1. Modèle scalaire de la lumière Intensité lumineuse ou éclairement

Introduction à l'optique ondulatoire

Les points du cours à connaître

I- Modélisation d'une source lumineuse

1. Modèle scalaire de la lumière Intensité lumineuse ou éclairement

L'intensité lumineuse (ou l'éclairement) est proportionnelle à la moyenne temporelle (sur un temps τ

) du carré de la vibration lumineuse au point M :

I (M ) = K

s

(M, t)

τr

NB : on prendra souvent K = 1 ! Et ni s , ni I n'ont d'unités xées, ce qui est assez inhabituel en physique.

2. Spectre d'une source lumineuse

Durée et longueur de cohérence temporelle

Une source lumineuse a une largeur spectrale ∆ν telle que τ

∆ν ≈ 1 où

• τ

est la durée ("durée de cohérence temporelle") de la vibration lumineuse émise par la source ;

• et `

= c τ

, la longueur de cohérence temporelle.

3. Modèle du train d'onde

II- Propagation d'une onde monochromatique

1. Propriétés des ondes monochromatiques Vibration lumineuse monochromatique Au point M repéré par le vecteur ~ r = −−→

OM , à l'instant t , la vibration lumineuse d'onde mono- chromatique s'écrit

s(M, t) = A(M ) cos

ω t − ~k · ~ r

= A(M ) cos (ω t − ϕ(M )) = Re(˜ s)

avec la vibration complexe

˜

s = A(M) exp [−i (ω t − ϕ(M ))] = ˜ a(M ) exp [−i ω t]

d'amplitude complexe

˜

a(M ) = A(M ) exp [i ϕ(M )]

Lien entre les grandeurs spatiales et temporelles

Dans un milieu d'indice optique n , l'onde lumineuse se propage à la vitesse v =

: k = 2π

λ = ω

v = 2π n

λ

où λ

=

est la longueur d'onde dans le vide.

2. Déphasage et chemin optique Chemin optique

Pour un milieu quelconque, on dénit le chemin optique sur un rayon lumineux curviligne quelconque de A à B par

L

= (AB) = Z

A

n(P ) ds(P ) où n(P ) est l'indice optique au point P d'abscisse curviligne s(P ) .

Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique Le déphasage, lorsque l'onde se propage de O jusqu'en M , est

∆ψ

= 2π

λ

(OM ) + ϕ

où λ

est la longueur d'onde dans le vide de la radiation et on admet que ϕ

= π dans le cas :

• d'une réexion sur un métal (miroir) ;

• d'une réexion d'un milieu d'indice n

, sur un milieu d'indice plus élevé n

> n

;

• du passage par un point de convergence.

3. Surfaces d'onde et théorème de Malus Surfaces d'onde

on appelle surface d'onde d'une source S , à l'instant t , l'ensemble des points M de phase ∆ψ

constante. C'est l'ensemble des points M à égal chemin optique de la source S : (SM ) = constante

Théorème de Malus

Il y a orthogonalité des rayons lumineux et des surfaces d'ondes.

III- Divers types d'ondes lumineuses

1. Ondes sphériques et ondes planes Stigmatisme

(AA

) = constant si A est conjugué avec A

2. Faisceau gaussien d'un LASER

Caractéristiques du faisceau gaussien d'un LASER Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par :

• sa taille minimale (ou "waist") notée w

,

• sa longueur de Rayleigh notée z

,

• son ouverture angulaire θ =

0

=

R

.

Comportements du faisceau à courte et longue distance On retiendra que :

• pour |z| < z

, l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w

,

• pour |z| z

, l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O ), et le faisceau conique d'ouverture angulaire θ =

0

=

R

.

3. Eet d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER Extension de la tache de focalisation d'un laser

La tache de focalisation d'un laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde : w

> λ .

Exercice traité en n de cours

Quelle est la dangerosité d'un pointeur laser ?

article paru dans "le garo" le 03/12/2014, disponible à l'adresse http://sante.lefigaro.fr/actualite/

2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

"En apparence inoensifs, les pointeurs laser, principalement utilisés notamment dans les conférences pour désigner des informations sur un tableau, peuvent causer des dommages très importants lorsqu'ils sont dirigés vers les yeux. [...]

En France, seuls les lasers dont la puissance ne dépasse pas 1 mW (classe 1 et 2) sont autorisés à la vente.

Mais il est très facile de se procurer sur Internet des modèles beaucoup plus puissants, de catégories 3 et 4, normalement réservés à un usage professionnel. Selon le Pr Renard, "les plus dangereux sont ceux qui émettent dans la couleur verte, avec une puissance pouvant aller jusqu'à 1500 mW. Projetée pendant quelques instants à courte distance sur l'÷il, la lumière peut brûler la rétine et laisser des séquelles irréversibles".

1) Estimer la puissance surfacique du faisceau d'un pointeur laser reçu par un joueur sur un terrain de

football.

Techniques à maîtriser

I- Spectre d'une source lumineuse

Relier la longueur de cohérence, ∆λ et λ en ordre de grandeur.

ce qu'il faut savoir faire capacités

1.1) Train d'onde

On s'intéresse à une source lumineuse qui envoie un rayonnement sinusoïdal pendant la durée ∆t , supposée parfaitement connue. On compte N périodes avec une incertitude sur ce décompte de ∆N ≈ 1 .

1) Quelle est la fréquence ν et la longueur d'onde λ du signal en fonction de c , ∆t et N ?

2) Exprimer les incertitudes ∆ν sur la fréquence et ∆λ sur la longueur d'onde en fonction de c , ∆t et N . 3) Quelle est la longueur de cohérence l

des trains d'onde ?

4) Trouver une relation liant l'incertitude ∆E sur l'énergie des photons envoyés par la source et la durée d'émission ∆t .

5) Applications numériques : la longueur d'onde est λ = 500nm exprimer N , l

et ∆λ si 5.a) ∆t = 1ns ;

5.b) ∆t = 1ps ; 5.c) ∆t = 10f s .

Si ∆t = 1ns , N = 6, 0.10

, l

= 0, 30m et ∆λ = 8, 3.10

m . Si ∆t = 1ps , N = 6, 0.10

, l

= 0, 30mm et

∆λ = 0, 83nm . Si ∆t = 10f s , N = 6, 0 , l

= 3, 0µm et ∆λ = 83nm .

1.2) Longueur de cohérence de la lumière blanche On s'intéresse à une source blanche.

1) Rappeler le domaine en longueur d'onde du visible.

2) Relier la longueur de cohérence `

, ∆λ et λ en ordre de grandeur.

3) Estimer alors un ordre de grandeur de la longueur de cohérence de la lumière blanche.

`

≈ 1 µm .

1.3) Filtre interférentiel

On s'intéresse à une source blanche avec un ltre interférentiel dans le vert.

1) Calculer la longueur de cohérence temporelle de cette source de largeur ∆λ = 10 nm autour de la longueur d'onde λ = 546 nm .

l

= 30µm .

1.4) Spectre d'une lampe à vapeur de sodium

On s'intéresse à une lampe à vapeur de sodium. La raie principale est à la longueur d'onde dans le vide λ

= 589 nm .

1) Calculer la fréquence ν

relative à cette raie.

Une vapeur de sodium se trouve dans un voisinage du point O , et on observe la lumière qu'elle émet dans la direction Oz : un détecteur se trouve en M tel que −−→

OM = OM ~ e

.

La probabilité qu'un atome de sodium de masse m à la température T ait la projection de vitesse v

est proportionnelle au facteur de Boltzmann :

e

1 2m v2

z kB T

où k

= 1, 38 × 10

J · K

est la constante de Boltzmann.

Du fait de l'eet Doppler, la fréquence reçue par un récepteur n'est pas ν

mais plutôt ν = ν

1 +

où c est la célérité de l'onde.

2) Montrer que la probabilité de recevoir la fréquence ν est proportionnelle à la gaussienne e

(ν−ν0 )2

∆ν2

On donnera l'expression de ∆ν et on évaluera son ordre de grandeur.

3) En déduire l'ordre de grandeur de la largeur en longueur d'onde de la raie ∆λ , ainsi que la durée du train d'onde τ

associé et la longueur de cohérence temporelle `

.

En fait, il y a deux raies très proches (un "doublet"), d'intensités égales, à λ

= 589, 0 nm et λ

= 589, 6 nm . 4) Tracer l'allure du spectre de la lampe à vapeur de sodium.

∆ν =

q

M

≈ 10

Hz .

1.5) Spectres en longueur d'onde et en fréquence Une source lumineuse a

• un spectre en fréquence I

(ν )

• et un spectre en longueur d'onde (dans le vide) I

(λ) . 1) Rappeler

1.a) le lien entre λ et ν ,

1.b) ce que doivent vérier les intégrales des fonctions I

(ν) et I

(λ) . 2) En déduire l'expression de I

(λ) en fonction de I

(ν) .

I

(λ) =

I

(

) .

II- Calculs de chemins optiques et de diérences de marche

Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.

Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.

Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.

Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfaces d'onde.

ce qu'il faut savoir faire ^capacités

∆ψ

= R

~ k. − →

d` =

0

(OM ) + ϕ

.

Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indice optique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.

NB : il y a égalité de chemin optique entre un point A et deux points B et B

sur le trajet de la lumière depuis A , si B et B

sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'inni).

Calculer un chemin optique méthode

Sur le schéma ci-contre, le point d'observation M étant dans le plan focal image, il est conju- gué avec l'inni.

Du point de vue de l'optique géométrique, les rayons issus de S

et S

qui aboutissent en M sont parallèles (et parallèles au rayon ctif qui passerait par le centre de la lentille sans être dévié).

Du point de vue de l'optique ondulatoire, comme H est le projeté orthogonal de S

sur le rayon issus de S

, H et S

sont dans le même plan d'onde.

Ainsi, (S

M ) = (HM ) d'après le théorème de Malus.

Appliquer le théorème de Malus méthode

2.1) Démonstration des lois de la réfraction grâce aux chemins optiques

1) Tracer le chemin de deux rayons lumineux parallèles réfractés suivant les angles i

et i

par rapport à la normale à un dioptre séparant l'air d'un milieu d'indice n .

2) Exprimer la diérence de marche δ entre les deux rayons grâce au théorème de Malus. Pourquoi δ = 0 ? Montrer que l'on retrouve la loi de Snell-Descartes de la réfraction.

3) Interpréter le calcul précédent en terme de retard entre les ondes grâce aux célérités de ces dernières.

Grâce au théorème de Malus : (SA) = (SJ ) et (IM ) = (BM) , aussi, on retrouve la loi de Snell-Descartes de la réfraction.

2.2) Calcul de chemin optique dans le cas d'une lentille

Soient A et A

deux points sur l'axe d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f

, de centre O . On connait 0A .

1) Déterminer le chemin optique (AA

) .

2) En déduire (AH) , si H est un point sur la lentille à une distance h de l'axe, du côté de A

.

1) (AA

) = −

f⁰+0A

+ (n − 1) .e . 2) (AH) = −

f⁰+0A

+ (n − 1) .e − s

h

+

f⁰+0A

.

2.3) Calcul de chemin optique dans le cas d'un foyer

Soit F le foyer objet d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f

, de centre O .

1) Déterminer le chemin optique (AB) , où B est accolé à la lentille, sur l'axe de la lentille, côté image.

2) Même question pour C , accolé à la lentille, à une distance h de l'axe de la lentille, côté image.

(AB) = (AC) .

2.4) Calcul de chemin optique dans le cas d'un miroir plan

Soit A un point ayant pour symétrique A

par rapport à un miroir plan M .

1) Déterminer le chemin optique (AP ) , où P est est un point atteint par la lumière après réexion sur M .

(AP ) = A

P .

2.5) Limitation du taux de transfert d'une bre optique

Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargisse- ment temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations à grande distance. En eet, les rayons lumineux d'inclinaisons diérentes n'ont pas le même chemin à parcourir dans la bre, donc leur temps de parcours est variable.

1) Calculer la diérence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une bre optique de longueur L = 10km , l'un sur l'axe de la bre et l'autre incliné de θ = 20

par rapport à celui-ci.

2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle bre par unité de temps ?

∆t = 3, 2µs et la fréquence des bips doit être f < N = 0, 31M Hz .

III- Le faisceau du LASER

Relier l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a .

Utiliser l'expression fournie du prol radial d'intensité en fonction de la distance axiale.

Construire l'allure d'un faisceau de prol gaussien à partir de l'enveloppe d'un faisceau cylindrique de rayon a et d'un faisceau conique centré sur l'orice de sortie du laser, et de demi-ouverture angulaire λ/a .

Exploiter la convergence angulaire du faisceau issue de l'optique géométrique, la loi du retour inverse, et le lien entre l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a pour obtenir la dimension et la position de la section minimale.

ce qu'il faut savoir faire ^capacités

• pour |z| < z

, l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w

,

• pour |z| z

, l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O ), et le faisceau conique d'ouverture angulaire θ =

0

=

R

.

Trouver les caractéristiques du faisceau d'un LASER méthode

3.1) Divergences du faisceau d'une diode LASER GaAs

La cavité optique d'une diode laser GaAs a à peu près les dimensions suivantes :

• suivant Oz : 1 mm ;

• suivant Ox : 1 µm ;

• suivant Oy : 100 µm .

Elle émet un rayonnement dans l'infra-rouge à 870 nm .

1) Estimer la divergence de son faisceau, assimilé à un faisceau gaussien 1.a) suivant la direction Ox

1.b) et suivant la direction Oy . Suivant la direction Ox : 14

.

3.2) Caractéristiques des faisceaux d'un LASER Nd :YAG On s'intéresse au laser Nd :Yag, de longueur d'onde λ = 1064 nm .

1) Déterminer la divergence θ à longue distance et la longueur de Rayleigh z

d'un tel laser

1.a) lorsque son faisceau est focalisé assez ecacement , avec un waist w

= 10 µm ,

1.b) lorsque son faisceau est assez collimaté , avec un waist w

= 1 mm .

Lorsque w

= 10 µm , θ = 1, 8

et z

= 314 µm .

3.3) Épurateur de faisceau LASER

Soit un faisceau laser gaussien peu divergent de rayon w

.

On admet que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est :

A ˜ (r, z, t) = ˜ A

w

w(z) e

2

w(z)2

e

avec w(z) = w

s

1 + z

z

en coordonnées cylindriques (r, θ, z) .

1) Déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z) dans un plan transverse z à la propagation.

2) De façon à "épurer" le faisceau du laser, on positionne un diaphragme circulaire de rayon a , centré en z = 0 .

2.a) Quelle est la proportion de l'énergie transmis à travers le diaphragme circulaire en fonction de a ? 2.b) Applications numériques : a =

, a =

, a = w

et a = 2 w

.

E(a=2w₀))

Etot

= 0, 999

IV- Les transformations du faisceau du LASER

Montrer que le rayon minimal est de l'ordre de λ .

Utiliser un élargisseur de faisceau pour réduire l'ouverture angulaire.

ce qu'il faut savoir faire capacités

Il sut de positionner le centre de l'onde conique du LASER au point de convergence prévu par l'optique géométrique. Cela donne une première relation sur l'angle de divergence du faisceau conique.

Il y a d'autre part continuité de l'ouverture du faisceau de part et d'autre de la lentille. Cela donne l'autre relation qui permet de déterminer la totalité des caractéristiques du faisceau LASER.

Déterminer l'eet d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER méthode

4.1) Focalisation d'un LASER

On cherche à focaliser un faisceau laser collimaté, issu d'un laser He-Ne (longueur d'onde 633 nm), de taille 1 mm , situé à une position z = 0 de telle façon que la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé soit égale à 30 mm. 1) Quelle distance focale doit posséder la lentille qu'il faut utiliser ?

f

= 39 cm .

4.2) Conjugaison de deux faisceaux LASER

Un faisceau laser, issu d'un laser He-Ne (de longueur d'onde 633 nm), a une taille 1 mm située à une distance d (grande devant sa longueur de Rayleigh) d'une lentille de focale f

=

.

1) Quelle est la distance d

entre la lentille et la taille w

du faisceau après la lentille ? 2) Quelle est la nouvelle taille w

du faisceau après la lentille ?

La nouvelle taille du faisceau après la lentille est w

= 0, 5 mm .

Les techniques mathématiques à connaître

Transformée de Fourier d'une fonction

Soit f (t) une fonction ayant un certain nombre de propriétés mathématiques qu'on supposera véri- ées. On pose sa transformée de Fourier :

f ˆ (ν) = Z

−∞

f (t) exp (−2 i π ν t) dt Propriété de la transformée de Fourier d'une fonction réelle Si f (t) est réelle, sa transformée de Fourier est paire : f ˆ (−ν) = ˆ f (+ν) . Spectre d'une fonction réelle

Le spectre de f (t) est la représentation graphique de

f ˆ (ν)

2

pour ν ∈ [0; ∞[ . Passage de l'espace réel à l'espace réciproque

La représentation de f (t) (dans l'espace "réel") fait apparaître :

• une période caractéristique T

;

• une durée caractéristique τ

.

La représentation de f ˆ (ν) (dans l'espace "réciproque") fait apparaître :

• une fréquence caractéristique ν

;

• une largeur spectrale caractéristique ∆ν .

On admettra que

ν

≈ 1

T

et ∆ν ≈ 1 τ

Calcul de spectres méthode

5.1) Calcul des coecients de Fourier d'un train d'onde 1) Tracer l'allure de f (t) telle que :

• f (t) = cos (2πν

t) si t ∈

−

; +

• f (t) = 0 sinon.

2) Calculer la transformée de Fourier f ˆ (ν) de f (t) . 3) Tracer l'allure du spectre de f (t) .

f ˆ (ν) =

(sinc (π (ν − ν

) τ

) + sinc (π (ν + ν

) τ

)) .

5.2) Calcul des coecients de Fourier d'une onde "apodisée"

1) Tracer l'allure de

f (t) = cos (2πν

t) e

La transformée de Fourier de f (t) est

f ˆ (ν ) = τ

1

1 + (2π (ν − ν

) τ

)

+ 1

1 + (2π (ν + ν

) τ

)

!

2) Tracer l'allure du spectre de f (t) .

3) Estimer ∆ν , la largeur à mi hauteur du pic.

∆ν =

√

2−1 2π τc

.

5.3) Calcul des coecients de Fourier d'une onde gaussienne 1) Tracer l'allure de

f(t) = cos (2πν

t) e

t2 τ2 c

La transformée de Fourier de f (t) est f ˆ (ν) =

√ π 2 τ

exp

−π

(ν − ν

)

τ

+ exp

−π

(ν + ν

)

τ

2) Tracer l'allure du spectre de f (t) .

3) Estimer ∆ν , la largeur à mi hauteur du pic.

∆ν =

√2 ln 2 π τ_c

.

Exercices d'oral pour s'entraîner

exercice 1 (long) - La psyché

On considère un homme vertical de hauteur h , dont les yeux sont à l'altitude o par rapport au sol. L'homme se tient à une distance d d'un miroir plan de hauteur g , accroché à un mur vertical à une distance z du sol.

1) Taille du miroir

1.a) Quelle est la condition pour que l'homme voit ses pieds ? 1.b) Même question pour que l'homme voit le sommet de sa tête.

1.c) Quelle dimension minimale le miroir doit-il avoir pour que l'homme se voit de pied en cap ? 2) Position de l'homme

2.a) Les précédentes relations dépendent-elles de la distance d ? Pourquoi ?

2.b) A quelle distance doit se placer l'homme pour se voir en entier si les conditions sont réunies ? 3) Question subsidiaire :

3.a) Comment contourner le problème si les conditions ne sont pas réunies ? Qu'est-ce qu'une psyché ? 3.b) L'image de soi dans un miroir est double, il y a comme un écho un peu faible. Pourquoi ?

exercice 2 (court) - Surface rugueuse transformée en miroir (Mines 2006)

Comment faire pour qu'une surface rugueuse se comporte comme un miroir parfait ?

exercice 3 (court) - Doublet de lentilles

(C.C.P. 2007, exercice sur 6 points, déjà posé en 2005)

Soient deux lentilles sphériques minces (L

) et (L

) de même axe optique, de centres optiques respectifs O

et O

et de distances focales image respectives f

et f

. L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière, de O

vers O

, et on donne f

= 3a , f

= a , O

O

= 2a . Déterminer le foyer objet et le foyer image de ce doublet de lentilles convergentes.

exercice 4 (long) - L'÷il

(Centrale 2008, Physique II avec ordinateur)

Il y avait un ordinateur, mais il n'était pas nécessaire de s'en servir pour cet exercice.

1) Montrer la formule de Newton d'une lentille convergente.

2) Modèle de l'÷il humain : dénir le modèle réduit et faire une analogie entre objets optiques et physiolo- giques.

3) Expliquer l'accomodation, dénir PP et PR.

4) Donner les caractéristiques et les solutions pour : 4.a) un ÷il myope ;

4.b) un ÷il hypermétrope.

exercice 5 (long) - Instruments d'optique (Centrale 2008, Physique II avec ordinateur)

Il y avait un ordinateur, mais il n'était pas nécessaire de s'en servir pour cet exercice.

1) Lunette astronomique : dénir un doublet afocal, construire les rayons lumineux, déterminer le grandis- sement et le grossissement, cercle oculaire, formule de Newton d'une lentille à redémontrer, observation d'étoiles (diamètre apparent).

2) Microscope : schema de principe, distance minimale de vision nette, modèle de l'oeil humain, latitude

de mise au point.

Résolution de problème

L'expérience laser-lune

Extraits de l'expérience laser-lune (disponible en ligne : culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/laser- distance-terre-lune.xml)

par Marie-Christine Artru. - Centre de recherche d'astrophysique de Lyon, ENS Lyon

Déterminer la distance terre-lune et ses variations grâce à un laser

L'expérience laser-lune de l'Observatoire de La Côte d'Azur (OCA) a pour but la détermi- nation précise de la distance terre-lune et de ses variations.

Le principe est la mesure de la durée d'aller- retour d'une impulsion laser émise du sol terrestre vers un réecteur lunaire, soit τ = 2, 56 s entre l'émission d'une impulsion et la réception du si- gnal de retour correspondant. Actuellement, la dis- tance terre-lune est déterminée au centimètre près, la précision atteinte sur la mesure de τ étant de δτ ≈ 100 ps .

Dans le cas du laser-lune la longueur d'onde est λ = 532 nm (laser YAG-Nd doublé). Le diamètre du faisceau à la sortie du laser est de 1, 2 cm . Le la- ser émet une centaine d'impulsions en 10 s . Chaque impulsion du laser émet une énergie E = 0, 3 J sur une durée de 0, 3 µs (puissance-crête de 1 MW !).

Le réecteur lunaire est un panneau com- posé d'une mosaïque d'éléments catadioptriques, de type coins de cube . La proportion moyenne des photons détectés après réexion sur la lune est inférieure à 1 sur 10

.

à droite : réecteur déposé sur la Lune par les

astronautes de la mission Appolo XV. C'est le plus grand des réecteurs déposés sur la lune (dimensions 1 m x 0,6 m).

Source : NASA, Appolo XV Map and Image Library, image n

AS15-85-11468

Enoncé

Quel est le nombre de photons qui arrivent pour chaque impulsion sur le réecteur posé sur la Lune ?

Programmation en python

Train d'onde et son spectre

1) Ecrire un programme qui permet de tracer l'allure de f (t) telle que :

• f (t) = cos (2πν

t) si t ∈

−

; +

• f (t) = 0 sinon.

et de son spectre :

| f ˆ (ν)|

= h τ

2 (sinc (π (ν − ν

) τ

) + sinc (π (ν + ν

) τ

)) i

1) L'allure de f (t) est la suivante :

et l'allure du spectre de f (t) est la suivante :

Approche documentaire (DNS)

Un rayon bleu pour des disques plus denses

Comment augmenter la capacité des disques à lecture optique ? En réduisant la longueur d'onde du laser et en améliorant les composants optiques.

Jean-Michel COURTY et Édouard KIERLIK

Idées de physique c Pour la Science - n

387 - Janvier 2010

Seul le laser permet d'enregistrer et de lire, par des procèdes optiques, de hautes densités d'information, stockée sur les disques compacts (CD) les DVD et maintenant les nouveaux disques Blu-Ray. An d'augmenter la densité de stockage, on doit focaliser le faisceau lumineux sur des régions de plus en plus petites Comment ? D'abord en diminuant la longueur d'onde de la lumière utilisée : de l'infrarouge pour les CD, on est passe à une lumière rouge pour le DVD, puis bleue pour le Blu-Ray, couleurs qui correspondent à des longueurs d'onde plus courtes. Mais c'est loin de sure : il faut aussi réaliser des optiques de haute qualité et aronter la diraction, c'est-à-dire la divergence naturelle de tout faisceau lumineux.

Sur les disques numériques, on code l'information de façon binaire (des 0 et des 1 ) sur une piste d'alvéoles par une série de zones rééchissantes ou non. Les réexions ou non-réexions d'un faisceau lumineux sur cette piste traduisent l'information inscrite. Plus la tache produite sur le disque par le faisceau lumineux est petite, plus on peut diminuer la taille des alvéoles, donc augmenter la densité d'information stockée, on atteint aujourd'hui près de 23 gigaoctets pour un disque Blu-Ray, grâce a une tache lumineuse d'un demi-micromètre (un demi-millionième de mètre) de diamètre.

Petite tache de laser

An d'obtenir un tel résultat, il faut que la source lumineuse soit aussi de petite taille, parce qu'une lentille convergente qui focalise un faisceau reproduit dans son plan focal une image de la source. Mais plus la source est petite, moins elle est brillante. Peut-on trouver un bon compromis entre taille et intensité ? La solution est fournie par le laser, réalisé pour la première fois par l'Américain Théodore Maiman.

Au c÷ur du laser se trouve un milieu amplicateur de lumière constitué d'atomes excités, par exemple grâce à des décharges électriques. Lorsqu'un grain de lumière (un photon) frappe l'un de ces atomes, il induit l'émission d'un second photon identique en tous points au premier.

En rebondissant entre deux miroirs places de part et d'autre du milieu amplicateur, les photons se mul-

tiplient à chaque traversée et l'intensité de la lumière s'accroît. Les miroirs qui forment la cavité laser sont

particuliers Tout d'abord, au moins l'un des deux est courbe, an que la lumière ne s'échappe pas par les côtés et reste connée autour de l'axe optique. En suite, l'un des miroirs transmet une petite partie de la lumière qu'il reçoit, laissant émerger un faisceau lumineux, le rayon laser (voir la gure 1).

A la sortie du faisceau, son intensité est maximale au centre et décroît lorsqu'on s'écarte de son axe. Quelle est sa forme ? On peut l'assimilera ce que l'on obtiendra il en illuminant perpendiculairement un trou circulaire Dans un premier temps, le faisceau a une forme cylindrique, de section constante mais plus loin de l'ouverture, il devient conique, comme s'il était issu du centre du trou. C'est une manifestation du phénomène de diraction : en franchissant un obstacle, la propagation de la lumière se modie et n'est plus rectiligne.

Avec un trou circulaire, l'angle de divergence du faisceau est proche du rapport entre la longueur d'onde de la lumière et le diamètre du trou. Avant de devenir conique, le faisceau reste cylindrique jusqu'à ce que l'ouverture du cône soit comparable au diamètre du faisceau. Par exemple, un pointeur à laser rouge de 0,7 micromètre de longueur d'onde et de deux millimètres de diamètre a une divergence de 0,4 milliradian - cette divergence devient sensible à partir de deux mètres environ.

Pour diminuer la divergence, il faut un faisceau large. C'est critique lorsqu'on vise la Lune avec un laser ! La mission Apollo Xl a déposé à la surface de notre satellite des catadioptres qui rééchissent la lumière dans la direction d'émission : si on éclaire depuis la Terre ces catadioptres, la lumière nous revient et la durée de l'aller-retour renseigne sur la distance Terre- Lune (voir la gure 2).

Mais si le faisceau diverge trop, l'énergie se disperse dans l'espace et on ne capte plus rien. En utilisant un télescope, on dilate le rayon vert d'un laser, à 500 nanomètres de longueur d'onde, en un faisceau de 15 centimètres de diamètre. Son angle de divergence est de trois microradians (l'angle sous lequel on voit un objet de trois millimètres à une distance de un kilomètre). Les eets de la diraction se manifestent à partir de 25 kilomètres. C'est peu à l'échelle des 400 000 kilomètres de la distance Terre-Lune. À cette distance, le faisceau crée, en théorie, une tache de plus de un kilomètre (sept en réalité, à cause des perturbations atmosphériques).

Cela n'a pas que des inconvénients : on peut alors éclairer les catadioptres sans trop les chercher !

Focaliser au mieux

Comment focaliser le faisceau laser qui, à sa sortie, est cylindrique ? En utilisant une lentille, qui le transforme en un faisceau conique convergent. On peut montrer (et même deviner, en vertu du principe du retour inverse de la lumière) que la taille de la tache focale est égale au rapport entre la longueur d'onde lumineuse et l'angle du cône formé, ou, plus exactement, pour les grands angles, le sinus de cet angle, nommé ouverture numérique du faisceau. Le sinus étant inférieur ou égal à un, la tache est toujours plus grande que la longueur d'onde.

Pour les CD, la lumière infrarouge de 785 nanomètres de longueur d'onde est focalisée avec une lentille d'ouverture numérique 0,45 et forme une tache de 1,56 micromètre. La densité d'information correspondante est de 0,65 gigaoctet pour un disque de 12 centimètres de diamètre.

En jouant sur les deux pa- ramètres (longueur d'onde et ouverture numérique), on peut augmenter la densité d'infor- mation. Ainsi, on a utilisé des longueurs d'onde plus courtes en passant au rouge à 650 na- nomètres des DVD, puis au bleu à 405 nanomètres des Blu- Ray (voir la gure 3).

Cette réduction d'un fac- teur deux des longueurs d'onde diminue la surface de la tache d'un facteur quatre.

Avec l'amélioration de l'op- tique pour augmenter l'ouver- ture numérique jusqu'à 0,85 on gagne encore un facteur deux. Les progrès du codage numérique et des dispositifs de détection achèvent d'expliquer les performances des Blu-Ray.

Par ailleurs, une ouverture numérique élevée a pour conséquence de diminuer la distance sur laquelle le

faisceau reste cylindrique. Cela permet d'utiliser des disques à double couche où l'information est inscrite soit

à la surface du disque, soit sur une couche intérieure : lorsque le faisceau lit la couche interne, il est encore très

large au niveau de la surface ; il couvre de nombreuses alvéoles dont l'eet se moyenne et il est donc peu sensible

à ce qui est écrit en surface.

En outre, la qualité optique du faisceau (sa bonne convergence) doit être meilleure. Pour le CD, on peut protéger l'information par une couche de vinyle transparent. Pour le Blu-Ray, les aberrations optiques produites par la traversée de l'interface air-vinyle empêcheraient l'obtention d'une tache focale de diamètre minimal. Pour cette raison, l'inscription est eectuée à la surface du disque : il n'y a plus de couche de protection et le disque est protégé par une boîte, comme l'étaient les anciennes disquettes de micro-ordinateur.

Enoncé

1) On s'intéresse au pointeur à laser rouge dont parle le texte.

1.a) Estimer son "waist" et sa longueur de Rayleigh.

1.b) Tracer l'allure du faisceau gaussien d'un tel laser. On fera apparaître sur le schéma le "waist", la longueur de Rayleigh et l'angle de divergence à grande distance.

2) On s'intéresse au laser qui illumine la Lune dont parle le texte.

2.a) Tracer le schéma du télescope qui permet d'élargir le faisceau. On fera apparaître les distances focales des deux lentilles convergentes ainsi que les "waists" avant et après le télescope.

2.b) Estimer un ordre de grandeur pour le "waist" et la longueur de Rayleigh après le télescope.

2.c) Vérier, en utilisant ces valeurs, que sur la Lune, "le faisceau crée, en théorie, une tache de plus de un kilomètre".

3) Focalisation du faisceau d'un laser.

3.a) Tracer le schéma du faisceau du laser focalisé grâce à une lentille convergente. On fera apparaître la distance focale de la lentille convergente, l'angle du cône formé ainsi que les "waists" avant et après la lentille.

3.b) En se plaçant dans l'approximation de Gauss, exprimer l'ouverture numérique dénie dans le texte

et en déduire que la tache de focalisation du laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde.

Problème (DNS)

Etude du faisceau d'un LASER hélium-néon

1. Première modélisation de l'onde

On s'intéresse à l'onde électromagnétique issue du laser hélium-néon.

1) Donner l'expression du champ électrique complexe d'une onde plane progressive harmonique homogène.

Expliquer pourquoi ce modèle est mis en défaut par une simple observation.

En fait, l'onde issue du laser hélium néon peut être modélisée par une onde gaussienne dont le champ électrique complexe s'écrit :

E (r, z, t) = E

e

w

e

r2 w(z)2

w(z) e

k r2

2R(z)−ϕG(z)

dans un repère cylindrique d'axe Oz , l'axe optique de la cavité, avec ϕ

(z) telle que tan ϕ

(z) =

R

.

2) Donner, grâce au document fourni, les noms et les expressions des fonctions w(z) et R(z) , le nom des constantes w

et z

ainsi que la relation qui lie ces constantes. Tracer, pour z ≥ 0 , les allures des évolutions avec z de w(z) , de R(z) et de ϕ

(z) .

3) Montrer que l'intensité lumineuse est de la forme I (r, z) = I

w₀ w(z)

e

2

w(z)2

. Tracer sur un même graphique les allures de I (r, z = z

) I (r, z = z

) avec z

> z

. Dire si cela est cohérent avec l'observation.

2. Deuxième modélisation de l'onde, par parties

4) Donner, dans le domaine |z| z

une simplication des fonctions w(z) , R(z) , ϕ

(z) et de la divergence θ(z) du faisceau. Proposer une modélisation de l'onde dans ce domaine (on donnera un qualicatif à cette onde et on donnera les limites géométriques dans lesquelles cette modélisation est valable).

5) Faire de même dans le domaine |z| z

.

6) Dénir la divergence θ(z) du faisceau dans le dernier cas et donner son expression. Vérier que la précédente modélisation est cohérente avec les lois de la diraction.

7) En utilisant l'inégalité de Heisenberg, expliquer pourquoi le faisceau laser diverge nécessairement.

3. Caractéristiques du faisceau gaussien et cavité

On suppose que la cavité est composée

• en z = 0 d'un miroir parfait plan (de rayon de courbure inni),

• en z = ` = 30 cm d'un miroir partiellement transparent concave, de rayon de courbure R

= 1, 0 m .

La forme des miroirs et la taille de la cavité imposent pour un laser les caractéristiques de l'onde gaussienne émise. En eet, le faisceau laser doit être tel que sa surface d'onde au niveau des miroirs épouse la forme des miroirs et donc que les rayons de courbure de l'onde gaussienne et du miroir soient égaux au niveau de ceux-ci.

8) Montrer que z

= p

` (R

− `) .

9) Faire diérentes applications numériques donnant z

, w

et θ .

10) Estimer le diamètre du faisceau du laser hélium néon en z = 10 cm puis en z = 0, 10 km en disant dans

quel domaine de modélisation on se place à chaque fois.