Expression de x ' p, abscisse du point d'impact sur une surface de hauteur algébrique d dans le repère (O, x, y) O point de départ du jet.

(1)

Expression de

^{x '}^p

, abscisse du point d'impact sur une

surface de hauteur algébrique

^d

dans le repère

(O , x , y)

O point de départ du jet.

On a vu que dans le repère (O , x , y) la trajectoire du projectile a pour équation f (x)=−tanα₀

xp

x²+tanα₀x=tanα₀(−1 xp

x²+x) pour α₀∈

]

⁰^;^π2

]

et dans ce repère ^f ⁽^{x '}p)=d

d'où d=tanα₀(−1

x_p (x '_p)²+x '_p) d'où d

tanα₀=−1

x_p(x '_p)²+x '_p d'où 0=−1

x_p (x '_p)²+x '_p− d

tanα₀ ou encore 0=−tanα₀

x_p (x '_p)²+tanα₀x '_p−d

équation du second degré dans ℝ du type ax²+bx+c=0 avec a=−tanα₀

x_p ; b=tanα₀ et c=−d

Calcul du discriminant

Δ=b²−4a c=tan²α₀−4×−tanα₀

x_p ×(−d)=tan²α₀−4×tanα₀

x_p ×d or d<0 donc

(2)

−4×tanα₀ xp

×d>0 donc Δ>0 pour tout d<0

Il existe donc deux solutions dans ℝ x '_1p=−b−

√

Δ

2a et x '_2p=−b+

√

Δ

2a or x '_p≥0 donc il n'existe qu'une solution positive soit x '_p=x '_1p=−b−

√

^Δ

2a car a=−tanα₀ xp

≤0 et −b−

√

^Δ<⁰

En exprimant a , b et Δ on obtient

x '_p=

−tanα₀−

√

^tan²^α⁰^−4×^tan^x^p^α⁰^×d

2−tanα₀ x_p

or x_p=2 sinα₀cosα₀(v0)² g d'où

x '_p=

−tanα₀−

√

^tan²^α⁰^−4×^tan^x^p^α⁰^×d

2 −tanα₀ 2 sinα₀cosα₀(v₀)²

g

d'où

x '_p=−cos²α₀×(v₀)²

g (−tanα₀−

√

^tan²^α⁰⁻^4×^tan^x^p^α⁰^×^d⁾

Cette formule nous permet de calculer x '_p l'abscisse du point d'impact sur une surface se trouvant à d mètres en dessous du départ du jet, tout en connaissant son angle de tir α₀ , la distance qu'il aurait atteint pour d=0 et la norme de sa vitesse initiale v₀

Si on ne connait pas x_p mais que l'on connait v₀ , la norme de la vitesse initiale, et l'angle de tir, on a x_p=2 sinα₀cosα₀(v₀)²

g

d'où x '_p=−cos²α₀×(v₀)²

g (−tanα₀−

√

^tan²^α⁰⁻^4×^2sin^α⁰^tan^cos^α^α⁰⁰⁽^v^g⁰⁾²^×d⁾ ^soit

x '_p=−cos²α₀×(v₀)²

g (−tanα₀−

√

^tan²^α⁰⁻^cos²²^α^g⁰⁽^v⁰⁾²^×^d⁾ qui après factorisation de 1 cos²α₀ sous le radical et ensuite de −1

cosα₀ dans la parenthèse donne :

(3)

x '_p=cosα₀×(v₀)

g (sinα₀+

√

^sin²^α⁰⁻⁽²^v⁰^g⁾²^×^d⁾ ^attention ^d^<0

ou encore x '_p=(v₀)² g (1

2sin 2α₀+cosα₀

√

^sin²^α⁰⁻^(v²⁰^g⁾²^×d⁾

Cette formule permet donc en connaissant quatre paramètres : l'angle de tir α₀ , la norme de la vitesse initiale v₀ , l'accélération g et la hauteur algébrique d dans le repère (O , x , y) O point de départ du jet, de calculer l'abscisse du point d'impact du projectile.

Étude de la fonction

En posant K=(v0)²

g >0 et ^d^≤0 constants, on étudie la fonction h de α₀ sur [0;π 2] telle que :

x '_p=h(α₀)=cosα₀×K(sinα₀+

√

^sin²^α⁰⁻^K²^×^d⁾ (1) ou encore x '_p=K(1

2sin(2α₀)+cosα₀

√

^sin²^α⁰⁻²^K^d⁾ ⁽²⁾

On a K=(v₀)²

g >0 et ^d^≤0 donc −2

K×d≥0 d'où (sin²α₀− 2

K×d)≥0 pour tout α₀∈[0;π

2] . (sin²α₀− 2

K×d)=0 pour d=0 et α₀=0

donc pour d et ^α0 non nuls en même temps (sin²α₀− 2

K×d)≠0 La fonction h est du type d'après (1) :

h=u×(v+

√

w) avec ^u^(α0)=cosα₀×K , ^v^(α0)=sinα₀ et w(α₀)=sin²α₀− 2

K×d avec w(α₀)≠0 donc h est dérivable sur [0;π

2] .

Calcul de la dérivée

h '=u '×(v+

√

^w)+u×(v⁺

√

^w^)'^{=u '}^×(v⁺

√

^w^{)+u×(v '}⁺⁽

√

^w)^'^{)=u '}^×(v⁺

√

^{w)+u×(v '}⁺¹

2 w '

√

w) avec u '(α₀)=−sinα₀×K , v '(α₀)=cosα₀ et w '(α₀)=2 cosα₀sinα₀

(4)

d'où h '(α₀)=−sinα₀×K×(sinα₀+

√

^sin²^α⁰⁻^K²^×^d^)+cos^α⁰^×^K^×(^cos^α⁰⁺¹²

√

^{2 cos}^sin²^α^α⁰⁻⁰^sin^K²^α^×⁰^d⁾

en posant

√

^sin²^α⁰⁻^K² ^×^d⁼^A

h '(α₀)=−sinα₀×K×(sinα₀+A)+cosα₀×K×(cosα₀+cosα₀sinα₀

A )

h '(α₀)=K[−sinα₀×(sinα₀+A)+cosα₀×(cosα₀+cosα₀sinα₀

A )]

h '(α₀)=K[−sin²α₀−Asinα₀+cos²α₀+cos²α₀sinα₀

A ] or −sin²α₀+cos²α₀=cos(2α₀) d'où

h '(α₀)=K[cos(2α₀)−Asinα₀+cos²α₀sinα₀

A ]

h '(α₀)=K[(Acos(2α₀)−A²sinα₀+cos²α₀sinα₀)

A ] or (sin²α₀− 2

K×d)=A²

h '(α₀)=K[

(Acos(2α₀)−(sin²α₀− 2

K×d)sinα₀+cos²α₀sinα₀)

A ] or A>0 et K>0 donc h '(α₀) a le signe de E(α₀)=(Acos(2α₀)−(sin²α₀− 2

K×d)sinα₀+cos²α₀sinα₀) et s'annule pour ^E^(α0)=0

Calcul de quelques valeurs E(0)=(Acos(0)−(sin²0− 2

K×d)sin 0+cos²0 sin 0) E(0)=(A−(0− 2

K×d)0+0)

E(0)=

√

⁻^K² ^×d≥0 (rappel d≤0 ) donc pour tout d≤0 , E(0)≥0 . E( π

4)=(Acos(2π

4)−(sin²π 4− 2

K×d)sinπ

4+cos²π 4sinπ

4) E( π

4)=(0−(1 2−2

K×d) 1

√

²⁺

1 2

1

√

²⁾

E( π

4)=(

√

2 4 −(1

2−2

K×d)

√

2

2 ) remarque si d=0 alors E( π

4)=(

√

2 4 −(1

2)

√

2

2 )=0 , si d<0 alors −2

K×d>0 d'où (1 2− 2

K×d)>1

2 d'où (1 2− 2

K×d)

√

2 2 >1

2×

√

2 2 d'où

√

2 4 −(1

2− 2

K×d)

√

2

2 <0 . Donc pour tout d<0 , E( π 4)<0 . Donc comme E est continue sur [0;π

4] et que ^E^(α0) change de signe, il existe au moins

(5)

une solution comprise entre [0;

4] à l'équation ^E^(α0)=0 . Cette solution dépend de d .