Enonc´e D335 (Diophante) Rˆeve ou r´ealit´e ?
J’affirme que j’ai construit deux poly`edres convexes : l’un dans lequel toutes les faces ont six arˆetes ou plus et l’autre dans lequel les nombres d’arˆetes qui partent de chaque sommet sont tous distincts. Dans chacun des deux cas, si ce que je dis est vrai, donner un exemple du poly`edre et si je rˆeve, expliquer pourquoi.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Il s’agit de rˆeves, dans les deux cas
1) SoientF, A, Sles nombres de faces, d’arˆetes et de sommets dans le premier poly`edre.
Comme il est convexe, on a la relation d’Euler-DescartesA=S+F −2.
En chaque sommet il y a au moins 3 arˆetes. Totalisant le nombre d’arˆetes en chaque sommet, on obtient 2A (car chaque arˆete est compt´ee deux fois, avec ses deux bouts) et 2A≥3S.
Totalisant le nombre d’arˆetes de chaque face, on obtient aussi 2A (chaque arˆete est compt´ee deux fois, avec les deux faces qu’elle borde) et 2A≥6F.
Mais alors A+ 2 =S+F ≤2A/3 + 2A/6 =A, contradiction.
N.B. Pour que le poly`edre puisse acc´eder `a la r´ealit´e, il suffit d’abandonner l’exigence de convexit´e : le poly`edre de Szilassi a 7 faces dont chacune touche toutes les autres, et 14 sommets o`u convergent 3 arˆetes.
2) Dans le second poly`edre, chaque sommet appartient `a au moins 3 arˆetes, et `a au plus S −1 arˆetes car chaque arˆete joint ce sommet `a un sommet distinct. De 3 `a S −1, les S nombres d’arˆetes partant des sommets ne peuvent prendre queS−3 valeurs. Par le principe des tiroirs, au moins une de ces valeurs est prise plusieurs fois.
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