H152. Signatures sur un polyèdre ***
Zig et Puce ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois arêtes partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, Zig pour commencer puis Puce apposent en alter- nance leur signature sur l’une quelconque des faces vierges. Le gagnant est celui qui parvient à obtenir sa signature sur trois faces partageant le même sommet.
En supposant que les deux joueurs adoptent l’un et l’autre des stratégies optimales, déterminer le joueur qui a une stratégie gagnante.
Solution de Claude Felloneau Zig a une stratégie gagnante
Démontrons d’abord que le polyèdre possède au moins 2 faces ayant au moins 4 sommets et une arête commune.
Soienta,f etsles nombres respectifs d’arêtes, de faces et de sommets du polyèdre.
On suppose que toutes les faces du polyèdre sont triangulaires sont triangulaires.
Chaque sommet est commun à 3 faces et chaque face a 3 sommets doncs=f. Chaque arête est commune à deux faces et chaque face a trois arêtes donc 2a=3f. Comme le polyèdre est convexe, la relation d’Euler donnef−a+s=2, doncf−3f
2 +f =2 d’oùf =4. Ce qui est exclu par hypothèse.
Le polyèdre a donc au moins une faceF=A1A2A3A4...Anayantnsommets avecn>4.
On suppose que toutes les faces ayant une arête commune avecF sont triangulaires.
SoitBle troisième sommet de la face triangulaire d’arête [A1A2]. Comme il y a déjà 3 arêtes partant du sommetA1,B A1Anest une autre face du polyèdre. De même, il y a 3 arêtes partant du sommetA2donc B A2A3est une face du polyèdre. C’est impossible car il y a alors au moins 4 arêtes ([B A1], [B A2], [B A3], [B An]) partant deBcontrairement à l’hypothèse.
Il y a donc au moins deux facesF=A1A2A3A4...AnetF0=A1A2A03A04...A0payant l’arête [A1A2] en com- mun avecn>4 etp>4.
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Le schéma précédent représente les différentes facesF,F0,F1,F2,F3,F4(qui est égale àF2sin=4) etFn(qui est égale àF4sin=5, égale àF3sin=4)
jeu 1er choix de Zig 1er choix de Puce 2e Choix de Zig 3e choix gagnant pour Zig
1 F niF1niF2niF0 F0 F1ouF2
2 F F1 F2 F0ouFn
3 F F2 F1 F0ouF3
4 F F0 F3 F1ouF4
Les quatre situations de jeu ci-dessus illustrent toutes les possibilités. Dans chacun des cas, le 2e choix de Zig lui permet d’ouvrir deux possibilités de gagner au coup suivant. Puce ne peut en parer qu’une seule.
Donc Zig gagne au bout de 3 coups.
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