admet un saut et echange les deux

racines du polyn^ome.

Si 1;

A

(

!

)

;2 est negatif, a la limite (

!

! 0

+), on a deux racines conjuguees de module

1 et il faut faire attention au signe de la partie imaginaire de

!

au moment du passage a la

limite. Plus precisement, on a

1; 1 (

A

(

!

) +

i

)2  = 1; 1

A

(

!

)2  + 2

_A

₍

_!

i

₎3



+

O

(



2) et donc sij

A

(

!

)j

<

1

r

(

!

r+

i

) 

A

(

!

r);

A

(

!

r)  1; 1

A

(

!

r)2  + 2

_A

₍

_!

i

_r)3



 ; 1 2 

A

(

!

r);

iA

(

!

r)

Signe

(

A

(

!

r))

Signe

(



)  ;1 + 1

A

(

!

r)2  ; 1 2 

A

(

!

r);

iSigne

(



) q 1;

A

(

!

r) 2 (



!0)

ou



est tel que

A

(

!

r+

i

)

A

(

!

r) +

i

, c'est-a-dire



=;

sin

(

!

r

t

) et

!

r =<(

!

)

Maintenant reste a trouver le bon signe pour =(

A

(

!

)) lorsque

!

tend vers l'axe des reels

avec une partie imaginaire positive. On a

A

(

!

r+

i

) =

A

(

!

r);

i

sin(

!

r

t

)



+

O

(



2)

On a tous les elements pour comprendre ce qui se passe: lorsque

!

parcourt le segment

"; t





t] au dessus de l'axe imaginaire nul,

A

(

!

) part d'un point reel negatif plus petit que

;1 rejoint le point;1 (

!



t

vaut alors;

) puis contourne le segment ";1



1] par au-dessus. Le

point 1 est alors atteint en

!

=0. Ensuite,

A

(

!

) rebrousse chemin vers -1 mais par en-dessous

cette fois-ci. De ;1, (

!



t

est alors egal a

),

A

(

!

) revient a son point de depart.

Il est alors facile de deduire l'expression de

r

(

!

), on a

2.1 Analyse de la stabilite par Fourier-Laplace

! ! -- - -;  t

+

 t ;  t

+

 t N  | |  A

(

!

)

! #  -- -  ;

1

+1

N  |  -N r

(

!

)

! ;

i

+

i

 " ;1 1

Fig. 2.3 { Representation des chemins parcourus par

A

(

!

) et

r

(

!

) (cercle unite) lorsque

!

parcourt le contour dessine sur l'axe reel. lim =(!)#0 +

r

(

!

) =

A

(

!

) ;

i

q 1;

A

(

!

) 2

 !



t

2";



0] lim =(!)#0 +

r

(

!

) =

A

(

!

) +

i

q 1;

A

(

!

) 2

 !



t

2"0



] lim =(!)#0 +

r

(

!

) =

A

(

!

) + q

A

(

!

)2 ;1

 !



t

2";



;

]"



] (2.15)

Remarque 2

On a bien continuite de

r

(

!

) en 0, puisque

A

(0) =1 et

r

(0) =1.

En remplacant

A

(

!

) par sa valeur, on obtient des expressions fonction de

!

:

si

!



t

2";



]



lim =(!)#0 +

r

(

!

) = 1 ;2

h

2 

t

2 sin 2(

!



t

2 ) + 2

i h



t

sin(

!

2 )

t

s 1;

h

2 

t

2sin 2(

!



t

2 )



si

!



t =

2";



]



lim =(!)#0 +

r

(

!

) = 1 ;2

h

2 

t

2 sin 2 (

!

_{2 ) + 2}

t



h

_t

sin(

!

_{2 )}

t

s

h

2 

t

2 sin 2(

!



t

2 );1 (2.16)

23