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et émet une onde monochromatique de pulsation ω et d'amplitude A

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercice Modulateur Accousto Optique

1. Rappelez succintement le modèle de la lumière utilisé en optique ondulatoire. On exprimera en particulier les liens entre le champ A utilisé en optique et le champ électrique E , ainsi que la dénition de l'intensité.

2. Une source S ponctuelle est placée au foyer objet d'une lentille L

1

de distance focale f

0

et émet une onde monochromatique de pulsation ω et d'amplitude A

0

. On place à une distance D

1

de la lentille L

1

une pupille de diraction de transparence τ(P) . On observe la gure de diraction sur un écran placé dans le plan focal d'une lentille L

2

de distance focale f

0

. Rappelez les conditions de Fraunhoer et vériez que le dispositif proposé correspond bien à leurs critères.

3. Enoncez le principe de Huygens Fresnel et montrez que l'amplitude complexe A(M ) en tout point M = (x

M

, y

M

) de l'écran peut s'écrire

A (x

M

, y

M

) = KA

0

e

iλ[SOM]

˜

τ(P )e

iλ(xMxP+yMyP)

dx

P

dy

P

4. . En déduire l'expression du champ électrique E(M, t) en tout point M de l'écran et à tout instant t .

5. La pupille, de dimensions a × b , est constituée d'une lame d'épaisseur e et d'indice optique n(x, y) . On veut en calculer la transparence

(a) Soit − − →

E

in

(x, y) = A

in

(x, y)e

−iωt

− u →

x

le champ électrique en z = 0 , à l'entrée de la lame. Ex- primez le champ −−→

E

out

(x, y) = A

out

(x, y)e

−iωt

− u →

x

en z = e , en sortie de la lame. En déduire la transparence τ(x, y) =

AAout(x,y)

in(x,y)

.

(b) On donne n(x, y) = n

0

cos(qx − φ(t)) . Exprimez la transparence τ(x, y) d'une telle pupille.

6. En limitant le développement de l'exponentielle au premier ordre, montrez que l'amplitude dirac- tée est la superposition de 3 contributions distinctes.

7. La phase de la pupille suit la loi φ = Ωt . En déduire la présence de trois taches sur l'écrans. Quel est l'intéret d'un tel dispositif ?

8. Comment interviendraient d'après vous les ordres suivants dans le développement de l'exponentielle en fonctions de Bessel ?

Formulaire e

0cos(u)

= J

0

0

) + i2J

1

0

)cos(u) − 2J

2

0

)cos(2u)... où les fonctions J

i

sont les fonctions de Bessel d'ordre i.

Evaluation

Connaissance du cours (/10)

• Modèle de la lumière (champ scalaire correspondant à un champ électrique polarisé, propoga- tion, théorème de superposition, relation entre amplitude et intensité)

• Conditions de Fraunhoer

• Principe de Huygens Fresnel

• Notion de cohérence temporelle (superposition de franges pour des longueurs distinctes, des amplitudes pour une longueur d'onde donnée)

Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4) Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)

Comportement (/2)

• Prise en compte des indications

• Adaptation au contexte de l'exercice

• Mojo

1 Daniel Suchet - 2012

(2)

1. Champ considéré en optique = une composante d'une onde électromagnétique polarisée rectilignement. On peut donc utiliser les propriétés des équations de Maxwell et en particulier

• leur linéarité qui implique superposition des amplitudes,

• La forme de l'équation de propagation (d'Alembert) qui implique la forme E( − → r , t) = E

0

e

i

→ k

.

− → r e

−iωt

d'où la relation ϕ(M ) = ϕ(O) + − → k . −−→

OM la relation de dispersion k =

c

.

Dénition de l'intensité : I(M ) = h− → π (M, t)i =

µ1

0c

E

2

(M, t)

2. Fraunhoer : Source à l'innie et observation à l'innie (ou de manière équivalente, éclairage et diusion en ondes planes).

3. Principe de Huygens Fresnel

(a) Huygens : Chaque élément de surface d'une pupille de diraction réémet vers l'avant une onde d'amplitude proportionnelle à l'onde reçue.

(b) Frensel : toutes les ondes diractées sont cohérentes et l'ampltiude résultante est donc la superposition de toutes les amplitudes diractées.

Amplitude diractée dans la direction − → u =

−−−→ O

2

M

O2M

'

f10

 x

M

y

M

f

0

 de M depuis la direction −− u →

0

=

−−→ O

1

S

O1S

'

1 f0

 x

S

y

S

f

0

 de la source S :

A− → u

,

− → u

0

=

¨

dA− → u

,

− → u

0

(P )

=

¨

Kτ (P )A− → u

0

(P )e

iλ[P M]

dΣ(P )

=

¨

Kτ (P )A

0

e

iλ[SP]

e

iλ[P M]

dΣ(P )

= e

iλ[SOM]

¨

Kτ (P )A

0

e

iλ([SP M]−[SOM])

dΣ(P)

= KA

0

e

iλ[SOM]

¨

τ(P )e

iλ

− − →

OP

.

( − → u

− → u

0

) dΣ(P ) On a enn E(M, t) = A(M )e

−iωt

4. −−→

E

out

(x, y, t) = − →

E

0

e

i

(

λne−ωt

) = − − →

E

in

(x, y, t)e

2iπλ n(x,y)e

et λ =

ω

c donc τ(x, y) = e

iλen0cos(qx−φ)

= e

0cos(qx−φ)

' J

0

0

) + i2J

1

0

)cos(qx + φ)

5. Avec − − →

OP . − → u =

f10

(x

M

x

P

+ y

M

y

P

) , l'amplitude est donnée par

A− → u

,

− → u

0

= KA

0

e

iλ[SOM]

¨

(J

0

0

) + i2J

1

0

)cos(qx − φ)) e

iλ

− − →

OP

.

( − → u

− → u

0

) dΣ(P)

= J

0

0

)KA

0

e

iλ[SOM]

¨ e

iλ

− − →

OP

.

− → u dΣ(P ) + iJ

1

0

)KA

0

e

iλ[SOM]

e

−iφ

¨

e

iqxP

e

iλ

− − →

OP

.

− → u dΣ(P)

+iJ

1

0

)KA

0

e

iλ[SOM]

e

+iφ

¨

e

−iqxP

e

iλ

− − → OP

.

− →

u dΣ(P )

Et ¨

e

iλ

− − → OP

.

− →

u dΣ(P ) =

¨

e

iλf0(xMxP+yMyP)

dΣ(P )

2 Daniel Suchet - 2012

(3)

=

¨ e

i

2πxM

λf0 xP

dx

P

×

¨ e

i

2πyM λf0 yP

dy

P

= 1

2iπxM λf0

e

iaπxMλf0

− e

−iaπxMλf0

1

2iπyM λf0

e

iaπyMλf0

− e

−iaπyMλf0

= ab sinc

π aπx

M

λf

0

sinc

π bπy

M

λf

0

et

¨

e

±iqxP

e

iλ

− − → OP

.

− →

u dΣ(P) =

¨

e

iqxP

e

iλf0(xMxP+yMyP)

dΣ(P)

=

¨ e

i

2πxM

λf0 ±q xP

dx

P

×

¨ e

i

2πyM λf0 yP

dy

P

= 1

2iπxM λf0

e

iaπxMλf0 ±qa2

− e

−iaπxMλf0 ±qa2

1

2iπyM λf0

e

iaπyMλf0

− e

−iaπyMλf0

= ab sinc πa

λf

0

x

M

± λf

0

q 2π

sinc

π bπy

M

λf

0

On a donc

A(M ) = KA

0

abe

iλ[SOM]

J

0

0

)sinc π

aπxλfM0

sinc

π

bπyλfM0

+ iJ

1

0

)e

∓iφ

sinc

πa λf0

x

M

±

λf0q

sinc

π

bπyλfM0

6. En réintroduisant les dépendances temporelles,

A(M, t) = KA

0

abe

iλ[SOM]

J

0

0

)e

−iωt

sinc π

aπxλfM0

sinc π

bπyλfM0

+ iJ

1

0

)e

−i(ω±φ)t

sinc

πa λf0

x

M

±

λf0q

sinc

π

bπyλfM0

On voit donc apparaitre trois contributions avec des fréquences diérentes ( ω , ω + Ω et ω − Ω ) et qui ne sont donc pas cohérentes temporellement. L'intensité totale est donc donnée par la somme des intensités :

I(M ) = D

|A(M, t)|

2

E

= I

0

J

02

0

)sinc

2

π aπx

M

λf

0

sinc

2

π bπy

M

λf

0

+I

0

J

12

0

)sinc

2

πa

λf

0

x

M

± λf

0

q 2π

sinc

2

π bπy

M

λf

0

= I

1

+ I

2

+ I

3

• I

1

donne une tache en (0, 0) avec une longueur d'onde λ =

ω

c

• I

2

donne une tache en (−

λf0q

, 0) avec une longueur d'onde λ

2

=

ω−Ω

c

• I

3

donne une tache en (+

λf0q

, 0) avec une longueur d'onde λ

3

=

ω+Ω

c

7. Les ordres supérieurs donneront des taches en ±p

λf20q

avec des longueur d'onde

ω±pΩ

c avec p ∈ N.

Un modulateur accousto optique permet de générer de nouvelles longueur d'ondes (et de couper très rapide- ment un faisceau : en arrêtant la modulation dans le cristal de la pupille, on fait disparaitre quasi instantan- nément les modes diractés).

3 Daniel Suchet - 2012

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