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NP-completude pour la coloration d’arˆetes `a distance 2

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Academic year: 2022

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(1)

NP-completude pour la coloration d’arˆ etes ` a distance 2

Herv´ e Hocquard, Pascal Ochem, Petru Valicov

LaBRI - LRI - LaBRI

Luminy, 10 novembre

(2)

Coloration d’arˆ etes a distance deux

D´ efinition

Une coloration d’arˆ etes ` a distance 2 (ou forte) est une coloration

propre des arˆ etes, telle que pour toute chaˆıne de longueur 3 wxyz,

les trois arˆ etes (wx , xy , yz) re¸coivent trois couleurs distinctes.

(3)

Coloration d’arˆ etes a distance deux

D´ efinition

Une coloration d’arˆ etes ` a distance 2 (ou forte) est une coloration

propre des arˆ etes, telle que pour toute chaˆıne de longueur 3 wxyz,

les trois arˆ etes (wx , xy , yz) re¸coivent trois couleurs distinctes.

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Coloration d’arˆ etes a distance deux

D´ efinition

Une coloration d’arˆ etes ` a distance 2 (ou forte) est une coloration

propre des arˆ etes, telle que pour toute chaˆıne de longueur 3 wxyz,

les trois arˆ etes (wx , xy , yz) re¸coivent trois couleurs distinctes.

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Coloration d’arˆ etes a distance deux

D´ efinition

Une coloration d’arˆ etes ` a distance 2 (ou forte) est une coloration

propre des arˆ etes, telle que pour toute chaˆıne de longueur 3 wxyz,

les trois arˆ etes (wx , xy , yz) re¸coivent trois couleurs distinctes.

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Coloration d’arˆ etes a distance deux

D´ efinition

Une coloration d’arˆ etes ` a distance 2 (ou forte) est une coloration

propre des arˆ etes, telle que pour toute chaˆıne de longueur 3 wxyz,

les trois arˆ etes (wx , xy , yz) re¸coivent trois couleurs distinctes.

(7)

Coloration d’arˆ etes a distance deux

D´ efinition

Une coloration d’arˆ etes ` a distance 2 (ou forte) est une coloration

propre des arˆ etes, telle que pour toute chaˆıne de longueur 3 wxyz,

les trois arˆ etes (wx , xy , yz) re¸coivent trois couleurs distinctes.

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Probl` eme de d´ ecision

k-COLORATION FORTE D’ARTES (k-SEC) INSTANCE : Un graphe G et un entier k .

QUESTION : Est-ce que G admet une coloration d’arˆ etes ` a distance

deux avec k couleurs ?

(9)

R´ esultats algorithmiques

• Polynomial pour les graphes triangul´ es (Cameron, 1989)

• NP-complet pour les graphes bipartis avec une maille g (∀g fix´ e) et ∀k ≥ 4 (Mahdian, 2002)

• NP-complet pour les graphes bipartis de degr´ e 3, k = 5, avec

une maille 6 (Erickson et al., 2002)

(10)

R´ esultats algorithmiques

• Polynomial pour les graphes triangul´ es (Cameron, 1989)

• NP-complet pour les graphes bipartis avec une maille g (∀g fix´ e) et ∀k ≥ 4 (Mahdian, 2002)

• NP-complet pour les graphes bipartis de degr´ e 3, k = 5, avec

une maille 6 (Erickson et al., 2002)

(11)

R´ esultats algorithmiques

• Polynomial pour les graphes triangul´ es (Cameron, 1989)

• NP-complet pour les graphes bipartis avec une maille g (∀g fix´ e) et ∀k ≥ 4 (Mahdian, 2002)

• NP-complet pour les graphes bipartis de degr´ e 3, k = 5, avec

une maille 6 (Erickson et al., 2002)

(12)

R´ eduction

Proposition

4-SEC est NP-complet dans le cas des graphes subcubiques planaires, bipartis, avec une maille 8.

Preuve

R´ eduction depuis le probl` eme de 3-coloration des graphes planaires de degr´ e 4 (3-COL ≤

P

4-SEC).

k-COLORATION (k-COL)

INSTANCE : Un graphe G et un entier k .

QUESTION : Est-ce que G admet une coloration propre des

sommets avec k couleurs ?

(13)

R´ eduction

Proposition

4-SEC est NP-complet dans le cas des graphes subcubiques planaires, bipartis, avec une maille 8.

Preuve

R´ eduction depuis le probl` eme de 3-coloration des graphes planaires de degr´ e 4 (3-COL ≤

P

4-SEC).

k-COLORATION (k-COL)

INSTANCE : Un graphe G et un entier k .

QUESTION : Est-ce que G admet une coloration propre des

sommets avec k couleurs ?

(14)

Motif de base

(15)

Motif de base

(16)

Motif de base

(17)

Motif de base

(18)

Motif de base

(19)

Motif de base

(20)

Motif de base

(21)

Motif de base

(22)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(23)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(24)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(25)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(26)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(27)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(28)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(29)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(30)

Gadget pour un sommet

x

1

x

2

x

3

x

4

(31)

Adjacence des sommets

u

v

x

ju

G u

G v

(32)

Adjacence des sommets

u

v

x

ju

x

kv

G u

G v

(33)

Adjacence des sommets

u

v

G u

G v

(34)

Adjacence des sommets

u

v

G u

G v

(35)

Adjacence des sommets

u

v

G u

G v

(36)

Adjacence des sommets

u

v

G u

G v

(37)

R´ esultat r´ ecent !

5-SEC pour les graphes planaires de degr´ e 3 et avec une maille 5 est NP-complet.

x

1

x

2

x

3

x

4

(38)

R´ esultat r´ ecent !

5-SEC pour les graphes planaires de degr´ e 3 et avec une maille 5 est NP-complet.

x

1

x

2

x

3

x

4

Références

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