Exercice Modulateur Accousto Optique
1. Rappelez succintement le modèle de la lumière utilisé en optique ondulatoire. On exprimera en particulier les liens entre le champ A utilisé en optique et le champ électrique E , ainsi que la dénition de l'intensité.
2. Une source S ponctuelle est placée au foyer objet d'une lentille L
1de distance focale f
0et émet une onde monochromatique de pulsation ω et d'amplitude A
0. On place à une distance D
1de la lentille L
1une pupille de diraction de transparence τ(P) . On observe la gure de diraction sur un écran placé dans le plan focal d'une lentille L
2de distance focale f
0. Rappelez les conditions de Fraunhoer et vériez que le dispositif proposé correspond bien à leurs critères.
3. Enoncez le principe de Huygens Fresnel et montrez que l'amplitude complexe A(M ) en tout point M = (x
M, y
M) de l'écran peut s'écrire
A (x
M, y
M) = KA
0e
i2πλ[SOM]˜
τ(P )e
i2πλ(xMxP+yMyP)dx
Pdy
P4. . En déduire l'expression du champ électrique E(M, t) en tout point M de l'écran et à tout instant t .
5. La pupille, de dimensions a × b , est constituée d'une lame d'épaisseur e et d'indice optique n(x, y) . On veut en calculer la transparence
(a) Soit − − →
E
in(x, y) = A
in(x, y)e
−iωt− u →
xle champ électrique en z = 0 , à l'entrée de la lame. Ex- primez le champ −−→
E
out(x, y) = A
out(x, y)e
−iωt− u →
xen z = e , en sortie de la lame. En déduire la transparence τ(x, y) =
AAout(x,y)in(x,y)
.
(b) On donne n(x, y) = n
0cos(qx − φ(t)) . Exprimez la transparence τ(x, y) d'une telle pupille.
6. En limitant le développement de l'exponentielle au premier ordre, montrez que l'amplitude dirac- tée est la superposition de 3 contributions distinctes.
7. La phase de la pupille suit la loi φ = Ωt . En déduire la présence de trois taches sur l'écrans. Quel est l'intéret d'un tel dispositif ?
8. Comment interviendraient d'après vous les ordres suivants dans le développement de l'exponentielle en fonctions de Bessel ?
Formulaire e
iϕ0cos(u)= J
0(ϕ
0) + i2J
1(ϕ
0)cos(u) − 2J
2(ϕ
0)cos(2u)... où les fonctions J
isont les fonctions de Bessel d'ordre i.
Evaluation
Connaissance du cours (/10)
• Modèle de la lumière (champ scalaire correspondant à un champ électrique polarisé, propoga- tion, théorème de superposition, relation entre amplitude et intensité)
• Conditions de Fraunhoer
• Principe de Huygens Fresnel
• Notion de cohérence temporelle (superposition de franges pour des longueurs distinctes, des amplitudes pour une longueur d'onde donnée)
Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4) Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)
Comportement (/2)
• Prise en compte des indications
• Adaptation au contexte de l'exercice
• Mojo
1 Daniel Suchet - 2012
1. Champ considéré en optique = une composante d'une onde électromagnétique polarisée rectilignement. On peut donc utiliser les propriétés des équations de Maxwell et en particulier
• leur linéarité qui implique superposition des amplitudes,
• La forme de l'équation de propagation (d'Alembert) qui implique la forme E( − → r , t) = E
0e
i−
→ k
.− → r e
−iωtd'où la relation ϕ(M ) = ϕ(O) + − → k . −−→
OM la relation de dispersion k =
nωc.
Dénition de l'intensité : I(M ) = h− → π (M, t)i =
µ10c
E
2(M, t)
2. Fraunhoer : Source à l'innie et observation à l'innie (ou de manière équivalente, éclairage et diusion en ondes planes).
3. Principe de Huygens Fresnel
(a) Huygens : Chaque élément de surface d'une pupille de diraction réémet vers l'avant une onde d'amplitude proportionnelle à l'onde reçue.
(b) Frensel : toutes les ondes diractées sont cohérentes et l'ampltiude résultante est donc la superposition de toutes les amplitudes diractées.
Amplitude diractée dans la direction − → u =
−−−→ O
2M
O2M
'
f10
x
My
Mf
0
de M depuis la direction −− u →
0=
−−→ O
1S
O1S
'
1 f0
x
Sy
Sf
0
de la source S :
A− → u
,− → u
0=
¨
dA− → u
,− → u
0(P )
=
¨
Kτ (P )A− → u
0(P )e
i2πλ[P M]dΣ(P )
=
¨
Kτ (P )A
0e
i2πλ[SP]e
i2πλ[P M]dΣ(P )
= e
i2πλ[SOM]¨
Kτ (P )A
0e
i2πλ([SP M]−[SOM])dΣ(P)
= KA
0e
i2πλ[SOM]¨
τ(P )e
i2πλ− − →
OP
.( − → u
−− → u
0) dΣ(P ) On a enn E(M, t) = A(M )e
−iωt4. −−→
E
out(x, y, t) = − →
E
0e
i(
2πλne−ωt) = − − →
E
in(x, y, t)e
2iπλ n(x,y)eet λ =
2πωc donc τ(x, y) = e
i2πλen0cos(qx−φ)= e
iϕ0cos(qx−φ)' J
0(ϕ
0) + i2J
1(ϕ
0)cos(qx + φ)
5. Avec − − →
OP . − → u =
f10(x
Mx
P+ y
My
P) , l'amplitude est donnée par
A− → u
,− → u
0= KA
0e
i2πλ[SOM]¨
(J
0(ϕ
0) + i2J
1(ϕ
0)cos(qx − φ)) e
i2πλ− − →
OP
.( − → u
−− → u
0) dΣ(P)
= J
0(ϕ
0)KA
0e
i2πλ[SOM]¨ e
i2πλ− − →
OP
.− → u dΣ(P ) + iJ
1(ϕ
0)KA
0e
i2πλ[SOM]e
−iφ¨
e
iqxPe
i2πλ− − →
OP
.− → u dΣ(P)
+iJ
1(ϕ
0)KA
0e
i2πλ[SOM]e
+iφ¨
e
−iqxPe
i2πλ− − → OP
.− →
u dΣ(P )
Et ¨
e
i2πλ− − → OP
.− →
u dΣ(P ) =
¨
e
iλf2π0(xMxP+yMyP)dΣ(P )
2 Daniel Suchet - 2012
=
¨ e
i2πxM
λf0 xP
dx
P×
¨ e
i2πyM λf0 yP
dy
P= 1
2iπxM λf0
e
iaπxMλf0− e
−iaπxMλf01
2iπyM λf0
e
iaπyMλf0− e
−iaπyMλf0= ab sinc
π aπx
Mλf
0sinc
π bπy
Mλf
0et
¨
e
±iqxPe
i2πλ− − → OP
.− →
u dΣ(P) =
¨
e
iqxPe
iλf2π0(xMxP+yMyP)dΣ(P)
=
¨ e
i2πxM
λf0 ±q xP
dx
P×
¨ e
i2πyM λf0 yP
dy
P= 1
2iπxM λf0
e
iaπxMλf0 ±qa2− e
−iaπxMλf0 ±qa21
2iπyM λf0
e
iaπyMλf0− e
−iaπyMλf0= ab sinc πa
λf
0x
M± λf
0q 2π
sinc
π bπy
Mλf
0On a donc
A(M ) = KA
0abe
i2πλ[SOM]J
0(ϕ
0)sinc π
aπxλfM0sinc
π
bπyλfM0+ iJ
1(ϕ
0)e
∓iφsinc
πa λf0
x
M±
λf2π0qsinc
π
bπyλfM06. En réintroduisant les dépendances temporelles,
A(M, t) = KA
0abe
i2πλ[SOM]J
0(ϕ
0)e
−iωtsinc π
aπxλfM0sinc π
bπyλfM0+ iJ
1(ϕ
0)e
−i(ω±φ)tsinc
πa λf0