Sup PCSI1 - Exercices de physique Ondes
1 Ondes : propagation, interférences, ondes stationnaires
Propagation : 1. Cuve à onde :
Un stylet vertical communique un mouvement vibratoire sinusoïdal vertical de fréquence N = 10 Hz à un point source S de la surface d’une nappe liquide de faible épaisseur. Les ondes générées se propagent à la surface horizontale du liquide avec une célérité c = 20 cm.s-1.
En régime permanent, un point M situé à la distance d de la source prend un mouvement sinusoïdal de même amplitude b et de même pulsation ω que le mouvement de S.
Exprimer le retard ∆t et la différence de phase φ entre les mouvements de M et de S. Que peut-on dire de ces mouvements lorsque d prend les valeurs d1 = 4,0 cm ; d2 = 5,0 cm et d3 = 7,5 cm ?
2. Propagation d’une onde sur une corde :
Objectif : « Prévoir pour une onde progressive pure l’évolution temporelle à position fixée et prévoir la forme à différents instants »
Une corde sans raideur, de masse linéique µ, de longueur L, est fixée en x = L avec une tension T.
La célérité des ondes de déformation sur la corde est : T
c . Le déplacement d’un point M d’abscisse x de la corde est décrit par la fonction y(x, t) (où 0 < x < L).
1°) Vérifier l’homogénéité dimensionnelle de l’expression donnant c.
2°) Le mouvement suivant est imposé à partir de t = 0 à l’extrémité de la corde d’abscisse x = 0, amenant la forme d’onde suivante :
Pour -∆L x 0 : y(x, 0) = b + b.x/∆L et y(x, 0) = 0 partout ailleurs
2-1 Au bout de quelle durée Δt l’onde atteint-elle l’extrémité de la corde ? 2-2 Représenter y(x, t) pour t = 4.∆L/c (on suppose 4.∆L < L)
2.3 Etudier l’évolution temporelle y(x, t) perçue au point M d’abscisse x = 4.∆L sur un intervalle de temps pertinent. Tracer le graphe y(4.∆L, t).
3. Croisement de deux ondes progressives
Deux ondes se propagent dans la même direction et en sens contraire sur une corde. La valeur commune de la célérité des deux ondes est c = 2,5 m.s-1.
A l’instant t0 = 0, la corde a l’aspect suivant :
a) L’onde est-elle longitudinale ou transversale ? Justifier.
b) Représenter l’aspect de la corde à l’instant t1 = 0,10 s.
c) Représenter l’aspect de la corde à l’instant t2 = 0,20 s.
d) Représenter la perturbation au cours du temps au point d’abscisse x0 = 1,0m.
y(x, t = 0)
x x = 0
célérite c b
-∆L
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2 Interférences :
4. Expérience d’interférences sur des ultrasons :
Un montage expérimental est réalisé au moyen de deux émetteurs d’ultrasons E1 et E2 identiques, de fréquence f = 40 kHz disposés sur un axe (Oy) à une distance a = 4,0 cm. E1 et E2 émettent des ondes acoustiques en phase, de façon isotrope (identiquement dans toutes les directions de l’espace).
On note O le milieu du segment [E1E2]. (Ox) désigne l’axe confondu avec la médiatrice de ce segment.
Un microphone récepteur M est placé sur un bras de de longueur OM = R = 0,50 m pivotant en O. On relève au moyen de M l’amplitude mesurée en fonction de l’angle θ que fait la direction (OM) avec l’axe (Ox).
La vitesse du son dans l’air est c = 340m.s-1. 1. Interfrange :
a) Faire une figure permettant de visualiser le problème (on prendra un angle θ de l’ordre de 10°).
Tracer l’arc de cercle de centre M passant par E2 ; on note H son intersection avec la droite (E1M).
Que représente la distance E1H ?
b) Comme R >> a, on peut assimiler H et le projeté orthogonal de E2 sur (E1M). Les droites (OM), (E1M) et (E2M) peuvent être considérées comme approximativement de même direction, formant un angle θ avec l’axe (Ox). En déduire une expression du déphasage entre les ondes reçues en M en fonction de l’angle θ, de la distance a et de la longueur d’onde λ.
c) Quels sont les valeurs de θ comprises dans l’intervalle [-30°, 30°] où l’on enregistre un maximum d’amplitude résultante ?
2. Minima d’amplitude :
a) Sur le même intervalle d’étude, quelles sont les valeurs de θ où un minimum d’amplitude est attendu ?
b) Quelle valeur de minimum attend-t-on théoriquement ? Quels défauts peuvent expliquer un écart entre prévision et observation ?
3. Inversion de phase :
Le dispositif est modifié en inversant le signal émis par l’un des émetteurs, ce qui revient à déphaser de π l’un des signaux émis par rapport à l’autre au niveau des émetteurs. Quelles sont les positions des nouveaux points de maximum et de minimum d’amplitude ? Qu’advient-il si on inverse également le second signal ?
5. Interférences de deux ondes sonores frontales
Dans le montage ci-dessus, les deux haut-parleurs HP1 et HP2 séparés de la distance 2D sont alimentés en parallèle par une même tension : les deux sources sonores émettent donc des ondes de même pulsation, même phase à l’origine et même amplitude : y1y2acost. Les deux ondes arrivent en M avec des retards différents où elles interfèrent.
1) Soit c la célérité des ondes sonores dans l’air, donner l’expression y1(x,t) de l’onde issue de HP1 et
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3 arrivant en M d’abscisse x (origine prise au point O placé au milieu de la distance séparant les deux haut-parleurs).
2) De même, donner l’expression y2(x,t) de l’onde issue de HP2 et arrivant en M.
3) Représenter dans un cas quelconque, ces deux ondes sur un diagramme de Fresnel.
4) a) En utilisant le diagramme de Fresnel, représenter l’onde résultante et déterminer son amplitude.
b) Retrouver ce résultat par un calcul littéral. On donne la relation : cospcosq2 cospq
2 cos pq 2 . 5) a) Exprimer les conditions d’interférences constructives sur la valeur de x et l’interpréter en termes de longueur d’onde.
b) Faire la représentation correspondante dans un diagramme de Fresnel.
6) a) Exprimer les conditions d’interférences destructives sur la valeur de x et l’interpréter en termes de longueur d’onde.
b) Faire la représentation correspondante dans un diagramme de Fresnel.
7) a) Déterminer l’expression littérale de la distance entre deux maximums successifs d’intensité sonore.
b) Expérimentalement on trouve d = 21,2 cm pour une fréquence f = 800 Hz. En déduire la mesure de la vitesse du son dans l’air ainsi réalisée.
6. Radiotélescope :
Un radiotélescope est constitué de 16 antennes alignées, distantes de d = 1,50 m et recevant des signaux de longueur d’onde λ = 0,030 m. Les signaux reçus par chacune des antennes sont envoyés dans un récepteur où leurs amplitudes sont additionnées : le signal enregistré est la somme des signaux reçus par chacune des antennes.
Le radiotélescope pointe vers une radiosource stellaire fixe à l’instant t = 0, le signal reçu étant alors maximal. Par suite de la rotation de la Terre on constate que le signal reçu par le radiotélescope varie au cours du temps. Pour quel déplacement angulaire α le signal reçu passe-t-il par son premier minimum ? A quel instant to cela correspond-il ?
Ondes stationnaires :
7. Son réfléchi :
Un haut-parleur de position A, alimenté par un GBF de fréquence N = 100 Hz est dirigé vers une surface plane réfléchissante, disposée perpendiculairement à l’axe (Ax) de propagation en une position O. On néglige tout phénomène d’amortissement et de réflexion multiple.
a) Quelle est la longueur d’onde λ du son émis. (La célérité du son est c = 340 m.s-1).
b) Quelle est l’amplitude de la vibration (déplacement d’une petite couche d’air causé par les vibrations sonores) au point O ? Un microphone, sensible aux variations de pression, décèlera-t-il un maximum ou un minimum d’intensité sonore en ce point ?
c) Préciser l’expression p(x, t) de la pression acoustique le long de l’axe (Ax). Quelle est la différence essentielle qui apparaît au niveau de cette expression par rapport au cas de l’onde acoustique qui serait obtenue en l’absence de l’écran réfléchissant ?
d) De quelle distance faut-il déplacer le microphone à partir de O pour retrouver la même intensité sonore ?
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4 8. Notes pour un instrument de musique :
Un instrument de musique est modélisé comme une cavité de longueur L, fermée à une extrémité et ouverte à l’autre. La vitesse du son dans l’air est c = 340m.s-1.
a) Quelle doit être la longueur L pour que la plus faible fréquence d’onde stationnaire pouvant s’établir dans l’instrument soit fo = 440 Hz.
b) Quelle est la fréquence f1 immédiatement supérieure pouvant être émise par cet instrument ? Exprimer en fonction d’un entier n, les fréquences fn pouvant être émises.
c) Où doit-on placer un trou dans la partie latérale du tuyau afin de supprimer la fréquence f2 du spectre du son émis ?
9. Corde excitée par un vibreur.
Une corde délimitée par les abscisses x = 0 et x =L est excitée en x= 0 par un vibreur. Celui-ci impose un déplacement vertical de l’extrémité gauche de la corde selon la fonction z(t) = zo.sin(ωt).
L’extrémité droite est fixée. On note y(x, t) la hauteur de la corde par rapport à la droite horizontale (Ox), en l’abscisse x et à l’instant t.
a) Quelles conditions aux limites a-t-on en x = 0 et x = L ? La vibration est supposée de forme : y(x, t) = A.sin(ωt + φ).sin(kx + ψ)
où A, ω, k, φ et ψ sont des constantes telles que k = ω/c où c est la célérité de l’onde. A quel type d’onde cette forme correspond-t-elle ?
b) Trouver les valeurs des constantes A, φ et ψ en fonction des données L, c, zo et ω.
c) Pour quelles valeurs de k l’amplitude de la vibration devient-elle très grande ? Retrouver l’existence de modes propres de la vibration. Cette étude théorique prévoit alors des amplitudes devenant infinies ; quels phénomènes expliquent-ils en pratique l’existence d’un simple maximum d’amplitude à la résonance ?
10. Notes sur une corde de guitare :
Une corde de guitare se modélise comme une corde vibrante de longueur 64,2 cm fixée à ses deux extrémités.
a) Déterminer la célérité c de l’onde sur la corde afin que le fondamental soit un Ré3 dont la fréquence vaut 294 Hz.
b) Quelles sont les notes correspondant aux harmoniques n allant de 2 à 7 ?
Indications : les fréquences des notes progressent selon une suite géométrique de raison . Une octave correspond ainsi au doublement de la fréquence. Cette octave est composée de douze demi-tons. Il n’y a qu’un demi-ton entre les notes Mi et Fa et entre les notes Si et Do. Les autres notes sont séparées d’un ton entier. L’indice de la note donne l’octave dans laquelle elle est située.
Le La3 est par exemple le troisième La figurant sur les touches d’un piano. Le La4 aura donc une fréquence de 880 Hz.
Ré3 Ré3⧣ Mi3 Fa3 Fa3⧣ Sol3 Sol3⧣ La3 La3⧣ Si3
294Hz 311 Hz 330 Hz 350 Hz 370 Hz 392 Hz 415 Hz 440 Hz 466 Hz 494 Hz
