´Equations de Maxwell.

Equations de Maxwell. ´

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

´

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

L’´electromagn´etisme repose sur plusieurs postulats que nous allons donner dans cette partie :

1 l’´equation de conservation de la charge.

2 les quatre ´equations de Maxwell.

3 la force exerc´ee par le champ ´electromagn´etique sur une charge ponctuelle en mouvement.

´

Conservation de la charge. Le courant ´electrique.

Plan

1 Conservation de la charge.

Le courant ´electrique.

Etude des conducteurs ohmiques.

Equation de conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

Conservation de la charge. Le courant ´electrique.

Dans un conducteur, en l’abscence de champ ´electrique ext´erieur, les ´electrons libres ( du gaz d’´electrons qui assure la liaison m´etallique) poss`edent un mouvement d´esordonn´e.

Un champ ´electrique ext´erieur ordonne ce mouvement. Le mouvement d’ensemble r´esultant est appel´e courant ´electrique.

Vecteur densit´ e de courant.

La chargeδ²Q´echang´ee `a travers une section d~S=dS~npendantdtest : δ²Q=~j.d~S dt

~jd´esigne le vecteur densit´e de courant (ou densit´e du flux de charge).

La chargeδQ´echang´ees `a travers une sectionSorient´ee pendantdtest : δQ= (

Z Z

~j.d~S)dt=i.dt

Le courant ´electrique est le flux de chargesqui traversentune surfaceS orient´ee pendantdt alors :

i= δQ dt =

Z Z

~j.d~S L’intensit´e du courantiest homog`ene `aA.

´

Conservation de la charge. Le courant ´electrique.

Il est possible de trouver une expression de~jle vecteur densit´e de courant en fonction du mouvement des charges (le flux de charges).

La chargeδQ´echang´ees `a travers une sectionSorient´ee pendantdtest : δQ= (

Z Z

~j.d~S)dt=i.dt

δQ= X

icharg´ees

ρi.~vi.dt.d~S

o`uρi =qi.ni d´esigne la quantit´e de charge i par unit´e de volume (enC.m⁻³) etni le nombre de charges par unit´e de volume (enm⁻³).

Expression du vecteur densit´ e de courant.

~j= X

icharg´ees

ρi.~vi = X

i charg´ees

qi.ni.~vi

Exemple :

Pour les conducteurs :~j=ρ_e−.~v_e−=−e.n_e−.~v_e−

(n_e− se calcule `a l’aide de la connaissance des atomes.) Pour les ´electrolytes, typeNaCl:~j=ρ_Na+.~v_Na++ρ_Cl−.~v_Cl−

Conservation de la charge. Le courant ´electrique.

Il est possible de trouver une expression de~jle vecteur densit´e de courant en fonction du mouvement des charges (le flux de charges).

La chargeδQ´echang´ees `a travers une sectionSorient´ee pendantdtest : δQ= (

Z Z

~j.d~S)dt=i.dt

δQ= X

icharg´ees

ρi.~vi.dt.d~S

o`uρi =qi.ni d´esigne la quantit´e de charge i par unit´e de volume (enC.m⁻³) etni le nombre de charges par unit´e de volume (enm⁻³).

Expression du vecteur densit´ e de courant.

~j= X

icharg´ees

ρi.~vi = X

i charg´ees

qi.ni.~vi

Exemple :

Pour les conducteurs :~j=ρ_e−.~v_e−=−e.n_e−.~v_e−

(n_e− se calcule `a l’aide de la connaissance des atomes.)

Pour les ´electrolytes, typeNaCl:~j=ρ_Na+.~v_Na++ρ_Cl−.~v_Cl−

´

Conservation de la charge. Le courant ´electrique.

Il est possible de trouver une expression de~jle vecteur densit´e de courant en fonction du mouvement des charges (le flux de charges).

La chargeδQ´echang´ees `a travers une sectionSorient´ee pendantdtest : δQ= (

Z Z

~j.d~S)dt=i.dt

δQ= X

icharg´ees

ρi.~vi.dt.d~S

o`uρi =qi.ni d´esigne la quantit´e de charge i par unit´e de volume (enC.m⁻³) etni le nombre de charges par unit´e de volume (enm⁻³).

Expression du vecteur densit´ e de courant.

~j= X

icharg´ees

ρi.~vi = X

i charg´ees

qi.ni.~vi

Exemple :

Pour les conducteurs :~j=ρ_e−.~v_e−=−e.n_e−.~v_e−

(n_e− se calcule `a l’aide de la connaissance des atomes.)

Conservation de la charge. Etude des conducteurs ohmiques.

Plan

1 Conservation de la charge.

Le courant ´electrique.

Etude des conducteurs ohmiques.

Equation de conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

´

Conservation de la charge. Etude des conducteurs ohmiques.

Pour les conducteurs, il est enfin possible de relier la cause : le champ ´electrique~E, `a la cons´equence, l’apparition du courant ´electrique.

Loi d’Ohm locale.

Les conducteurs sont caract´eris´es par une conductivit´eσ(ouγ) et ob´eissent `a la loi d’Ohm locale

~j=σ~E

Conservation de la charge. Etude des conducteurs ohmiques.

Pour les conducteurs, il est aussi possible de r´ealiser un mod`ele simplifi´e de la conduction : le mod`ele de Drude.

Consid´erons un ´electron du m´etal soumis `a un champ ext´erieurE.~ Cet ´electron est soumis `a la force de coulomb−e.~E

N´eanmoins pour qu’il existe un r´egime permanent, il faut prendre en compte l’existence d’une force type ”frottement fluide” (appel´ee force de Drude)−α.~v_e−.

Cette force mod´elise les ”chocs” entre les ´electrons de conduction et les d´efauts du cristal.

(Un cristal parfait donc `a 0^◦Ka une conductivit´e infinie.)

Le principe fondamental de la dynamique dans le r´ef´erentiel galil´een donne en r´egime permanent : m^d~v_dt^e− =~0 =−e.~E−α.~v_e−

d’o`u l’´electon du m´etal en r´egime permanent a une vitesse~v_e− =−_α^e.~E Finalement~j=ρ_e−.~v_e−=−e.n_e−.~v_e−=n_e−e²

α.~E

En identifiant avec la loi d’Ohm locale~j=σ~E, il vient pour expression de la conductivit´e : σ=n_e−e²

α

Interpr´etation :

La conductivit´e est essentiellement li´e aux d´efauts du cristal.

Toutes les charges contribuent au passage du courant dans le mˆeme sens.

´

Conservation de la charge. Etude des conducteurs ohmiques.

Pour les conducteurs, il est aussi possible de r´ealiser un mod`ele simplifi´e de la conduction : le mod`ele de Drude.

Consid´erons un ´electron du m´etal soumis `a un champ ext´erieurE.~ Cet ´electron est soumis `a la force de coulomb−e.~E

N´eanmoins pour qu’il existe un r´egime permanent, il faut prendre en compte l’existence d’une force type ”frottement fluide” (appel´ee force de Drude)−α.~v_e−.

Cette force mod´elise les ”chocs” entre les ´electrons de conduction et les d´efauts du cristal.

(Un cristal parfait donc `a 0^◦Ka une conductivit´e infinie.)

Le principe fondamental de la dynamique dans le r´ef´erentiel galil´een donne en r´egime permanent : m^d~v_dt^e− =~0 =−e.~E−α.~v_e−

d’o`u l’´electon du m´etal en r´egime permanent a une vitesse~v_e− =−_α^e.~E Finalement~j=ρ_e−.~v_e−=−e.n_e−.~v_e−=n_e−e²

α.~E

En identifiant avec la loi d’Ohm locale~j=σ~E, il vient pour expression de la conductivit´e : σ=n_e−e²

α

Interpr´etation :

La conductivit´e est essentiellement li´e aux d´efauts du cristal.

Toutes les charges contribuent au passage du courant dans le mˆeme sens.

Conservation de la charge. Etude des conducteurs ohmiques.

Pour les conducteurs, il est aussi possible de r´ealiser un mod`ele simplifi´e de la conduction : le mod`ele de Drude.

Consid´erons un ´electron du m´etal soumis `a un champ ext´erieurE.~ Cet ´electron est soumis `a la force de coulomb−e.~E

N´eanmoins pour qu’il existe un r´egime permanent, il faut prendre en compte l’existence d’une force type ”frottement fluide” (appel´ee force de Drude)−α.~v_e−.

Cette force mod´elise les ”chocs” entre les ´electrons de conduction et les d´efauts du cristal.

(Un cristal parfait donc `a 0^◦Ka une conductivit´e infinie.)

Le principe fondamental de la dynamique dans le r´ef´erentiel galil´een donne en r´egime permanent : m^d~v_dt^e− =~0 =−e.~E−α.~v_e−

d’o`u l’´electon du m´etal en r´egime permanent a une vitesse~v_e− =−_α^e.~E Finalement~j=ρ_e−.~v_e−=−e.n_e−.~v_e−=n_e−e²

α.~E

En identifiant avec la loi d’Ohm locale~j=σ~E, il vient pour expression de la conductivit´e : σ=n_e−e²

α

Interpr´etation :

La conductivit´e est essentiellement li´e aux d´efauts du cristal.

Toutes les charges contribuent au passage du courant dans le mˆeme sens.

´

Conservation de la charge. Equation de conservation de la charge.

Plan

1 Conservation de la charge.

Le courant ´electrique.

Etude des conducteurs ohmiques.

Equation de conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

Conservation de la charge. Equation de conservation de la charge.

Conservation de la charge.

L’´equation de conservation de la charge est div(~j) +∂ρ

∂t = 0 D´emonstration unidimensionnelle :

Consid´erons un tube unidimensionnel d’axe Ox, de section S.

Isolons une tranchedx de ce tube et appliquons la conservation de la charge pendant une dur´ee dt.

d²Q=δ²Q_{´echang´ees}(+δ²Q_cr´e´ees)

d²Q=dV(ρ(t+dt)−ρ(t)) =dSdx∂ρ

∂tdt

δ²Q´echang´ees=δ²Qentrant−δ²Qsortant=jx(x).dS.dt−jx(x+dx).dS.dt

∂jx

∂x +∂ρ

∂t = 0

´

Conservation de la charge. Equation de conservation de la charge.

Conservation de la charge.

L’´equation de conservation de la charge est div(~j) +∂ρ

∂t = 0 D´emonstration unidimensionnelle :

Consid´erons un tube unidimensionnel d’axe Ox, de section S.

Isolons une tranchedx de ce tube et appliquons la conservation de la charge pendant une dur´ee dt.

d²Q=δ²Q´echang´ees(+δ²Qcr´e´ees)

d²Q=dV(ρ(t+dt)−ρ(t)) =dSdx∂ρ

∂tdt

δ²Q´echang´ees=δ²Qentrant−δ²Qsortant=jx(x).dS.dt−jx(x+dx).dS.dt

∂jx

∂x +∂ρ

∂t = 0

Conservation de la charge. Equation de conservation de la charge.

Conservation de la charge.

L’´equation de conservation de la charge est div(~j) +∂ρ

∂t = 0 D´emonstration tridimensionnelle g´en´erale :

Consid´erons un volume V d´elimit´e par une surface S. La surface est orient´ee par la normale sortante.

Apliquons la conservation de la mati`ere pendant une dur´eedt dQ=δQ´echang´ees(+δQcr´e´ees) dQ=

Z Z Z

V∈S

(ρ(t+dt)−ρ(t))dV = Z Z Z

V∈S

dV∂ρ

∂tdt δQ=−

Z Z

Sferm´ee

~j.d~S.dt=− Z Z Z

V∈S

div(~j).dVdt

(Le signe ”-” vient que le flux est positif s’il est sortant car la normale est sortante.) Puis en prenant pour volume V, un volume infinit´esimal :

div(~j) +∂ρ

∂t = 0

´

Conservation de la charge. Equation de conservation de la charge.

Conservation de la charge.

L’´equation de conservation de la charge est div(~j) +∂ρ

∂t = 0 D´emonstration tridimensionnelle g´en´erale :

Consid´erons un volume V d´elimit´e par une surface S.

La surface est orient´ee par la normale sortante.

Apliquons la conservation de la mati`ere pendant une dur´eedt dQ=δQ´echang´ees(+δQcr´e´ees) dQ=

Z Z Z

V∈S

(ρ(t+dt)−ρ(t))dV = Z Z Z

V∈S

dV∂ρ

∂tdt δQ=−

Z Z

Sferm´ee

~j.d~S.dt=− Z Z Z

V∈S

div(~j).dVdt

(Le signe ”-” vient que le flux est positif s’il est sortant car la normale est sortante.) Puis en prenant pour volume V, un volume infinit´esimal :

∂ρ

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´ Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

Electrostatique et magn´´ etostatique.

Conditions aux limites.

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

´

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Les ´ equations de Maxwell.

Une distribution volumiqueDde chargeρ(P,t) et de courant~j(P,t) (P∈D) cr´eent un champ

´electromagn´etique (E(M,~ t);B(M,~ t)) donn´ees par les ´equations de Maxwell : div−→

E = ρ 0

−→ rot−→

E =−∂−→ B

∂t div−→

B = 0

−→ rot−→

B =µ0

−

→j +µ00

∂−→ E

∂t

Force de Lorentz.

Ce champ ´electromagn´etique (E(M,~ t);B~(M,t)) exerce sur une particule enM0, de charge q anim´ee d’une vitesse~vune force appel´e force de Lorentz

−

→F =q−→

E(M0,t) +q−→v ∧−→ B(M0,t)

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

1 La donn´ee des ´equations de Maxwell et des conditions initiales et aux limites permettent de d´eterminer de mani`ere univoque le champ ´electromagn´etique.

2 Les ´equations de Maxwell sont compatibles entre entre elles.

3 Les ´equations de Maxwell sont compatibles avec l’´equation de conservation de la charge

´

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´ Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

Electrostatique et magn´´ etostatique.

Conditions aux limites.

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

L’´equation de Maxwell Gauss :

div−→ E = ρ

0

donne avec le th´eor`eme de Stokes Ostrogradski II

Σ

−

→E.d−→ S = Qint

0

Th´ eor` eme de Gauss.

Le flux du champ ´electrique `a travers une surface ferm´e est ´egal `a la charge int´erieure `a cette surface divis´ee par la permittivit´e du vide0

II

Σ

−

→E.d−→ S = Qint

0

´

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

L’´equation de Maxwell Flux

div−→ B = 0 donne avec le th´eor`eme de Stokes Ostrogradski

II

Σ

−

→B.d−→ S = 0

Conservation du flux magn´ etique.

Le flux du champ magn´etique se conserve sur un tube de champ.

Cons´equence :

Le champ magn´etique est plus intense dans les zones o`u les lignes de champs sont plus resserr´es.

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

L’´equation de Maxwell Farafay

−→ rot−→

E =−∂−→ B

∂t donne avec le th´eor`eme de Stokes

e=−dΦ_B

dt avec la force ´electromotricee= I

C

−

→E.d−→

l et le flux de−→ EΦE=

ZZ

S∈C

−

→B.d−→ S

La loi de Faraday et loi de Lenz.

La force ´electromotrice est l’oppos´ee de la variation temporelle du flux de du champ magn´etique.

e=−dΦB

dt avec la force ´electromotricee= I

C

−

→E.d−→

l et le flux de−→ EΦ_E=

ZZ

S∈C

−

→B.d−→ S

Le signe n´egatif traduit la loi de mod´eration de Lenz :

Le ph´enom`ene tend par ses cons´equences `a s’opposer `a la cause qui lui donne naissance.

´

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

L’´equation de Maxwell Amp`ere

−→ rot−→

B =µ0

−

→j +µ00

∂−→ E

∂t donne avec le th´eor`eme de Stokes

H

C

−

→B.d−→

l =µ0iC+µ0RR

S∈C(0d~E dt).d−→

S =µ0iC+µ00dΦ_E dt

Th´ eor` eme d’amp` ere g´ en´ eralis´ e.

La circulation du champ magn´etique le long d’un contour ferm´e est ´egale au courant enlac´e par le contour multipli´e par la perm´eabilit´e du videµ0plus le courant de d´eplacement0d~E

dt multipli´e par la perm´eabilit´e du videµ0

H

C

−

→B.d−→

l =µ0iC+µ0

R R

S∈C(0d~E dt).d−→

S

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

div−→ E = ρ

0

⇒ I I

Σ

−

→E.d−→ S =Qint

0

−→ rot−→

E =−∂−→ B

∂t ⇒ I

C

−

→E.d−→ l =−d

dt Z Z

Sc

−

→B.d−→ S

div−→ B = 0⇒

I I

Σ

−

→B.d−→ S = 0

−→ rot−→

B =µ0

−

→j +µ00

∂−→ E

∂t ⇒ I

C

−

→B.d−→

l =µ0i_C+µ00

d dt

Z Z

S_c

−→ E.d−→

S

´

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. ´Electrostatique et magn´etostatique.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´ Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

Electrostatique et magn´´ etostatique.

Conditions aux limites.

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. ´Electrostatique et magn´etostatique.

Dans le cas d’un r´egime stationnaire (ind´ependant du temps), les ´equations de Maxwell deviennent

div−→ E = ρ

0

−→ rot−→

E = 0

div−→ B = 0

−→ rot−→

B =µ0

−

→j

En r´egime stationnaire, les ´equations de Maxwell ne sont plus coupl´ees.

Un champ ´electrique ne cr´ee plus de champ magn´etique et r´eciproquement.

Il est donc possible d’´etudier s´epar´ement les deux champs, nomm´es alors ´electrostatique et magn´etostatique. Cf. chapitre suivant.

´

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Conditions aux limites.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´ Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

Electrostatique et magn´´ etostatique.

Conditions aux limites.

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

´Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Conditions aux limites.

Int´eressons nous `a l’interface entre deux milieux 1 et 2. Cette interface est susceptible de porter une charge surfaciqueσainsi qu’un courant surfacique~j_S.

L’int´egration des ´equations de Maxwell entre deux points tr`es proches de l’interface, un pointM1

du milieu 1 et un pointM2du milieu 2, conduit aux relations suivantes : divE~ =^ρ

0 donneE~2n−~E1n=^σ

0~n1→2

divB~ = 0 donneB~2n−~B1n=~0

−→

rot ~E=−^∂~_∂t^B donne~E2t−~E1t =~0

−→

rot B~ =µ0~j+µ00∂~E

∂t donneB~2t−~B1t=µ0~jS∧~n1→2

Ces ´equations se r´esument en deux ´equations, qui pour un pointM1du milieu 1 et un pointM2

du milieu 2, voisins de l’interface :

Relations de passage pour les Conditions aux Limites.

~E2−E~1= σ 0

~n1→2 (1)

B~2−~B1=µ0~j_S∧~n1→2 (2)

´

Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques. Puissance fournie par le champ `a des porteurs de charges.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

Puissance fournie par le champ `a des porteurs de charges.

Equation de conservation de l’´energie.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques. Puissance fournie par le champ `a des porteurs de charges.

Puissance fournie par le champ ´ electromagn´ etique aux porteurs de charges.

d P dτ =−→

j .−→ E

application au cas des conducteurs ohmiques :

−

→j =σ−→ E d P

dτ =σE²= 1 σj²=ρj²

Le champ c`ede toujours de l’´energie aux porteurs de charge dans les conducteurs ohmiques. Cette

´energie est par la suite transform´e en chaleur : effet Joule.

´

Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques. Equation de conservation de l’´energie.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

Puissance fournie par le champ `a des porteurs de charges.

Equation de conservation de l’´energie.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques. Equation de conservation de l’´energie.

Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting du champ ´electromagn´etique ou vecteur densit´e de flux d’´energie

´electromagn´etique est :

~Π =

~E∧B~ µ0

La puissance ´electromagn´etique transport´ee `a travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting `a travers cette surface :

P(S)= ZZ

S

~Π.d~S

Energie ´ electromagn´ etique

L’´energie volumique ou densit´e volumique d’´energie associ´ee au champ ´electromagn´etique est : ue m=0E²

2 + B² 2µ0

L’´energie ´electromagn´etique dans le volume V est : Ue m(t) =

ZZZ

P∈V

ue m(P,t)dτ(P)

´

Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques. Equation de conservation de l’´energie.

Equation locale de conservation de l’´ energie ´ electromagn´ etique.

L’´equation ´energ´etique locale en ´electromagn´etisme s’´ecrit : div(~Π) +∂ue m

∂t =−~j.~E

Ce qui s’interpr`ete en disant que les variations d’´energie ´electromagn´etiques sont dues :

1 soit `a la propagation de l’onde ´electromagn´etique, donc aux flux du vecteur de Poynting

2 soit `a l’absorption par les porteurs de charge du milieu.

(Cette ´equation se d´emontre `a partir des ´equations de Maxwell et l’analyse vectorielle mais l’id´ee sous jacante de conservation de l’energie est elle tr`es naturelle).

Equation globale de conservation de l’´ energie ´ electromagn´ etique.

La forme int´egr´ee de ce bilan ´energ´etique est (avec le th´eor`eme d’Ostrogradski) : ZZ

S

Π.d~ ~S+ d

dtUe m=− ZZZ

~j.~E dτ

Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques. D´efinition des potentiels.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

D´efinition des potentiels.

Application : retour sur la loi d’Ohm.

´

Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques. D´efinition des potentiels.

Potentiel vecteur associ´ e au champ magn´ etique.

divB~ = 0 donc il existe un potentiel vecteur−→

A tel que−→ B =^−→rot−→

A Dans l’´equation de Maxwell Faraday :

−→rot(−→ E+∂−→

A

∂t ) =−→ 0

Potentiel associ´ e au champ ´ electrique.

il existe un potentielV tel que−→ E =−

−→

grad V−^∂

−

→A

∂t

Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques. D´efinition des potentiels.

Potentielq associ´ eq au champ ´ electromagn´ etique.

il existe un potentiel vecteur−→

A tel que−→ B =^−→rot−→

A il existe un potentielV tel que−→

E =−grad V^−→ −^∂−→A

∂t

Remarque :

Les potentiels ainsi d´etermin´es ne sont pas uniques. Il faut imposer ”arbitrairement” une relation suppl´ementaire entre les potentiels pour les d´eterminer de mani`ere unique : cette relation est appel´ee condition de Jauge.−→

A^∗=−→ A+

−→

grad f etV^∗=V−^∂f_∂t d´etermine le mˆeme champ

´electrique que−→ A etV

Exemple de condition de Jauge :

div~A+µ00

∂V

∂t = 0 Remarque 2 :

Les potentiels sont continus `a la travers´ee d’une interface portant des charges surfaciques et des courants surfaciques.

´

Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques. Application : retour sur la loi d’Ohm.

Plan

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

D´efinition des potentiels.

Application : retour sur la loi d’Ohm.

Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques. Application : retour sur la loi d’Ohm.

Prenons le cas d’un conducteur ohmique en r´egime stationnaire.

Faisons le lien entre la loi d’Ohm locale et la loi d’Ohm g´en´erale.

Prenons un conducteur filiforme, de longueur L et de section S, parcourue par un courant~j=j~ux

uniforme.

i=RR~j.d~S=j.S

∆V =V1−V2=−R2 1

−→

grad V.d~l=R2

1E.d~ ~l=E.L Puis en utilisant la loi d’Ohm localej=σE

∆V =_σ^1L_Si=ρ_S^Li=R.i

Loi d’Ohm.

La loi d’Ohm locale~j=σ.~E et la loi d’Ohm globaleU=R.isont donc deux formulations, l’une locale l’autre globale d’un mˆeme principe physique.

U= ∆V = 1 σ L Si=ρL

Si=R.i

´

Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques. Application : retour sur la loi d’Ohm.

1 Conservation de la charge.

Le courant ´electrique.

Etude des conducteurs ohmiques.

Equation de conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.´ Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Forme int´egrale des 4 ´equations de Maxwell.

Electrostatique et magn´´ etostatique.

Conditions aux limites.

3 Etude ´energ´etique des champs ´electromagn´etiques.

Puissance fournie par le champ `a des porteurs de charges.

Equation de conservation de l’´energie.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs ´electromagn´etiques.

D´efinition des potentiels.

Application : retour sur la loi d’Ohm.