Equations de Maxwell ´

(1)

Equations de Maxwell ´

Les équations de Maxwell vont nous permettre de généraliser à des système dépendant du temps, dans un formalisme local, les équations vues au chapitre précédent dans le cadre des régimes permanents.

I Conservation de la charge

On fait un bilan de charge sur un volumeV d´elimit´e par une surface Σ. Entretett`dt, la variation de charge estdQ“Qpt`dtq ´Qptq. Cette variation est due (en l’absence de sources) au flux de charge

`

a travers Σ

dQ“ ´dt

£

Σ

~j¨dÝÑS

le signep´q exprimant le fait que les charges sortant de la surface correspondent `a une diminution deQ.

On a alors

Qpt`dtq ´Qptq

dt “ dQ

dt “ ´

£

Σ

~j¨dÝÑ S qui se transforme en utilisant le th´eor`eme de Green-Ostrogradski

dQ dt “ ´

¡

V

div~jdτ

Par ailleurs

dQ dt “ d

dt

¡

V

ρdτ “

¡

V

Bρ Btdτ On peut donc ´ecrire sous forme int´egrale

¡

V

„Bρ

Bt `div~j

 dτ “0 ou sous forme locale

Bρ

Bt `div~j “0 (1)

C’est une équation analogue aux équations obtenues en diffusion pour la conservation du nombre de particules ou la conservation de l’énergie, par exemple.

R´egime permanent En r´egime permanent, Bρ

Bt “0 et donc on a simplement div~j “0.

1

(2)

II Equations de Maxwell´

Les ´equations de Maxwell sont les ´equations suivantes :

divÝÑ

E “ ρ

₀ pMaxwell´Gaussq (2)

divÝÑ

B “ 0 pMaxwell´Thomsonq (3) ÝÑ

rotÝÑE “ ´BÝÑB

Bt pMaxwell´Faradayq (4) ÝÑ

rotÝÑ

B “ µ₀~j`₀µ₀BÝÑ E

Bt pMaxwellÁmpèreq (5) Remarques générales

– Les équations de Maxwell sont des équations aux dérivées partielles couplées du champ électromagnétique, – les équations de Maxwell sont linéaires, donc une somme de solution du jeu d’équation est aussi

solution (superposition),

– les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Thomson sont inchangées en régime dépendant du temps.

– Les équations de Maxwell-Thomson et Maxwell-Faraday ne dépendent pas des sources (charges et courants) du champ magnétiques, ce sont des équations destructure du champ électromagnétique II.1 Equation de Maxwell-Gauss´

C’est l’équation qui correspond au théorème de Gauss que l’on peut retrouver en intégrant et en appliquant le théorème de Green-Ostrogradski

£

Σ

Ý ÑE ¨dÝÑ

S “ Qptq

₀ (6)

II.2 Equation de Maxwell-Thomson´

C’est l’équation qui correspond au caractère conservatif du flux du champ magnétique que l’on peut retrouver en intégrant et en appliquant le théorème de Green-Ostrogradski

£

Σ

Ý ÑB ¨dÝÑ

S “0 (7)

II.3 Equation de Maxwell-Faraday´

L’équation de Maxwell-Faraday permet de tenir compte du phénomène d’induction sur lequel nous nous étendrons au chapitre prochain. En effet,

ÝÑ rotÝÑ

E “ ´BÝÑ B Bt

peut s’intégrer sur une surface Σ entourée par un contour fermé Γ ĳ

Σ

ÝÑ rotÝÑ

E ¨dÝÑ S “ ´

ĳ

Σ

BÝÑ B Bt ¨dÝÑ

S

(3)

En utilisant le théorème de Stokes-Ampère sur le membre de gauche et en inversant dérivée temporelle et intégration spatiale dans le membre de droite

¿

Γ

Ý

ÑE ¨d~l“ ´B Bt

ĳ

Σ

Ý ÑB ¨dÝÑ

S

qui pr´edit l’apparition d’un champÝÑ

E et d’une f-´e-m dite d’induction lorsque le flux du champ magn´etique varie au cours du temps

e“

¿

Γ

Ý

ÑE ¨d~l“ ´BΦ

Bt (8)

II.4 Equation de Maxwell-Amp`´ ere Le terme ~j_D “ ₀BÝÑ

E

Bt est appelé courant de déplacement. Cette équation généralise le théorème d’Ampère sous sa forme locale. En effet, si l’on part du théorème d’Ampère sous sa forme locale

ÝÑ rotÝÑ

B “µ₀~j et qu’on y applique l’op´erateur divergence

divpÝrotÑÝÑBq “divpµ₀~jq on trouve que

div~j “0 car divpÝrotÑÝÑ

Bq “0. Le théorème d’Ampère est donc incompatible avec une variation temporelle de ρ, et donc avec un régime non permanent.

III Relations de passage

III.1 Relation de passage pour E~

On considère un élément de volume parallélépipédique chargé dV “ edS “ edxdy avec une charge volumique ρ. On peut écrire l’équation de Maxwell-Gauss

BEx

Bx `BEy

By `BEz

Bz “ ρ ₀ En int´egrant cette relation sur l’´epaisseur eque l’on fait tendre vers 0

ż_e

0

BE_x Bx dz`

ż_e

0

BE_y By dz`

ż_e

0

BE_z Bz dz“

ż_e

0

ρ 0

dx En raison de la continuit´e du champ ÝÑ

E hors de la surface, les termes ş_e

0 BEx

Bx dz et ş₀

e BEy

By dz sont nuls puisque les dérivées partielles sur des coordonnées autres que z sont bornées et que l’on intègre sur une

´

epaisseureÑ0. Il reste donc

ż_e

0

BEz

Bz dz“Ez2´Ez1 “ σ 0

On peut donc ´ecrire vectoriellement

Ý

ÑEz2´ÝÑ Ez1 “ σ

₀~ez

(4)

Il y a donc discontinuité de la composante normale à la surface. Par ailleurs, on peut écrire l’équation de Maxwell-Faraday

$

’’

’&

’’

’% BE_z

By ´BE_y

Bz “ ´BB_x Bt BEx

Bz ´BEz

Bx “ ´BBy

BE_y Bt

Bx ´ BE_x

By “ ´BB_z Bt

que l’on peut intégrer de la même manière que celle de Maxwell-Gauss, ce qui donne

$

&

%

´pEy2´Ey1q “ 0 E_x2´E_x1 “ 0

0 “ 0

Il n’y a donc pas de discontinuit´es sur les composantes surx etydu champ ÝÑ

E. On peut donc finalement

´ ecrire

Ý ÑE₂´ÝÑ

E₁ “ σ

₀~n_1Ñ2 (9)

où~n1Ñ2 est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface chargée allant de 1 vers 2.

III.2 Relation de passage pour B~

On considère un élément de volume parallélépipédique chargé dV “ edS “ edxdy avec un courant volumique j~s. On peut écrire l’équation de Maxwell-Thomson

BBx

Bx `BBy

By `BBz

Bz “0 En int´egrant cette relation sur l’´epaisseur eque l’on fait tendre vers 0

ż_e

0

BBx

Bx dz` ż_e

0

BBy

By dz` ż_e

0

BBz

Bz dz“0 En raison de la continuit´e du champ ÝÑ

B hors de la surface, les termes ş_e

0 BBx

Bx dz et ş₀

e BBy

By dz sont nuls puisque les dérivées partielles sont bornées et que l’on intègre sur une épaisseur eÑ0. Il reste donc

ż_e

0

BB_z

Bz dz“B_z2´B_z1 “0

Il n’y a donc pas discontinuité de la composante normale à la surface. Par ailleurs, on peut écrire l’équation de Maxwell-Ampère

$

’’

’&

’’

’% BB_z

By ´BB_y

Bz “ µ₀j_x`µ₀₀BE_x Bt BBx

Bz ´BBz

Bx “ µ0jy `µ00

BEy

BB_y Bt

Bx ´BB_x

By “ µ₀j_z`µ₀₀BE_z Bt

que l’on peut intégrer de la même manière que celle de Maxwell-Thomson, ce qui donne

$

&

%

´pBy2´By1q “ µ0jsx

B_x2´B_x1 “ µ₀j_sy 0 “ µ₀j_sz

(5)

On peut écrire la différence entre les champs tangentiels de chaque coté de la surface Ý

ÑBt2´ÝÑ

Bt1 “ pBx2~ux`By2~uyq ´ pBx1~ux`By1~uyq “ pBx2´Bx1q~ux` pBy2´By1q~uy

que l’on peut r´e´ecrire

pB_x2´B_x1q~u_x`pB_y2´B_y1q~u_y “µ₀j_sy~u_x´µ₀j_sx~u_y “µ₀j_sy~u_y^~u_z´µ₀j_sx~u_z^~u_x “µ₀j_sy~u_y^~u_z`µ₀j_sx~u_x^~u_z qui se simplifie

Ý

ÑB_t2´ÝÑ

B_t1 “µ₀~j_s^~u_z

Il y a donc une discontinuit´e sur les composantes surx ety du champÝÑ

B. On peut donc finalement ´ecrire Ý

ÑB2´ÝÑ

B1“µ0~j_s^~n1Ñ2 (10)

IV Potentiels V et A~

L’´equation de Maxwell-Thomson divÝÑ

B “0 implique l’existence d’un potentielÝÑ

A tel queÝÑ

B “ÝrotÑÝÑ A puisque divpÝrotÑÝÑAq “0 quelque soit ÝÑA. Ce potentiel vecteur est d´efini qu’`a un champ de gradient A¹ fini puisque ÝrotpAÑ ¹q “0. Choisir le champA¹ constitue un choix de jauge.

Potentiel scalaire On peut alors ´ecrire l’´equation de Maxwell-Faraday ÝÑ

rotÝÑ E `BÝÑ

B

Bt “ÝrotÑÝÑ

E `BÝrotÑÝÑ A Bt “0 ce qui permet d’´ecrire

ÝÑ rot

˜ Ý ÑE `BÝÑ

A Bt

¸

“0 On peut donc d´efinir un champ V tel que

Ý ÑE `BÝÑ

A

Bt “ ´ÝÝÑ gradV défini à une constante près.

Nous avons donc maintenant 2 ´equations qui relient les champs aux potentiels Ý

ÑE ` BÝÑ A

Bt “ ´ÝÝÑ

gradV et ÝÑ

B “ÝrotÑÝÑ

A (11)

On pourra noter pour la culture générale que les potentiels ne sont pas des versions alternatives des champs, mais qu’ils semblent avoir une portée plus profonde, en particulier en mécanique quantique (et plus généralement dans l’expression lagrangienne ou hamiltonienne de l’électrodynamique).

Equations de Poisson et de Laplace´ Comme ÝÑE “ ´ÝÝÑ

gradV, on peut alors réécrire l’équation de Maxwell-Gauss

´divpÝÝÑ

gradVq “ ´∆V “ ρ ε₀ d’o`u l’´equation de Poisson

∆V ` ρ ε₀ “0 En l’absence de charges, on obtient l’´equation de Laplace

∆V “0

dont la solution `a une dimension est un potentiel lin´eaire et un champÝÑ

E uniforme.

(6)

V Energie du champ ´´ electromagn´etique

V.1 Bilan int´egral d’´energie

On considère un volume V contenant des charges dans lequel règne un champ électromagnétique rÝÑE ,ÝÑBs. On s’intéresse à la variation de l’énergie électromagnétiqueU_emptq du champ électromagnétique entret ett`dt. La variation de cette énergie peut venir de deux contributions :

– un terme modélisant l’interaction du champ avec les charges dans le volume V, lié à l’existence de la force de Lorentz,

– un terme lié au flux d’énergie à travers la surface fermée Σ délimitant le volumeV. Puissance volumique transmise aux charges La force de Lorentz ÝÑ

F “qpÝÑ

E `~v^ÝÑ

Bq permet de calculer la puissance cédée à une charge P_L “ÝÑ

F ¨~v, soit dP_L “ ρpÝÑ

E `~v^ÝÑ

Bq ¨~v “ρÝÑ

E ¨~v “~j¨ÝÑ E la puissance de la force de Lorentz pour un volume et, pour le volume total

PL“

¡

V

~j¨ÝÑ E dτ

La contribution à la variation de l’énergie du champ électromagnétique est alors dUL

dt “ ´

¡

V

~j¨ÑÝ E dτ

Terme de flux Par analogie avec les raisonnements précédemment effectués sur les bilans (diffusion, mécanique des fluides etc ...), on définit un vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique ÝÑ

R tel que la variation d’énergieU_em due aux échanges à travers la surface Σ est donnée par :

dU_Σ “ ´

£

Σ

Ý

ÑR ¨dÝÑS dt

le signe ´ permettant de compter positivement l’énergie qui rentre dans le volume dans le cas d’une surface orientée vers l’extérieur. On a alors en terme de puissance

dUΣ

dt “ ´

£

Σ

Ý ÑR ¨dÝÑ

S

Bilan intégral En faisant la somme des deux termes, on obtient alors l’équation de conservation de l’énergie sous forme intégrale

dUem

dt “ ´

£

Σ

Ý ÑR ¨dÝÑ

S ´

¡

V

~j¨ÝÑ

E dτ (12)

V.2 Bilan local d’´energie

On peut raisonner au niveau local en posant U_em “

¡

V

u_emdτ

(7)

où u_em est la densité d’énergie électromagnétique. En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski et en inversant intégration spatiale et dérivée temporelle, on obtient alors

¡

V

du_em

dt dτ “ ´

¡

V

divÝÑR ¨dτ ´

¡

V

~j¨ÝÑE dτ

qui doit être valable quelque soit le volume d’intégration, ce qui nous donne l’équation de conservation de l’énergie sous sa forme locale

duem

dt “ ´divÝÑ

R ´~j¨ÝÑ

E (13)

V.3 Th´eor`eme de Poynting

On peut utiliser l’´equation de Maxwell-Amp`ere pour exprimer~j

~j “ 1 µ₀

« ÝÑ rotÝÑ

B ´0µ0BÝÑ E Bt

ff

ce qui permet de calculer

~j¨ÝÑE “ 1 µ0

Ý ÑE ¨

« ÝÑ

rotÝÑB ´₀µ₀BÝÑE Bt

ff

“ 1 µ0

« Ý

ÑE ¨ÝrotÑÝÑB ´₀µ₀ 2

BÝÑE² Bt

ff

On utilise alors l’identit´e vectorielle divpÝÑE ^ÝÑBq “ ÝÑB ¨ÝrotÑÝÑE ´ÝÑE ¨ÝrotÑÝÑB, ce qui donne ÝÑE ¨ÝrotÑÝÑB “

´divpÝÑ E ^ÝÑ

Bq `ÝÑ B ¨ÝrotÑÝÑ

E “ ´divpÝÑ E ^ÝÑ

Bq ´ÝÑ B ¨BÝÑB

Bt . On obtient alors

~j¨ÝÑ E “ 1

µ₀

«

´divpÝÑ E ^ÝÑ

Bq ´ 1 2

BÝÑ B²

Bt ´₀µ₀ 2

BÝÑ E² Bt

ff

ce qu’on peut r´e´ecrire

~j¨ÝÑ E ` 1

µ0

divpÝÑ E ^ÝÑ

Bq “ ´ 1 2µ0

BÝÑ B² Bt ´ ₀

2 BÝÑ

E² Bt donc

~j¨ÝÑ E ` 1

µ0

divpÝÑ E ^ÝÑ

Bq “ ´B Bt

ˆ 1 2µ0

Ý ÑB²`0

2 Ý ÑE²

˙

soit

B Bt

ˆ 1 2µ0

Ý ÑB²`0

2 Ý ÑE²

˙

“ ´~j¨ÝÑ E ´ 1

µ0

divpÝÑ E ^ÝÑ

Bq (14)

Par identification avec l’´equation de conservation de l’´energie, on obtient u_em“ 1

2µ₀ Ý ÑB²`₀

2 Ý

ÑE² ; ÝÑ R “ 1

µ₀ Ý ÑE ^ÝÑ

B pVecteur de Poyntingq (15) On peut évidemment obtenir une version intégrale en intégrant sur le volumeV et en utilisant le théorème de Green-Ostrogradski

¡

V

B Bt

ˆ 1 2µ₀

Ý ÑB²`₀

2 Ý ÑE²

˙

dτ “ ´

¡

V

~j¨ÝÑ E dτ looooooomooooooon

interaction avec les charges

´ 1 µ₀

£

Σ

Ý ÑE ^ÝÑ

B ¨dÝÑ S looooooooooomooooooooooon

puissance rayonn´ee

(16)

(8)

VI Approximation des r´egimes quasi-stationnaires (ARQS)

VI.1 R´egime stationnaire ou permanent

Un régime stationnaire ou permanent est un régime dans lequel les grandeurs considérées ne dépendent pas du temps. Dans ce régime, on retrouve les équations locales et leurs contreparties intégrales établies dans le chapitre précédent

divÝÑ

E “ ρ

₀ pMaxwell´Gaussq (17) divÝÑ

rotÝÑ

E “ 0 pMaxwell´Faradayq (19) ÝÑ

rotÝÑ

B “ µ0~j pMaxwell´Amp`ereq (20) VI.2 ARQS

L’approximation des régime quasi-stationnaires (ARQS), aussi appelée approximation des régimes quasi-permanents (ARQP), est une approximation dans laquelle le temps caractéristique d’évolution des grandeurs T d’un milieu de taille caractéristiqueL est grand devant le temps de propagation de l’infor- mation L{c (variations lentes du système). Dans ce cas, les potentiels conservent les même expressions qu’en régime permanent, le courant de déplacement est négligeable devant le courant~j et les équations de Maxwell s’écrivent

divÝÑ

E “ ρ

₀ pMaxwell´Gaussq (21) divÝÑ

rotÝÑE “ ´BÝÑB

Bt pMaxwell´Faradayq (23) ÝÑ

rotÝÑ

B “ µ₀~j pMaxwell´Amp`ereq (24) ARQS dans un conducteur Dans un conducteur,~j“γÝÑ

E donc en normej“γE oùγ représente la conductivité du conducteur. On peut donc faire un calcul d’ordre de grandeur, en supposant que E est sinuso¨ıdal de pulsationω :

jD

j “ ₀^BE_Bt

γE “ 0ω γ

Num´eriquement,₀“9¨10^´12F ¨m^´1 etγ “10⁷Ω^´1¨m^´1 pour un bon conducteur, donc j_D !j ñω ! γ

0

“10¹⁸ soit pour des fréquences f “ω{2π très inférieures à f “10¹⁷Hz.

VI.3 Effet de peau dans un conducteur

On étudie un conducteur de conductivité γ occupant le demi espace zą0, le vide occupant le demi espace z ă 0 dans lequel règne un champ magnétique uniforme dépendant du temps ÝÑ

B “ Bptq~uy. On

(9)

cherche à étudier le champ dans le conducteur, dans le cadre de l’ARQS. On peut donc écrire ÝrotÑÝÑB “ µ0~j “µ0γÝÑ

E. On prend le rotationnel de chacun des membres de l’´equation, ce qui donne ÝÑ

rotpÝrotÑÝÑ

Bq “ÝÝÑ gradpdivÝÑ

Bq ´∆ÝÑ

B “µ0γÝrotÑÝÑ

E “ ´µ0γBÝÑ B Bt Hors divÝÑ

B “0, donc

∆ÝÑ

B ´µ₀γBÝÑ B

Bt “0 (25)

Cette équation est analogue à l’équation de diffusion. On peut obtenir la même équation pourÝÑ E et~j.

Solution en régime sinuso¨ıdal forcé En régime sinuso¨ıdal, le champ extérieur estBptq “B0cospωtq, soit en notation complexe Bptq “B₀exppiωtq. Il est donc légitime de chercher le champ à l’intérieur du conducteur sous la formeÝÑ

B “Bpzqexppiωtq~uy. On peut alors réécrire l’équation aux dérivées partielles

∆ÝÑ

B ´µ₀γBÝÑ B

Bt “ d²Bpzq

dz² exppiωtq~u_y´µ₀γiωBpzqexppiωtq~u_y “0 soit en simplifiant

d²Bpzq

dz² ´µ0γiωBpzq “0 La solution générale de cette équation différentielle est

Bpzq “B₁expp´αzq `B₂exppαzq avec α² “iµ0γω. On note alors

i“e^iπ{2 “ pe^iπ{4q²“ p

?2

2 p1`iqq² “ 1

2p1`iq² et donc

α² “ p1`iq²µ₀γω 2

α est homog`ene `a l’inverse d’une longueur, on introduit alors la grandeur δ δ “

c 2

µ₀γω ñ α²“ p1`iq² δ² de sorte queα“ 1`i

δ . On en déduit la solution générale Bpzq “B₁expp´1ì

δ zq `B₂expp1`i δ zq

Conditions aux limites Bpzq ne doit pas diverger en`8, ce qui imposeB₂“0 et enz“0, le champ Ý

ÑB doit ˆetre continu car on n’a pas fait d’approximation surfacique du courant. On a alorsB₁ “ B₀, ce qui donne pour solution complexe

Ý

ÑB “B₀exp ˆ

´1`i δ z

˙

exppiωtq~u_y “B₀exp

´

´z δ

¯ exp

´

ipωt´z δq

¯

~

u_y (26)

ce qui donne en notation r´eelle Ý

ÑB “B0exp

´

´z δ

¯ cos

´ ωt´z

δ

¯

~

uy (27)

On a donc le produit d’un terme de propagation et d’un terme d’att´enuation en exponentielle r´eelle.

L’onde est appel´ee onde ´evanescente.

(10)

Epaisseur de peau´ δ est appelé épaisseur de peau. Pour un conducteur parfait, δ “ 0 ce qui ex- prime bien le fait que dans ce modèle idéal, les courants, les charges et les champs restent en surface du conducteur.