Autour du problème de la couronne

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Jessica Hergoualch

To cite this version:

Jessica Hergoualch. Autour du problème de la couronne. Mathématiques [math]. Université Sciences

et Technologies - Bordeaux I, 2004. Français. �tel-00007935�

N Æ d'ordre : 2873 TH  ESE presentee a L'UNIVERSIT  E BORDEAUX I 

ECOLE DOCTORALE DE MATH 

EMATIQUES ET INFORMATIQUE

par Jessi a HERGOUALCH

POUROBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SP 

ECIALIT 

E : Mathematiques pures

********************* AUTOUR DU PROBL  EME DE LA COURONNE ********************* Soutenue le :25 Novembre 2004

Apres avis de Messieurs :

Mats ANDERSSON Professeur, Universite de Goteborg Rapporteurs Pas al THOMAS Professeur, Universite Toulouse3

Devant la ommission d'examen formee de :

Christine LAURENT Professeur, UniversiteGrenoble 1 Presidente Eri AMAR Professeur, UniversiteBordeaux 1 Examinateurs Mats ANDERSSON Professeur, Universitede Goteborg

PhilippeCHARPENTIER Professeur, UniversiteBordeaux 1

ChantalMENINI Matre de onferen es, UniversiteBordeaux 1 Pas al THOMAS Professeur, UniversiteToulouse3

Jessi a Hergoual h

These sous la dire tion de Eri Amar

Remer iements

Mes premiers remer iements sont, bien entendu, destines a Eri Amar qui a en adre mon travail pendant trois ans, et m'a fait proter de son experien e et de ses onnaissan es mathematiques. Il a su me proposer une sujet de re her he passionnant, permettant d'aborder des mathematiques variees, eta toujoursete disponibleet al'e oute de mes questions.

J'aimeraisaussiremer ierMatsAndersson, quiaa eptedelire ettethese redigeedansune langue qui ne lui est pas familiere, et a pris l'avion pour venir de si loin assister a la soutenan e. J'ai beau oup appre ieles e hanges que nous avons pu avoirlors de ses deux sejours aBordeaux, etje souhaite que ette relation puisse sepoursuivre.

Je voudraisaussi remer ier Pas alThomas, rapporteurde mathese, qui,par sale tureattentiveet ses remarquesnombreusesetpertinentes,m'apermisd'ameliorer emanus ritetd'e lair ir ertains points.

Je suis re onnaissante a Christine Laurent d'avoira epte de presider lejury de ette these, et de s'^etre depla ee pour venir assister ala soutenan e.

Jevoudraisaussiremer ierPhilippeCharpentier,YvesDupainetChantalMeninid'avoirbienvoulu faire partie de e jury, etde s'^etre interessesa mes travaux. J'aimeraisi i ajouter quej'ai appre ie les groupes de travail du jeudi matin,et je remer ie tous eux quil'animent.

Jen'oubliepastouteslespersonnes,tant her heurs onrmesquethesards,quej'aieu l'o asionde ren ontrer lorsdes dierentes Journees du Sud ete oles auxquelles j'ai pu parti iper es dernieres annees. J'ai beau oup appre ie es jounees, qui m'ont permis de onna^tre des sujets pro hes du mien, de ren ontrer des gens interessants, et ont a haque fois a ru ma motivation et mon go^ut pour l'analyse omplexe.

Enn, une pensee toute parti uliere pour Laurent, qui a su me soutenir durant es trois annees, et a ete a mes ^otes dans les moments de doute et de de ouragement. Je le remer ie aussi pour le soutien logistique qu'ilm'a apportedurant es derniers mois.

Resume

On s'interesse dans un premier temps a un probleme de division dans les espa es de Hardy de la boule B de C

n

. Il s'agit, etant donnees m fon tions g 1

;:::;g m

holomorphes et bornees dans B, et une fon tion f holomorphe dans B, de donnerune ondition suÆsante, plus faibleque l'hypothese lassique de la ouronne, pour qu'il existe m fon tions f

1 ;:::;f

m

dans un espa e de Hardy de B veriant f 1 g 1 +:::+f m g m

=f. La demonstration repose sur l'utilisationdu omplexe de Koszul, etlaresolutiondu  ave de bonnesestimations.La prin ipalenouvellediÆ ulte,parrapports aux travauxanterieurs, provientdu fait queles fon tionsg

1 ;:::;g

m

peuvent s'annuler simultanement. Dans un deuxieme temps on s'interesse au probleme de la ouronne dans les espa es de Hardy du bidisque muni de son bord topologique. On donne un resultat de resolutiondu  dans le bidisque ave estimations dans L

p (D

2

), quand lesdonnnees verient des hypotheses de typeCarleson. Enn on termine ave un resultat permettant de deduire d'un theoreme de la ouronne dans un espa e de Hardy d'un domaine de C

n

, un theoreme de la ouronne a valeurs dans des espa es ve toriels de dimension nie. Ce i nous permet d'obtenir un theoreme de la ouronne operateur dans les espa es de Hardy de la boule de C

n

etdu polydisque muni de son bord distingue.

Mots- les : Problemede la ouronne, espa es de Hardy, mesures de Carleson, fon tion maximale, resolutiondu .

Abstra t

In arst part, we are interested ina problemof division inHardy spa es of the unit ballB of C n . Given mfun tionsg 1 ;:::;g m

holomorphi andboundedinB, and aholomorphi fun tionf,wegive a suÆ ient ondition, weaker than the lassi al orona hypothesis, so that there exist m fun tions f

1 ;:::;f

m

in aHardy spa e of B su h that f 1 g 1 +:::+f m g m

=f. The proof is based onthe Koszul omplex method, and the resolution of -equations with goodestimates. The main new diÆ ulty, with respe t toprevious works, omesfromthe fa tthat the fun tionsg

1 ;:::;g

m

may have ommon zeros.

In ase ondpart weareinterested inthe oronaprobleminthe Hardyspa esof thebidis equipped with its topologi al boundary. We give a result about the resolution of a -equation in the bidis with estimates inL

p (D

2

), when the data verify Carleson-type hypotheses.

Finally, we end with a result allowing to dedu e a orona theorem with values in ve tor spa es of nite dimension from a lassi al orona theorem in a Hardy spa e of a domain in C

n

. As a onsequen e we obtain an operator orona theorem in Hardy spa es of the ball of C

n

and of the polydis equipped with itsdistinguished boundary.

Key-words : Corona problem, Hardy spa es, Carleson measures, maximal fun tion, resolution of -equation.

1 Introdu tion. 7

2 Division dans H p

(B). 13

2.1 Denitions, resultat. . . 13

2.2 Regularisation; omplexe de Koszul. . . 15

2.3 Division sans estimations. . . 18

2.4 Estimations. . . 22

2.5 Les espa es M p (B). . . 49

2.6 Mesures de Carleson. . . 56

2.7 Estimationdes derivees d'une fon tion holomorphe etbornee. . . 70

2.8 Proprietesde lafon tion . . . 73

2.9 Inegalites de normes. . . 75

2.10 Retour autheoreme de division. . . 78

2.11 Convergen e dans H p (B). . . 80

3 Division dans H p (B) : as de deux fon tions. 83 3.1 Introdu tion. . . 83

3.2 Resolutionquand les donnees sont dans B Æ .. . . 84

3.3 Retour auprobleme dans B. . . 110

3.4 Une fon tion reguliere quivaut 1 auvoisinage d'unensemble analytique. . . 111

3.5 Prolongementholomorphe d'unefon tion du bord  b -fermee. . . 112

4 Resolution du  dans le bidisque. 117 4.1 Denitions etresultat. . . 117

4.2 Proprietesdes operateurs de proje tion et de resolutiondu  dans le disque de C. . 119

4.3 Resolutiondu  dans lebidisque sans estimations. . . 120

4.4 Estimations des solutions du  dans le bidisque. . . 121

4.5 Demonstrationdes proprietesdes operateurs P et S. . . 132

5 Probleme de division dans des espa es de dimension nie. 143 5.1 Cadre ettheoreme general. . . 143

5.2 Appli ations : theoremes de la ouronne operateur dans les espa es de Hardy de la boule etdu polydisque. . . 148

Introdu tion.

En 1962,L.Carleson amontredans [10℄que sig 1

;:::;g m

sont des fon tionsholomorphesetbornees dans le disque de C, alors on aequivalen e entre les deux proprietessuivantes :

9Æ>0= jgj 2 =jg 1 j 2 +:::+jg 2 j 2 Æ 2 9(f 1 ;:::;f m )2H 1 (D) m = f 1 g 1 +:::+f m g m =1 (0.1)

Le probleme analogue pour le as plus general des domaines stri tementpseudo onvexes de C n

est toujoursouvert.Cependantdesversionsplusfaibles,danslesespa esdeHardyde ertainsdomaines omme laboule etle polydisque sont onnues.

Par exemple, dans la boule de C n

(et plus generalement dans les domaines stri tement pseudo- onvexes) E. Amardansle as de deux generateurs (voir[1℄), etM.Andersson et H.Carlssondans le asde plusieurs generateurs(voir[6℄),ontmontrequesig

1 ;:::;g

m

sontdes fon tionsholomorphes et bornees dans B qui verient

9Æ>0= jgj= jg 1 j 2 +:::+jg m j 2
1=2 Æ (0.2)

alors pour toute fon tion f dans l'espa e de Hardy H p

(B), ou p 2 [1;+1[, il existe des fon tions f

1 ;:::;f

m

dans e m^eme espa e H p (B) tellesque f 1 g 1 +:::+f m g m =f: (0.3)

Cependant, quand on her he a resoudre l'equation (0.3) onnaissant les fon tions holomorphes g

1 ;:::;g

m

etf,la ondition(0.2)n'estplusne essaire.Onpeutdon her herune onditionsuÆsante plus faible pour resoudre ette equation.Je m'interesse dans les hapitres 2 et 3 a e probleme de division dans les espa es de Hardy de la boule.

Pourpouvoirresoudre l'equation(0.3)ave desfon tionsf i

dansunespa edeHardy,ilfautd'abord savoir la resoudre ave des fon tions simplement holomorphes. Pour ela il faut au moins que la fon tion f s'annule sur l'ensemble des zeros ommuns aux fon tions g

1 ;:::;g

m

. Plus pre isement

l'inegalitede Cau hy-S hwarz nous montre que jfj jgj

doit ^etre lo alementbornee.

Pour e qui est des onditions suÆsantes pour resoudre (0.3) sans estimations, dans le as de polyn^omes,letheoreme des zeros de Hilbertditquesif s'annule sur l'ensemble deszeros ommuns 

ag 1

;:::;g m

alorsune ertainepuissan e def est dansl'idealengendreparg 1

;:::;g m

.Letheoreme de Brian on-Skoda (demontre dans [9℄) pre ise ette puissan e dans le as de fon tions holomorphes au voisinage d'un point :

Theoreme 1.0.1 Soient g 1

;:::;g m

et f des fon tionsdans l'anneau Cfz 1

;:::;z n

g des series onver-gentes a n variables. Soit q =min(n;m). Si il existe une onstante positive C telle que

jfjCjgj

alors f q

appartient a l'idealengendre par les fon tionsg 1 ;:::;g m , 'est-a-dire 9(f 1 ;:::f m )2Cfz 1 ;:::;z n g m = f 1 g 1 +:::+f m g m =f q :

De plus l'exposant q donne dans e theoreme est optimal.

H. Skodaa demontreen 1972 un theoreme (dans [20℄),base sur des estimations L 2

de Hormander, qui entra^ne le resultat suivant, donnant une ondition suÆsante pour la resolution de (0.3) sans estimations.

Theoreme 1.0.2 Soit un ouvert de C n

, suppose de Stein. Soient g 1

;:::;g m

et f des fon tions holomorphes dans . On note k =min(n;m 1).

Si jfj jgj k+1 2L 1 l o () alors 9(f 1 ;:::;f m )2Hol() m = f 1 g 1 +:::+f m g m =f

Ainsi,sif estunefon tionquis'annulesuÆsammentsurl'ensembledeszeros ommunsauxfon tions g

i

,alorselleappartiental'idealengendrepar esfon tions.Siondemande en plusquelesfon tions solutions f

i

soient dans un espa e de Hardy, il fautune ondition plus forte.

Tout d'abord, l'inegalitede Cau hy-S hwarz nous montre quesi l'equation (0.3) est resolue quand lesfon tions g 1 ;:::;g m sontdans H 1

(B) ave des solutionsf 1

;:::;f m

dans l'espa e de HardyH p

(B),

alors lafon tion maximalede jfj jgj , notee M  jfj jgj  ,est dans L p (B).

Theoreme 1.0.3 Soient g 1

, g 2

et f des fon tions dans H 1 (D). Si elles verient 9>0= jfj jgj 2+ 2L 1 (D) alors 9(f 1 ;f 2 )2H 1 (D) 2 = f 1 g 1 +f 2 g 2 =f

A laquestionposee parT. Wol,quietaitde savoirsi,dans ette situation,lam^eme ondition ave =0 est en ore suÆsante, S. Treila repondu par la negative dans [24℄.

Dans laboule deC n

,dans le as de deux generateurs etd'unefon tionf =1,E.AmaretJ.Bruna ont donne dans [3℄ une ondition suÆsantesur les fon tions g

1 ;g

2 2H

1

(B) pour qu'ilexiste deux fon tions f 1 et f 2 dans H p (B) telles que f 1 g 1 +f 2 g 2

= 1. J'ai etendu e resultat au as ou f est quel onqueetouilyaplusde deuxgenerateurs delafa onsuivante,repondantainsiaunequestion de M. Putinaret S.Sandberg :

Theoreme 1.0.4 Soient nun entiersuperieurouegala 2,B la bouledeC n

,m unentiersuperieur ou egala2etp2[1;+1[.Onnoter =min(n; m).Soientg

1 ;:::;g

m

etf desfon tionsholomorphes dans B. On suppose que

8j 2N= 1j m; g j 2H 1 (B) et 9>0= M  f jgj r+1 jlogjgjj (2+)r 2  2L p (B) (0.4) Alors 9(f 1 ;:::;f m )2H p (B) m = f 1 g 1 +:::+f m g m =f

La demonstrationde e resultatrepose sur lamethode du omplexede Koszul.Unedes prin ipales diÆ ultes vient du fait que jgj peut s'annuler, et que les formes qu'il faut alors resoudre ne sont pas regulieres, ni m^eme denies en tant que produits de ourants. Pour ontourner et obsta le je regularise le probleme en introduisant une fon tion g

m+1

= ; il faut alors resoudre le nouveau probleme ave des estimations independantes de . De plus, pour obtenir ertaines d'entre elles, il est ne essaire d'estimer f en utilisantuniquementl'hypothese (0.4)( ette diÆ ultedisparaitbien s^ur quand f = 1). Cette methode de regularisation fait 'perdre' une puissan e au denominateur quand r=m. Pour se rappro her aumaximum du resultat 1.0.2 de Skoda, il faudrait ameliorer le resultat en obtenant lam^eme hose ave r =min(n;m 1).

Dans le as ou m =2 et n = 2, j'ai ependant obtenu une meilleure estimation en regularisant la formearesoudre par onvolution, e quiest possible dans e as ar le omplexede Koszul s'arr^ete

Theoreme 1.0.5 Soit 1  p< 1. Soient g 1

et g 2

deux fon tions dans H 1

(B) et f une fon tion holomorphe dans B. On suppose que

9>0= M fjlogjgjj 2+ jgj 2 ! 2L p (B) Alors il existe f 1 etf 2 dans H p (B) telles que f 1 g 1 +f 2 g 2 =f dans B.

Pour equiestdupolydisque,K.C.Linamontredans[18℄,en1994,quesig 1

etg 2

sontdesfon tions holomorphesdans lepolydisque D

n

qui verientla ondition(0.2)alors, pourtoutefon tionf dans l'espa e de Hardy usuel H

p (T

2

),il existe des fon tionsf 1

et f 2

dans et espa equi verient

f 1 g 1 +f 2 g 2 =f (0.5)

J'aipourmapartessayededemontrerlem^emeresultatpourl'espa edeHardydubidisquemunide son 'vrai'bord, H

p (D

2

), 'est-a-dire l'espa edes fon tionsholomorphesdans D 2 muni de lanorme : kfk p H p =Sup 0<r<1 Z D 2 jf(rz)j 2 d(z)

Sans aboutir, j'ai ependant demontre, dansle hapitre4, un theoreme sur laresolutiondu  dans lebidisqueave estimations dansL

p (D

2

)quand ladonnee estleproduit d'unefon tionde H p

(D 2

) par une formeveriantdes hypotheses de type mesure de Carleson.

I i B designe labouleunitede C 2

etV 1

(D) etV 1

(B) lesespa es de mesures de Carleson dans D et B.

Theoreme 1.0.6 Soit ! =! 1 dz 1 +! 2 dz 2

une (0;1)-forme de lasse C 1

dans D 2

telleque ! =0. On suppose qu'il existe une onstante positive C

1 telle que a) 8z 2 2D; ! 1 (:;z 2 )2V 1

(D) de norme majoree par C 1 . b) 9>0= 8z 2 2D;   ! 1 (z 1 ;z 2 )dz 1 ^(z 1 ;z 3 )   2 ( (z 1 ;z 3 ))  2V 1

(B) de norme majoree par C 1 . ) 8z 1 2D; ! 2 (z 1 ;:)2V 1

(D) de norme majoree par C 1 . d) 9>0= 8z 1 2D;   ! 2 (z 1 ;z 2 )dz 1 ^(z 2 ;z 3 )   2 ( (z 2 ;z 3 ))  2V 1

(B) de norme majoree par C 1

.

Alors il existeune onstanteC ne dependantque de C 1

et de  telleque pour toute fon tion f dans l'espa e H p (D 2 )\C 1 (D 2

) il existe une solution u de l'equation

u=f! veriant kuk p 2 C kfk p :

Lademonstrationde etheoremeutilisefortementlastru tureproduitdubidisque,etfaitintervenir des noyaux integraux en une variable.

Enn, dans le hapitre 5, je m'interesse a une version operateur du probleme de la ouronne. En eet, dansleproblemedela ouronneintroduit i-dessus, onpeut onsidererlem-upletdefon tions holomorphes (g

1 ;:::;g

m

) omme une fon tion a valeurs dans l'espa e des appli ations lineaires de C

m

dans C, note L(C m

;C). Ainsiresoudre l'equation(0.3) revient ase donner

G=(g 1 ;:::;g m )2H 1 (;L(C m ;C)) et f 2H p () et a trouver F =(f 1 ;:::;f m )2H p (;C m ) telque GF =f (0.6)

On peut generaliser e probleme en onsiderant G 2 H 1 (;L(C m ;C n )) et k 2 H p (;C n ) et en her hant F 2H p (;C m ) telque GF =k (0.7)

J'ai demontre dans e hapitre que si on saitresoudre l'equation (0.6) pour tout entier positif m, alors on peut resoudre l'equation (0.7). J'en deduis des theoremes de la ouronne operateur pour les espa es de Hardy de la boule etdu polydisque.

Division dans H p

(B ).

2.1 Denitions, resultat.

Dans e hapitre on va demontrer le theoreme de division dans les espa es de Hardy de la boule (theoreme 1.0.4). On ommen e par pre iser lesdenitions et notations quiinterviennent dans son 

enon e.

Soit n 2.On note B labouleunitede C n

,B son bord et(z)=jzj 2

1 safon tiondenissante. On note d lamesure de Lebesgue de C

n

etd la mesurede Lebesgue de B. De fa on generale, si g =(g

1 ;:::;g m ), onnote jgj 2 = m X i=1 jg i j 2

Pour enon er le theoreme 1.0.4 dans une forme un peu plus generale on introduit la fon tion ,

omme dans [3℄, qui jouera le r^olede la fon tion

1 jlog jgjj 2+ . Soit d 0

une mesure positive dans [0;1[ telle que Z 1 0 d 0 (s) s 2 <+1 On note alors 8x2R + ; (x)= Z 1 0 x 2s d 0 (s)

Parexemple, pour  >0 etpour d 0 (s)=s 1+ ds, onobtient (x)  x!0 + 1 jlog xj 2+ .

Pourtoutpoint dubordde labouleondenit, ommedans[19℄,ledomaineadmissibledesommet  par  =fb2B=   1 b   <2(1 jbj 2 )g

On denit alors pour h2L 1

(B) la fon tion maximalede h par

8 2B; Mh()=Sup z2

 jh(z)j

Ce i nous permetde denir,pour p2[1;+1℄, les espa es suivants :

M p (B) =fh2L 1 (B)=Mh 2L p (B)g

qu'on munit de la norme

khk M p =kMh k L p (B)

On noteaussiHol(B) l'ensembledes fon tionsholomorphesdansB etH 1

(B) l'espa edesfon tions holomorphes et bornees dans B, muni de la norme khk

1 =Sup z2B jh(z) j; pour 1  p < 1 on note H p

(B) l'espa e de Hardydeni par

H p (B) =fh2Hol(B)=khk H p <1g ou khk p H p =Sup 0<r<1 Z B jh(r)j p d()

On peut a present enon er le theoreme 1.0.4, qui donne une ondition suÆsante pour la division d'une fon tion de H

p

(B), sous une forme un peu plus generale.

Theoreme 2.1.1 Soient nun entiersuperieurouegala 2,B la bouledeC n

,m unentiersuperieur ou egala2 etp2[1;+1[.On noter =min(n;m).Soient g

1 ;:::;g

m

et f des fon tionsholomorphes dans B. On suppose que

8j 2N= 1j m; g j 2H 1 (B) et f jgj r+1 (jgj) r 2 2M p (B) Alors 9(f 1 ;:::;f m )2H p (B) m = f 1 g 1 +:::+f m g m =f (1.1)

On va dans la suite du hapitre demontrer e theoreme en utilisant la methode du omplexe de Koszul apres avoirregularisele probleme.

Desormais on garde les notations du theoreme : g 1

;:::;g m

sont des fon tions dans H 1

2.2 Regularisation ; omplexe de Koszul.

Si onpose, pour tout entier j omprisentre 1 et m,

f 0 j = g j jgj 2 f (2.1)

on obtient une solution a l'equation (1.1). Mais es fon tions ne sont pas holomorphes, ni m^eme regulieres, ar jgjpeut s'annuler.Ce sont ependant des distributions, ar jgj

2

est reelle analytique, et onpeut appliquerle theoreme de Lojasiewi z.

Pour orrigerledefautd'holomorphiedes fon tionsf 0 j

ilsuÆtdetrouverdes fon tionsf 1 j telles que Sup 0<r<1 Z B   f 1 j (r)   p d()<+1 f 1 j =f 0 j (2.2) et m X j=1 f 1 j g j =0 (2.3) Les fon tionsf 0 j f 1 j

resoudront alors l'equation(1.1) etseront ne essairementregulieres ar holo-morphes.

Pour faire ela on va utiliser le omplexe de Koszul, introduit dans e adre par Hormander. Ce omplexefaitintervenirdes produitsdes formes(f

0 j

),quine sontpas biendenisen tantque pro-duitsde distributions.Pour ontourner ettediÆ ulteonvaregulariserleproblemeenintroduisant, pour >0,la fon tiong

m+1

=,qui ne s'annule pas, puis onfera tendre vers 0. On va en fait demontrer le theoreme suivant:

Theoreme 2.2.1 Soient (n;m)2N 2

superieurs ouegaux a2, p2[1;+1[et B la boulede C n

. On note r =min(m;n). Soit K un reelpositif. Il existe une onstante positive C telle que pour toutes fon tions g 1 ;:::;g m ;f 2Hol(B)\C 1 (B) veriant f jgj r+1 (jgj) r 2 M p K (2.4) et kgk 1 <1

on ait, pour tout >0,

9(f 1 ;:::;f m ;f m+1 )2H p (B) m+1 = f 1 g 1 +:::+f m g m +f m+1 =f et 81j m+1; kf j k p C

On note que l'estimation obtenue est uniforme en . Plus exa tement, la onstante C ne depend que de n, K, p,et m. Desormais toutetelle onstante sera notee C(K).

Ondemontreraauparagraphe2.10,enfaisanttendrevers0,que etheoremeentra^neletheoreme2.1.1.

On vaapresents'atta heraprouverletheoreme2.2.1etonsepla edansleshypothesesde elui- i. On note g m+1 = etjg  j 2 =jgj 2 + 2 .

Nousreprenonsi ilesnotationsdeM.AnderssonetH.Carlssondans[6℄pourintroduirele omplexe de Koszul.

Soit 

l'algebreexterieuredesformeslineairesalterneessurC m+1 etsoitfe 1 ;:::;e m+1 glabaseduale de labase anonique de C m +1

. Leproduit exterieur dans  

sera note \, pour ne pas le onfondre ave leproduit exterieur des formes dierentielles, note ^.

On va travaillerdans les espa es C 1 (r;s)

(B; l

) des (r;s)-formes de lasse C 1

dans B a valeurs dans

 l .Sif 2C 1 (r;s) (B; l ),f s'e ritf = X jIj=l 0 f I e I oulasomme X jIj=l 0

s'ee tuesurlesmulti-indi es

ordonnes I =(i 1 ;:::;i l ) , f I 2C 1 (r;s) (B), ete I =e i1 \:::\e i l .

On remarque qu'on peut notamment avoir f \f6=0. Par exemple si f = f 1 e 1 +f 2 e 2 , ou f 1 et f 2 sont des (0;1)-formes onaf \f =2(f

1 ^f 2 ) e 1 \e 2 . On note f \k =f\:::\f (k fois). Si f = X jIj=l 0 f I e I

onnote, pour tout z 2B, jf(z)j 2 = X jIj=l 0 jf I (z) j 2 .

On denit alors, sur es espa es, d'une part l'operateur  prolongeant naturellement elui sur les formes dierentielles, etd'autre part leproduit interieur par (g

1 ;:::;g m+1 ). Denition 2.2.2 Soit  :C 1 (r;s) ( l ) !C 1 (r;s+1) ( l ) deni par ( X jIj=l 0 f I e I )= X jIj=l 0 f I e I Soit Æ g :C 1 (r;s) ( l +1 ) !C 1 (r;s) ( l )

le produit interieur par le ve teur X g

de oordonees (g 1

;:::;g m+1

), 'est-a-dire deni par

8(X 1 ;:::;X l )2 C m +1
l ; Æ g f(X 1 ;:::;X l )=f(X g ;X 1 ;:::;X l )

Lemme 2.2.3 Soient l2N et h2C 1 (r;s) ( l +1 ). Si h= X jIj=l+1 0 h I e I alors Æ g h=( 1) l X jJj=l 0 m+1 X j=1 g j h Jj ! e J Demonstration: On note fe  1 ;:::;e  m+1 g la base anonique de C m +1 . Si Æ g h = X jJj=l 0  J e J

alors, pour tout

multi-indi e ordonneJ =(j 1 ;:::;j l ),on a (Æ g h)(e  j1 ;:::;e  j l )= X jJj=l 0  J e J (e  j1 ;:::;e  j l )= j 1 ;:::;j l Or par denition (Æ g h)(e  j 1 ;:::;e  j l )=h( m+1 X j=1 g j e  j ;e  j 1 ;:::;e  j l ) On en deduit que  j1;:::;j l = X jIj=l+1 0 h I e I m+1 X j=1 g j e  j ;e  j1 ;:::;e  j l ! = X jIj=l+1 0 h I m+1 X j=1 g j e I (e  j ;e  j1 ;:::;e  j l ) Or e I (e  j ;e  j 1 ;:::;e  j l

)6=0 si et seulement si I = J [fjg et dans e as e I (e  j ;e  j 1 ;:::;e  j l ) est egal a la signature de la permutationqui envoie I sur (j;J).Comme h

Jj =0 sij 2J,on en deduit que  j 1 ;:::;j l =( 1) l m+1 X j=1 h Jj g j

e qui a heve lademonstrationdu lemme.

On obtient alors un double omplexe:

Lemme 2.2.4 Ave les notations pre edentes on a : a) Æ g ÆÆ g =0 b) Æ =0 )  ÆÆ g =Æ g Æ Demonstration: a) Pour tout h dans C

1 (r;s)

(B; l +2

), pour tous hamps de ve teurs X 1

;:::;X l

,on apar denition

ar h est alternee. b) Immediat.

) Pour tout h dans C 1 (r;s) ( l +1 )qui s'e rit X jIj=l+1 0 h I e I , on a,d'apres lelemme 2.2.3,  ÆÆ g h =( 1) l X jJj=l 0 ( m+1 X j=1 h Jj g j ) e J =( 1) l X jJj=l 0 m+1 X j=1 h Jj g j e J =Æ g Æh ar g j =0; 8j 2f1;:::;m+1g.

Ave es nouvelles notations, trouver des fon tions F 1 ;:::;F m+1 2H p (B) telles que m+1 X i=1 F i g i =f de

normes majorees par C(K)revient a trouverF = m+1 X i=1 F i e i 2C 1 (0;0) (B; 1 ) telque Æ g F = m+1 X i=1 F i g i =f et kFk H p C(K)

Le lemme suivantmontre qu'il suÆt en fait de demontrer que

9F 2C 1 (B; 1 )= Æ g F =f; F =0 et kFk L p (B) C(K) (2.5) Lemme 2.2.5 Si h2C 1 (B) alors h 2H p (B) () h jB 2L p (B) et h2Hol(B)

De plus, dans e as on a

khk H p = h jB L p (B)

On va apresent s'atta her ademontrer (2.5).

2.3 Division sans estimations.

On remarque qu'ave es notations, en prenant en ompte g m+1

,la solution non holomorphe (2.1) s'e rit F 0 = m+1 X f 0 j e j = \f

ou = m+1 X j=1 g j jg  j 2 e j (3.1)

Notons que ette solution F 0 veriebien Æ g (F 0 )=f

Plus generalement,le produit par (qui depend de ) resoudÆ g

au sens suivant :

Lemme 2.3.1 Pourtoute fon tion h 2C 1 (r;s) (B;  l ) si Æ g h=0 alors Æ g ( \h)=h. Demonstration: On peut e rire h= X jIj=l 0 h I e I .Alors Æ g h =0()8J 2f1;:::;m+1g l 1 ; m+1 X j=1 h J;j g j =0 (3.2) On note = m+1 X j=1 j e j ; \h= X jJj=l+1 H J e J ; Æ g ( \h)=( 1) l X jJj=l G J e J

On a par denition, pour J 2f1;:::;m+1g l +1 , ave J =(J 1 ;:::;J l +1 ); H J = l +1 X j=1 ( 1) j+1 J j h JnJ j De plus G L = m+1 X j=1 g j H Lj = m+1 X j=1 l X i=1 g j ( 1) i+1 Li h (LnLi)j + m+1 X j=1 g j ( 1) l j h L G L = l X i=1 ( 1) i+1 Li m+1 X j=1 g j h (LnLi)j +( 1) l h L m+1 X j=1 g j j

En utilisant alors ladenition(3.1) de etl'hypothese (3.2) on obtient G L =( 1) l h L i:e: Æ g ( \h)=h

Si on se donne alors un operateur qui resoud le  dans B, le omplexe de Koszul nous permet de resoudre lesequationsÆ

g

F =f etF =0simultanement, ommelemontrelapropositionsuivante:

Proposition 2.3.2 Soit A un operateurresolvantle , 'est-a-dire

A:C 1 (B; l ) !C 1 (B; l )

tel que (Ah)=h si h=0. Soit F = r X k=0 ( 1) k (Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f) (3.3) Alors F 2C 1 (0;0) (B; 1 ) et verie Æ g F =f et F =0

On dessinele omplexe de Koszul dans C 2 .  3 A( \( ) \2 \f)  ! \( ) \2 \f  ! 0 Æg # Æg # Æg #  2 A(w 1 )  ! w 1  Æ g ÆA( \( ) \2 \f) \ \f  ! ( ) \2 \f  ! 0 Æ g # Æ g # Æ g #  1 F  Æ g ÆA(w 1 ) \f  !  \f 0 Æ g # Æ g #  1 f  ! 0 (0;0) (0;1) (0;2) (0;3) Demonstration:

On denit par re urren e

w r = \( ) \r \f w l = \( ) \l \f Æ g ÆA(w l +1 ) si 0l<r

On onstate alors que, pour tout entier l telque 0lr,

w l = r X k=l ( 1) k l (Æ g ÆA) k l ( \( ) \k \f) On anotammentF =w .

Montrons qu'on a,pour tout l, Æ g w l =( ) \l \f Puisque Æ g ÆÆ g

=0 ilsuÆt pour ela de montrer que

Æ g ( \( ) \l \f)=( ) \l \f

D'apres lelemme 2.3.1 ilsuÆt pour ela de montrer que

Æ g

(( ) \l

\f)=0

Pro edons par re urren e sur l. Le as l=0 est immediat.Supposons que

Æ g (( ) \l \f)=0 (3.4) alors, puisque Æ g et  ommutent, Æ g (( ) \(l +1) \f)=ÆÆ g ( \( ) \l \f)

En utilisant l'hypothese de re urren e (3.4) et lelemme 2.3.1 onen deduit que

Æ g (( ) \(l +1) \f)=(( ) \l \f)= Æ( \( ) \(l +1) \f)=0

On aainsi montreque Æ g

w l

=( ) \l

\f pour tout l; en parti ulierÆ g

F =f.

Montrons par re urren e des endante sur l que pour tout l on aw l =0.  Pour l=r on aw r = \( ) \r \f don w r 2C 1 (0;r+1) (B; r+1

).Deux as sepresentent alors. Si r+1=n+1 alors C 1 (0;r+1) (B)=f0g,et w r =0. Si r+1=m+1, ommeon l'avu pre edemment,

w r =( ) \(r+1) \f =Æ g ( \( ) \(r+1) \f) Or \( ) \(r+1) \f 2C 1 (0;r+1) (B; r+2 ),et  r+2 = m+2 =f0g,d'ouw r =0.  Supposons quew l =0. Alors w l 1 =( \( ) \(l 1) \f) ÆÆ g ÆA(w l )=( ) \l \f Æ g Æ ÆA(w l )

Puisque A resoud le  etque w l =0 ona ÆA(w l )=w l etpuisque Æ g w l =( ) \l \f ona don w l 1 =( ) \l \f ( ) \l \f =0

Pour a hever la demonstration du theoreme 2.2.1 il reste a obtenir une estimation de kFk H

p . On prend pour A l'operateur utilise dans [6℄ (theoreme 4.1). Alors la solution F obtenue est de lasse C

1

(B). Il reste don a montrer, d'apres le lemme2.2.5, la proposition suivante:

Proposition 2.3.3 Si A est l'operateur donne dans [6℄, la solution F donnee par (3.3) est dans L

p

(B) de norme majoree par C(K).

2.4 Estimations.

Il s'agit de demontrer la proposition 2.3.3. Pour ela on va demontrer que haque terme de la somme (3.3) est dans L

p

(B) de norme majoree par C(K). On examinera par ordre de simpli ite les as k =0,k 2puis k=1.

Pour k=0 ilfautmontrer que \f 2L p

(B). Gr^a e aladenitionde etsa hant quejgj1 et jg  j>jgj ona j \fj jfj jg  j  jfj jgj r+1 (jgj) r 2

L'hypothese 2.4 nous montre alors que \f 2 C 1

(B; 1

)\M p

(B) de norme majoree par K. Le lemme suivant nous permet alors de on lure que \f 2L

p

(B) de normemajoree par K.

Lemme 2.4.1 Si h2M p (B)\C 1 (B) alors h2L p (B) et khk L p (B) khk M p Demonstration: Soit  2B. Puisque h2C 1

(B),h(r)tend vers h()quand r tend vers 1ave r 2[0;1[.De plus, 8r 2 [0;1[; r 2



, don jh(r)j  Mh(), d'ou, en passant a la limite, jh()j  Mh(). On en deduit que khk L p (B) kMh k L p (B) =khk M p.

2.4.1 Estimations des termes pour k 2.

Pour ela onva utiliser les estimations de l'operateurA donnees par M. Andersson et H. Carlsson dans le theoreme 4.1 de [6℄. On introduitpour ela lesespa es de mesures de Carleson.

On rappelle quele noyau de Hardy-Littlewood P 0

est deni par

8z 2B; 8 2B; P 0 (z;)= 1   B  z jzj ; (z) 1 B  z jzj ; (z)  ()

ou lapseudo-boule B(a;t) entree en a2B etde rayont est denie par

B(a;t)=fb2B= j1 abj<tg

On note aussi T C 

B l'espa e tangent omplexe a B en  2 B. Pour s >0 et  2 B on denit de plus la tentede entre  etde rayons par

T s; =fz 2B=d(T C  B;z) <sg

ou d designela distan e eu lidienne dans C n

.

Denition 2.4.2

a) On dit qu'une mesure  dans B est dans l'espa e des mesures de Carleson, note V 1

(B), si il existe une onstante C positive telleque pour tout  2B et tout s>0,

jj(T s; )Cs n Dans e as kk V 1

est par denition la plus petite onstante C qui onvient.

b) Soit 2℄0;1[.On dit qu'une mesure  dans B est dans l'espa e des mesures de Carlesond'ordre  , note W  (B), si la balayee P 0 jj= Z B P 0 (z;)djj(z)

de jj par le noyau de Hardy-Littlewood appartient a L p

(B), o u 1 p

= 1  . Dans e as on note

kk W  la norme P 0 jj L p (B) . OnnoteraaussiV 0

(B) l'espa edesmesuresborneesdansB.Lesespa esainsidenissontdesespa es de Bana h.

Par abus de langage ondira qu'une fon tion h denie dans laboule est une mesure de Carleson si hd est une mesure de Carleson.

On denit aussi les normes suivantes, tenant ompte de la geometrie de la boule. Si h est une (0;s)-formeonnote jhj 2 =( )jhj 2 +j^hj 2

On remarque notamment quesih est une fon tion jhj 

est equivalente ajhj.Plus pre isementon a jhj 2  2jhj 2 4jhj 2  .

On peut alors enon er letheoreme suivant, prouve dans [6℄.

Theoreme 2.4.3 Il existe un operateur lineaire

A:C 1 (0;s+1) (B; l ) !C 1 (0;s) (B; l )

tel que, pour tout 2[0;1[, pourtout  2℄ 1;+1[,et pour toute forme h2C 1 (0;s+1) (B; l )on a : (i) k( )  Ahk W  C ( ) + 1 2 h W  (ii) kAhk L p (B) C ( ) 1 2 h W  , o u p=1 1 

et C est une onstante positive.

De plus A verie (Ah)=h si h=0.

Pourestimerlestermesde(3.3)pourk 2onvaappliquersu essivement e theoremeetlelemme suivant :

Lemme 2.4.4 Pourtous s1 et l2N, pour tout W 2C 1 (0;s) (B; l ) on a l'inegalite jÆ g Wj p ljWj Demonstration: Soit W = X jJj =l 0 W J e J . Alors Æ g W =( 1) l 1 X jKj=l 1 0 m+1 X j=1 g j W Kj ! e K On en deduit que jÆ g Wj 2 = X jKj=l 1 0      m+1 X j=1 g j W Kj      2  X jKj=l 1 0 m+1 X j=1 jg j j 2 ! m+1 X j=1 jW Kj j 2 ! jÆ g Wj 2 jg  j 2 X jKj=l 1 0 m+1 X j=1 jW Kj j 2 =jg  j 2 l X jJj=l jW J j 2 ljWj 2 Soit k2. Puisque (Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f)2C 1 (0;0) (B; 1 ),on a 2   (Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f)      (Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f)  

On en deduit, gr^a e au point (ii)du theoreme 2.4.3, que (Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f) L p (B) 2 p 2 ( ) 1 2 (Æ g ÆA) k 1 ( \( ) \k \f) W 

puis, en appliquant su essivement le point (i)du theoreme 2.4.3 et lelemme 2.4.4, onobtient :

(Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f) L p (B) C k p (k+1)! ( ) k 2 2 ( \( ) \k \f) W 

On utilisealors lelemme suivantpour estimer ( ) k 2 2 ( \( ) \k \f) W  : Lemme 2.4.5 Soient h 1 et h 2

des formes a valeurs dans   . Alors on a jh 1 \h 2 j  Cjh 1 j  jh 2 j  o u C est une onstante ne dependantque des degres de h

1 et h

2 .

Pour la demonstration voir leparagraphe 2.9. On en deduit que   ( ) k 2 2 ( \( ) \k \f)     Cjfj  ( ) k 2 2 j j          ( ) \(k 1)   

d'ou,en utilisant lefait quej jjgj 1

, et en prenant t un reel stri tement positif,

  ( ) k 2 2 ( \( ) \k \f)     C jfj jgj  t( ) k 2   ( ) \(k 1)   2  + 1 t      2   Estimons d'abord      2 

. Par denitionde la normeon a :

     2  =( )      2 +   ^   2

Pardenitionde , sa hant que

 = m+1 X i;j=1 g j g i g j g j g i jg  j 4 e i ; (4.1) on a:      2   ( )jgj 2 jgj 4 + j^gj 2 jgj 4 On en deduit que      2   1 jgj 2 (jgj) (A+B) ou A= ( )jgj 2 jgj 2 (jgj) et B = jg^gj 2 jgj 2 (jgj)

D'autre part onestime ( ) k 2   ( ) \(k 1)   2

( ) k 2   ( ) \(k 1)   2  =( ) k 1   ( ) \(k 1)   2 +( ) k 2   ^( ) \(k 1)   2 On ad'une part   ( ) \(k 1)   2  1 jgj 4k 4 X jIj=k 1   g I 1 ^:::^g I k 1   2 et d'autrepart   ^( ) \(k 1)   2  1 jgj 4k 4 X jIj=k 1   ^g I 1 ^:::^g I k 1   2 On en deduit que ( ) k 2   ( ) \(k 1)   2   1 jgj 2k 2 (jgj) k 1 (D+E) ou D= X jIj=k 1 ( ) k 1   g I 1 ^:::^g I k 1   2 jgj 2k 2 (jgj) k 1 et E = X jIj=k 1 ( ) k 2   ^g I 1 ^:::^g I k 1   2 jgj 2k 2 (jgj) k 1 On hoisit alors t=jgj k 2 (jgj) k 2 2 etonobtient   ( ) k 2 2 ( \( ) \k \f)      jfj jgj D+E jgj k (jgj) k 2 + A+B jgj k (jgj) k 2 ! 'est-a-dire   ( ) k 2 2 ( \( ) \k \f)      jfj jgj k+1 (jgj) k 2 (A+B +D+E)

Pour pouvoir on lure on va d'une part montrer que A, B, D et E sont des mesures de Carleson

et d'autre part montrer que

jfj jgj k+1 (jgj) k=2 2 M p

(B), e qui nous permettra d'appliquer le lemme

suivant etd'obtenir lamajorationvoulue :

Lemme 2.4.6 Soit p2[1;+1℄. Si  2V 1 (B) et h2M p (B) alors h 2W  (B), o u =1 1 p , de

norme majoree par kk V 1 khk M p .

Pour la demonstration de e lemmevoirle lemme2.4 p12 de [3℄.

Proposition 2.4.7 Pourtoutentierk telque1k n,pourtoutesfon tionsh 1 ;:::;h k deH 1 (B), lesfon tions$ 1 et$ 2

i-dessoussontdes mesuresdeCarlesondenormemajoreeparmax(1;khk 2k 1 ) $ 1 =( ) k jh 1 ^:::^h k j 2 jhj 2k (jhj) k $ 2 =( ) k 1 j^h 1 ^:::^h k j 2 jhj 2k (jhj) k

Enn on a,sa hant que jgjest majoree par 1,et en utilisantl'hypothese (2.4) :

jfj jgj k+1 (jgj) k 2 = jfj jgj r+1 (jgj) r 2 jgj r k (jgj) r k 2  jfj jgj r+1 (jgj) r 2 2M p (B)

e qui a heve lademonstrationdu faitque, pour tout entier k ompris entre 2 etr ona : (Æ g ÆA) k ( \( ) \k \f) L p (B) C(K)

Remarque 2.4.8 Pour estimer le terme d'ordre k dans (3.3) quand k6=1 on utilise seulement

l'hypothese jfj jgj k+1 (jgj) k=2 2M p

(B), qui est une onsequen e de l'hypothese (2.4) omme on vient

de le voir.

2.4.2 Estimation du terme pour k = 1.

Pour estimer e terme onutilisera seulement l'hypothese

jfj jgj 3 (jgj) 2M p (B) (4.2)

qui est une onsequen e de l'hypothese (2.4) (puisque m et n sont superieurs ou egaux a 2, r+1 est bien superieur ouegal a3).

On note w= \ \f.

Pour montrer que Aw2L p (B) on prend 2L q (B), ou 1 p + 1 q =1, etonevalue I = Z B Aw(z) (z)d(z) D'apres [5℄p 333

ou J = Z B w^T et L= Z B 1 p  w^^T 0 et T ()= Z B ( )O(1) (z)d(z) v(;z) n v(z;) T 0 = Z B ( ) 1=2 O(j zj) (z)d(z) v(;z) n v(z;)

ou lesfon tions O sont de lase C 1

.

On her he alors a appliquerle lemmesuivant :

Lemme 2.4.9 Soit q 2℄1;+1℄ et  = 1 q

. Soit P =T ou T 0

. Il existe alors une onstante positive

C telle que 8  2W  (B); 8 2L q (B); Z B jP jjjCkk W  k k L q (B) Demonstration:

Constatonsd'abordqueT etT 0

sontdes operateurs de typePoisson, ommeilssontdenis dans[5℄ p 330. Pour T ilsuÆt de hoisir  =1, k =0et j =1 etpour T

0

, =1=2, k =0et j =1, sa hant que O(j zj)est afortioriun O(1).

D'autre part, d'apres la proposition 1 p 30 dans [2℄, si  2 W 

(B) alors il existe une mesure de

Carleson  0 et unefon tion h2L p ( 0 ) tellesque  =h 0 , ou 1 p

=1  . On peut de plus hoisir h

et  0 tels quek 0 k V 1 =1 etkhk L p (0) kk W 

.On utilise alors l'inegalitede Holder pour obtenir

Z B jP jjj Z B jP j q j 0 j  1=q Z B jhj p j 0 j  1=p

D'apres laproposition7.1 de [5℄ onaalors Z B jP jjjkhk L p (0) k 0 k 1=q V 1 k k L q (B) kk W  k k L q (B)

e qui terminela preuve du lemme.

Or, a priori, w n'appartient pas a W 

(B), mais ( )w oui. On utilise alors le lemme suivant pour faire appara^tre ( )w dans l'integrale.

Lemme 2.4.10 Pour toute fon tion F 2C 1 (B) on a : a) Z B F(z)d(z)=(n+1) Z B ( )(z)F(z)d(z)+ Z B ( )(z)LF(z)d(z) b) Z B 1 p (z) F(z)d(z)=(2n+1) Z B p (z)F(z)d(z)+2 Z B p (z) LF(z)d(z) o u on note Lh = n X z j h z j

Demonstration:

a) En appliquantle formule de Stokeson a,pour i6=j :

0= Z B ( )()F() i ! i = Z B   i (( )()F() i )d i ^! i ou ! i =d 1 ^:::^d i 1 ^d i+1 ^:::^d n ^d 1 ^:::^d n . On en deduit que 0= Z B ( )()  i F() i d()+ Z B ( )()F()d()+ Z B ( )() F  i () i d()

En additionnant lesegalitespour i=1a n on obtient Z B jj 2 F()d()=n Z B ( )()F()d()+ Z B ( )()LF()d() Or jj 2 =1+()d'ou Z B F()d()=(n+1) Z B ( )()F()d()+ Z B ( )()LF()d() b) Soit  > 0. On note   = +. Alors p   2 C 1

(B). Comme pre edemment on peut appliquer laformule de Stokes etobtenir, si i6=j,

p  Z B F() i ! i = Z B q   ()F() i ! i = Z B   i  q   ()F() i  d i ^! i

En additionnantlesegalites obtenues pour i =1 an, etsa hant que  q   ()  i =  i 2 q   () , on obtient n p  Z B F() i ! i =n Z B q   ()F()d()+ Z B q   ()LF()d() Z B jj 2 F() 2 q   () d() et puisque jj 2

=1+() onobtient, en faisant tendre  vers 0, Z B F() 2 p () d()=(n+ 1 2 ) Z B p ()F()d()+ Z B p ()LF()d()

Remarque 2.4.11 On etend la denition de L aux formes dierentielles de la fa on suivante : si

! s'e ritdans la base anonique ! = X I;J ! I;J dz I ^dz J alors L!= X I;J L! I;J dz I ^dz J . On denit de m^eme  k ! = X I;J ! I;J z k dz I ^dz J de sorte que L! = n X k=1 z k  k

!. On verie immediatement que

si ! 1

et ! 2

sont deux formes dierentielles alors L(! 1 ^! 2 )=(L! 1 )^! 2 +! 1 ^(L! 2 ).

On obtient alors, d'apres e lemme,

J =(n+1) Z B ( )w^T + Z B ( )L(w^T )=(n+1)J 1 +J 2 +J 3

J 1 = Z B ( )w^T J 2 = Z B ( )(Lw)^T J 3 = Z B ( )w^L(T ) On aaussi L=(2n+1) Z B p  w^^T 0 +2 Z B p  L(w^^T 0 )=(2n+1)L 1 +2L 2 +2L 3 ou L 1 = Z B p  w^^T 0 L 2 = Z B p  L(w^)^T 0 L 3 = Z B p  w^^L(T 0 ) Pour estimer J 1 , J 2 , L 1 et L 2

, d'apres le lemme 2.4.9, il suÆt d'appliquer le lemme suivant, qu'on demontrera auparagraphe 2.4.3. Lemme 2.4.12 ( )w, ( )Lw, p  (w^), p  L(w^) sont dans W  (B) de normes ma-jorees par C(K).

Il restera alors a demontrer les estimationssuivantes, e qui sera fait auparagraphe (2.4.4).

Lemme 2.4.13 Il existe une onstante C(K)>0 ne dependantque de K telle que

8 2L q (B); J 3 C(K)k k L q (B) et L 3 C(K)k k L q (B) 2.4.3 Estimations on ernant w.

Estimation de ( )w et p  (w^). On a,puisque jg  j>jgj, ( )jwj jfj jgj 3 X 1k<m+1 jg k j( ) jfj jgj 2 p (jgj) ( ) j gj 2 jgj 2 (jgj)+( ) !

D'apresl'hypothese (4.2),etsa hantque(jgj)est borne,

jfj jgj 2 p (jgj) 2M p (B) de normemajoree par C(K).

On utilise alors la proposition 2.4.7 et on en on lut que ( ) j gj 2 jgj 2 (jgj) +( ) 2 V 1 (B). Le

lemme 2.4.6 nous permet d'en deduire que( )w 2W 

(B) de normemajoree par C(K).

D'autre part ona p    w^    p  jfj jg  j 3 X 1km+1 jg k ^j jfj jgj 2 p (jgj) jg^ j 2 jgj 2 (jgj)+( ) !

En utilisanta nouveau laproposition 2.4.7, le lemme 2.4.6, l'hypothese (4.2), et sa hant que ( ) est dans V 1 (B), on en deduit que p  (w^)2W 

(B) de norme majoree par C(K).

Estimation de ( )Lw. Pardenitionde w ona  k w= k ( \ )\f+ \ \ k f Puisque Lw= n X i=1 z k  k

w, il suÆt de monter que ( )j k

wj2W 

(B) pour tout k.

Pour le premierterme ona  k ( \ )\f = k \ \f + \ k  \f Or  k = m+1 X i;j=1 g i g j  k g j jg  j 4 e i  = m+1 X i;j=1 g j g j g i g i g j jg  j 4 e i  k  = m+1 X g l g j g i g i g j jg  j 4 (2g j  k g l g l  k g j ) e i

On en deduit que   ( ) k ( \ )\f   ( ) jgj 2 jfj jg  j 4 ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj) jfj jgj 2 (jgj)

Onutilisealorsl'hypothese(4.2),laproposition2.4.7etlelemme2.4.6pourmontrerque( ) k

( \  )\f est dans W

(B) de norme majoree par C(K).

On majore ledeuxieme terme de lafa on suivante:

  ( ) \ \ k f   ( ) j fj j g  j 6 m+1 X k=1 jg k jjg  j 3  p  jfj jgj 3 p jgj

On appliquealors le lemme suivant, qu'on demontreraau paragraphe2.4.5.

Lemme 2.4.14 Soient p2[1;+1℄ et =1 1 p

. Soit  une fon tion positive dans B. Si

 2 jgj 2 (jgj)2V 1 (B) et f verie f jgj 2 (jgj) 2M p (B) (4.3)

de norme majoreepar K alors p  f jgj 3  et jf ^ j jgj 3  sont dans W 

(B) de normes majorees par

C(K)  2 jgj 2 (jgj) V 1 . D'apres la proposition 2.4.7 ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj) 2 V 1

(B). Puisque jgj < 1, l'hypothese (4.2)

en-tra^ne (4.3).

On peut don appliquer le lemme 2.4.14 ave  = p jgj et en deduire que   ( ) \ \ k f   est dans W 

(B) de normemajoree par C(K).

Estimation de p L(w^). On a  k (w^)= k ( \( ^)\f)=w k 1 +w k 2 +w k 3

w k 1 = k \( ^)\f w k 2 = \ k ( ^)\f w k 3 = \( ^)\ k f

Comme pre edemmentil suÆt d'estimer haque w k j . p    w k 1    p     k \( ^)\f    p  jfj jg  j 4 jgjjg^ j  jfj jgj 2 (jgj) ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj)+ jg^ j 2 jgj 2 (jgj) !

En utilisant l'hypothese (4.2), la proposition 2.4.7 et le lemme 2.4.6, on deduit que p    w k 1   est dans W 

(B) de norme majoree par C(K). De la m^eme fa on onmajore

p    w k 2   : p    w k 2    p  jfj jg  j (    k  ^   +    ^ k    )  p  jfj jg  j ( jgjjg^j jg  j 3 + jgj jg  j 2 )  jfj jgj 2 (jgj) ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj)+ jg^j 2 jgj 2 (jgj)+(jgj) !

On en deduit de m^eme que p    w k 2   2W 

(B) de normemajoree par C(K).

p    w k 3    p  jfjjg^ j jgj 3 D'apres la proposition 2.4.7 jg^j 2 jgj 2 (jgj)2V 1

(B), e qui nous permet, gr^a e au lemme 2.4.14,

applique ave  = jg^ j, de deduire que p    w k 3   2 W 

(B) de norme majoree par C(K), et don l'estimation voulue pour

p

 L(w^). Ce i a hevela demonstrationdu lemme2.4.12.

Il reste en ore a demontrer le lemme2.4.14 etle lemme 2.4.13.

2.4.4 Estimation des deux derniers termes.

8 2L q (B); J 3 = Z B ( )w^L(T )C(K)k k L q (B) et L 3 = Z B p  w^^L(T 0 )C(K)k k L q (B)

Pour ela, on va utiliser le lemme suivant, demontre plus loin dans e paragraphe, qu'on pourra appliquer pour estimer J

3 etL

3 . Dans la suite onnote C =fb=( )jbj

2 2 V 1 et( )jbj2L 1 (B)g et kbk 2 C = ( )jbj 2 V 1 +Sup ( )jbj Lemme 2.4.15 Soit P =T ou T 0 . Si p2[1;+1℄ et q verie 1 p + 1 q =1, alors 8 2L q (B); 8G2M p (B); 8b2C;     Z B ( )Gb^L(P )     Ckbk C kGk M p k k L q (B)

o u C est une onstante positive.

Pour l'appliquera J 3 one rit w=Gb ou G= f jgj 3 p (jgj) et b = jgj 3 jg  j 6 p (jgj) m+1 X i;j;l =1 g i g j (g j g l g l g j ) e i \e l Alors ( )jbj 2 ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj)

et,d'apreslaproposition2.4.7,( )jbj 2

2V 1

(B) denormemajoreeparune onstantenedependant que de kgk

1

. Pour voirque b 2C ilsuÆt alors d'utiliser lelemme suivant,sa hant que

( )jbj ( )jgj

Lemme 2.4.16 Il existe une onstante positive C telle que, pour toute fon tion g 2H 1 (B) on ait ( )jgjCkgk 1 et p jg^ jCkgk 1

Ce lemmesera demontre au paragraphe2.7. De plus, d'apres l'hypothese (4.2), G2M

p

(B). On en deduit gr^a e au lemme 2.4.15que jJ

3

jC(K)k k q

Pour l'estimation de L 3 one ritde m^eme w^ p  =Gb ou G= f jgj 3 p (jgj) et b= 1 p ( ) jgj 3 jg  j 6 p (jgj) m+1 X i;j;l =1 g i g j (g j g l g l g j )^ e i \e l Alors G2M p

(B) d'apres l'hypothese (4.2) et

( )jbj 2  1 ( ) ( ) X k jg k ^ j 2 jgj 2 (jgj) jg^j 2 jgj 2 (jgj)

et, d'apres la proposition 2.4.7, on a don ( )jbj 2 2 V 1 (B). De plus ( )jbj  p jg^ j, d'ou,en utilisantle lemme 2.4.16, b 2C. Ce i nous permet d'appliquer anouveau le lemme 2.4.15 et d'obtenir l'estimation jL 3 jC(K)k k L q (B) On aainsi demontre lelemme 2.4.13.

Demonstration du lemme 2.4.15.

On pro ede i ipar interpolation.

On denit pour haque fon tion mesurable sur B l'appli ation lineaire

L (G)= Z

B

( )Gb^L(P )

On utilisealors lelemme suivantpour majorerL (G).

Lemme 2.4.17 Soient une fon tion mesurable sur B et b une fon tion de Carleson dans B. Soit P =T ou T

0

. On a alors les inegalites suivantes :

a) Z B ( )jLP jjbjd Ck k H 1 kbk C b) kLP k C Ck k 1 I i H 1

designe l'espa e atomique deni par exemple dans [13℄ dans le hapitre 2. Pour la demonstration du lemme voir [5℄proposition 7.1.

On a,d'apres lepointa),

jL (G)jkbk C kGk 1 k k H 1

D'autre part ona, d'apresl'inegalitede Cau hy-S hwarz,

jL (G)j Z B ( )jbj 2 jGj  1=2 Z B ( )jLP j 2 jGj  1=2

Alors, d'apresle point b) du lemme2.4.17, et en utilisantlelemme 2.4.6, onobtient

jL GjkGk 1

On en deduitque l'appli ation lineaire L deniepar L( )=L est bornee : H 1 !(M 1 (B)) 0 et L 1 (B) !(M 1 (B)) 0

de norme majoree par kbk C

. On en deduit par interpolation que, si 0 <  < 1 et t 2℄1;1[, L est bornee dans (H 1 ;L 1 (B)) ;t !((M 1 (B)) 0 ;(M 1 (B)) 0 ) ;t

de normemajoree par kbk C

. On utilise alors leslemmes suivants:

Lemme 2.4.18 a) L'espa e M

p

(B) est un espa e de Bana h, 8p2[1;+1℄. b) Soit p2[1;+1[ et soit q2℄1;+1℄tels que q>p, alors M

q

(B) est dense dans M p (B). ) Soient p 0 ; p 1 2[1;+1℄, 2℄0;1[ et p tels que 1 p = 1  p 0 +  p 1 . Alors (M p 0 (B);M p 1 (B)) ;p =M p (B)

Ce lemmesera demontre au paragraphe2.5.2.

Lemme 2.4.19 Soit(A 0

;A 1

)un oupled'espa es de Bana h telsque A 0

\A 1

est dense dansA 0 et A 1 . Soient q2[1;+1[ et  2℄0;1[. Alors (A 0 ;A 0 ) 0 ;q =(A 0 0 ;A 0 1 ) ;q 0 , o u 1 q + 1 q 0 =1.

Pour la demonstration de e lemmevoir[8℄ p53 theoreme 3.7.1. Puisque M 1 (B)\M 1 (B) =M 1

(B) onpeut, d'apresle lemme2.4.18,appliquer lelemme2.4.19 et obtenir ((M 1 (B)) 0 ;(M 1 (B)) 0 ) ;t =(M 1 (B);M 1 (B)) 0 ;s ou 1 t + 1 s

= 1et t <+1. Prenons s =p, t =q et  tel que 1 p = 1  1 +  1 , i.e.  = 1 p <1. Alors, d'apres le lemme2.4.18 ), ((M 1 (B)) 0 ;(M 1 (B)) 0 ) ;t =(M p (B)) 0

Enn on utilise lelemme suivant pour on lure. Celui- iest une onsequen e du theoreme 3.34 et de laremarque (1) p 75dans [13℄.

Lemme 2.4.20 Soit  2℄0;1[ et t>0 tels que 1 t =1 . Alors on a (H 1 ;L 1 (B)) ;t =L t (B)

On en deduit que L est borne de L q

(B) !(M p

(B)) 0

, de norme majoree par kbk C

2.4.5 Estimation de jfj.

On demontre i i lelemme 2.4.14,qui s'enon e ainsi :

Soient p2[1;+1℄ et =1 1 p

. Soit  une fon tion positive dans B. Si

 2 jgj 2 (jgj)2V 1 (B) et f verie f jgj 2 (jgj) 2M p (B)

de normemajoree par K alors p  f jgj 3  et jf ^j jgj 3  sont dansW 

(B) denormes majorees par

C(K)  2 jgj 2 (jgj) V 1 .

Pour ela onsupposeque verie  2 jgj 2 (jgj)2V 1

(B) etonpro ede parinterpolationentre p=1et

p=+1pourmontrerque p  jfj jgj 3  2W  (B) et jf ^j jgj 3  2W  (B)quand jfj jgj 2 (jgj) 2M p (B).

 Pour p=+1, =1.On vautiliser lelemme suivant qui ara terise les mesures de Carleson :

Lemme 2.4.21 Une mesure positive  dans B est dans V 1 (B) si et seulement si 9C 2R + = 8h2H 2 (B); Z B jhj 2  Ckhk 2 H 2

Ce lemmeest demontredans [17℄ (theoreme 4.3). D'apres e lemme ilsuÆt de prendre h2H

2 (B) etd'evaluer I 1 = Z B jhj 2 p  jfj jgj 3 d I 2 = Z B jhj 2 jf^ j jgj 3 d

D'apresl'inegalite de Cau hy-S hwarz ona

I 2 1  Z B jhj 2  2 jgj 2 (jgj)d Z B jhj 2 ( ) jfj 2 jgj 4 (jgj) d I 2 2  Z jhj 2  2 jgj 2 (jgj)d Z jhj 2 jf ^j 2 jgj 4 (jgj) d

L'hypothese sur 

2

jgj 2

(jgj) etle lemme 2.4.21 nous permettent de deduire que Z B jhj 2  2 jgj 2 (jgj)d  2 jgj 2 (jgj) V 1 khk 2 H 2 Pour estimer J 1 = Z B jhj 2 ( ) jfj 2 jgj 4 (jgj) d et J 2 = Z B jhj 2 jf ^j 2 jgj 4 (jgj) d on applique le lemme

suivant a lafon tion holomorphe hf.

Lemme 2.4.22 Si h est une fon tion holomorphe dans B de lasse C 1 (B) elle verie : Z B ( ) jh j 2 j gj 4 (jgj) d  C 1 Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) d +C 2 Z B Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhj 2 jgj 2 jgj 6 (jgj) d et Z B jh^j 2 jgj 4 (jgj) d  C 1 Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) d +C 2 Z B Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhj 2 jgj 2 j gj 6 (jgj) d +C 4 Z B jhj 2 jg ^j 2 jgj 6 (jgj) d

o u P est le noyau de Poissonde la boule et C 1 , C 2 , C 3 et C 4

sont des onstantes absolues.

Ce lemmesera demontre au paragraphe2.4.6. Pour ela on suppose d'abord que h2C

1 (B). On a (hf)=hf +fh don jhj 2 jfj 2 2j(hf)j 2 +2jfj 2 jh j 2 et jhj 2 jf ^ j 2 2j(hf)^ j 2 +2jfj 2 jh^ j 2 On en deduit que J 1  2 Z B ( ) j(hf)j 2 jgj 4 (jgj) d+2 Z B jh j 2 ( ) jfj 2 jgj 4 (jgj) d J 2  2 Z j(hf)^ j 2 jgj 4 (jgj) d+2 Z jh^ j 2 jfj 2 jgj 4 (jgj) d

Enutilisantl'hypothese(4.3) ave p=+1etlelemmesuivant onen deduitquelesdeux dernieres integrales sont majorees par C(K)khk

2 H 2 . Lemme 2.4.23 Si h 2 H 2 (B) alors ( )jh j 2 et jh^ j 2

sont des mesures bornees dans B de masse totale majoree par khk

2 H

2 .

Ce lemmeest demontredans [1℄ p294.

D'autre part lelemme 2.4.22nous permet d'avoir Z B ( ) j(hf) j 2 j gj 4 (jgj) d  C 1 A+C 2 B+C 3 C Z B j(hf)^j 2 jgj 4 (jgj) d  C 1 A+C 2 B+C 3 C+C 4 D ou A = Z B jhj 2 jfj 2 jgj 4 (jgj) ()d() B = Z B Z B jhj 2 jfj 2 jgj 4 (jgj) ()P(z;)d()d(z) C = Z B ( )() jhj 2 jfj 2 jgj 2 jgj 6 (jgj) ()d() D = Z B jhj 2 jfj 2 jg^ j 2 jgj 6 (jgj) d

En utilisant l'hypothese (4.3) ave p=+1 onen deduit immediatement

A C(K) Z B jhj 2 d B  C(K) Z B Z B jhj 2 ()P(z;)d()d(z) C  C(K) Z B ( )()jhj 2 () jgj 2 jgj 2 ()(jgj)d() D C(K) Z B jhj 2 () jg^j 2 jgj 2 ()(jgj)d()

et don , en utilisantlaproposition 2.4.7,

I 2 1 C(K)khk 2 H 2 et I 2 2 C(K)khk 2 H 2 (4.4) pourh2H 2 (B)\C 1 (B).Sih2H 2

(B),pourtoutr2℄0;1[,onapplique(4.4)alafon tionh r

denie par 8z 2B; h

r

(z) =h(rz). Le membre de droite est alors uniformement majore par C(K)khk 2 H 2 . Puisquedeplush r

tendvershpresquepartoutdansB quandrtend1,onobtient(4.4)pourh.Ainsi

onamontreque p  jfj jgj 3  2V 1 (B) et jf ^ j jgj 3  2V 1

 Pour p=1, =0.Il suÆt d'evaluer lesintegrales I 1 = Z B p  jfj jgj 3  I 2 = Z B jf ^j jgj 3 

On appliquel'inegalitede Cau hy-S hwarz et onobtient:

I 2 1  Z B jfj jgj 2 (jgj)  2 jgj 2 (jgj) Z B ( ) jfj 2 j fjjgj 2 I 2 2  Z B jfj jgj 2 (jgj)  2 jgj 2 (jgj) Z B jf ^ j 2 jfjjgj 2

L'hypothese (4.3),lefaitque  2 jgj 2 (jgj)2V 1

(B) etlelemme 2.4.6appliques ave p=1 permettent

de direquelapremiereintegraleest majoreepar C(K).Pourlesdeux dernieresintegralesonutilise le lemme suivant, applique af :

Lemme 2.4.24 Soit h2Hol(B)\C 1 (B). Alors Z B ( ) jh j 2 jhjjgj 2 d  C 1 Z B jhj jgj 2 d +C 2 Z B Z B jhj jgj 2 ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhjjgj 2 jgj 4 d et Z B jh^ j 2 jhjjgj 2 d C 1 Z B jhj jgj 2 d +C 2 Z B Z B jhj jgj 2 ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhjjgj 2 jgj 4 d +C 4 Z B jhj jg^j 2 jgj 4 d

o u P est le noyau de Poissonde la boule et C 1 , C 2 , C 3 et C 4

Puisque jfj jgj 2 2 M 1

(B) de norme majoree par C(K), les deux premieres integrales obtenues sont

majorees par C(K). On majorela troisieme de la fa on suivante:

Z B ( ) jfjjgj 2 jgj 4 d  Z B ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj) jfj jgj 2 (jgj) d

Puisque, d'apres la proposition 2.4.7, ( ) jgj 2 jgj 2 (jgj) 2 V 1

(B) et que d'apres l'hypothese (4.3)

jfj jgj 2 (jgj) 2M 1

(B) de normemajoreepar C(K),lelemme2.4.6nouspermetde on lureque ette

integrale estmajoree parC(K).Laquatrieme etderniereintegraleest majoreede lafa on suivante en utilisant laproposition 2.4.7ave k =1 etle lemme 2.4.6,et l'hypothese (4.3) ave p=1

Z B jfj jg^j 2 jgj 4 d = Z B jfj jgj 2 (jgj) jg ^ j 2 jgj 2 (jgj)d  jfj jgj 2 (jgj) M 1 jg^ j 2 jgj 2 (jgj) V 1  C(K)

e qui a heve lademonstrationpour p=1.

 Interpolation :

Considerons l'appli ation lineaire L deniepar

L(G)= p   jgj 3 (Gjgj 2 (jgj))

On a montre que L est bornee de M 1 (B) dans V 0 (B) et de M 1 (B) dans V 1 (B), de normes ma-jorees par C(K). On en deduit par interpolation que L est bornee de (M

1 (B);M 1 (B)) ;p dans (V 0 (B);V 1 (B)) ;p

,i.e., d'apres le theoreme 2.4.25 i-dessous etle lemme 2.4.18 ), de M p (B) dans W  (B), ou 1 p =1  .

Theoreme 2.4.25 Soit 2℄0;1[ , et p tel que 1 p =1 . Alors on a (V 0 (B);V 1 (B)) ;p =W  (B)

2.4.6 Demonstration des inegalites on ernant jfj.

Demonstration du lemme 2.4.22.

Il s'agitde demontrer que

Si h est une fon tion holomorphe dans B de lasse C 1 (B) elle verie : Z B ( ) jh j 2 j gj 4 (jgj) d  C 1 Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) d +C 2 Z B Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhj 2 jgj 2 jgj 6 (jgj) d et Z B jh^ j 2 jgj 4 (jgj) d  C 1 Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) d +C 2 Z B Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhj 2 jgj 2 jgj 6 (jgj) d +C 4 Z B jhj 2 jg^ j 2 jgj 6 (jgj) d

o u P est le noyau de Poissonde la boule et C 1 , C 2 , C 3 et C 4

sont des onstantes absolues.

Montrons d'abord la premiere inegalite.Il s'agit de majorerl'integrale Z B ( ) jh j 2 jgj 4 (jgj) d quand h 2Hol(B)\C 1

(B). Pour ela on prend >0 et onapplique laformule de Green a lafon tion

v = jhj 2 jg  j 4 (jg  j) 2C 1 (B) Puisque v 2C 1 (B), ona, pour z 2B, v(z)= Z B G(z;)
v()d()+ Z B P(z;)v()d()

ouGestlenoyaudeGreende B etP lenoyaude Poisson.Onintegrealors etteegaliteparrapport  a z 2B, etonobtient: Z vd= 1 8 Z 
vd+ Z Z P(z;)v()d()d(z) (4.5)

En eet, al ulons L() = B

G(z;)d(z); par symetrie de G on a L() = B

G(;z)d(z). Alors

par denition du noyau de Green, L est la fon tion qui verie
L = 1 dans B et L j B =0. Don L()= jj 2 1 8 = 1 8 (z). Cal ulons leLapla iende v.
v =4 n X i=1  i  i v

Dans la suite de ette demonstrationon note pour (jg  j).  i v = h i h jg  j 4  2 jhj 2 jg  j 6   i jg  j 2 jhj 2 jg  j 4  2  i   i  i v =  i h i h jg  j 4  2h i h i jg  j 2 jg  j 6  h i  i h jg  j 4  2 2h i h i jg  j 2 jg  j 6  2jhj 2  i  i jg  j 2 jg  j 6  + 6jhj 2    i jg  j 2   2 jg  j 8  + 2jhj 2  i  i jg  j 2 jg  j 6  2 h  i h i  jg  j 4  2 jhj 2  i  i  jg  j 4  2 + 2jhj 2  i jg  j 2  i  jg  j 6  2 + 2jhj 2 j i j 2 jg  j 4  3 Or  i  i jg  j 2 = m+1 X k=1  i  i jg k j 2 = m+1 X k=1  i g k  i g k = m+1 X k=1 j i g k j 2 d'ou n X i=1  i  i jg  j 2 =jgj 2 De m^eme n X i=1    i jg  j 2   =   jg  j 2   2

Nous utilisons alors le lemme suivant qui donne les derivees de  et qui sera demontre au para-graphe 2.8.

Lemme 2.4.26 Soit >0. On a, pour tout entier i ompris entre 1 et n,

 i  i =  i  i jg  j 2 jg  j 2  1 (jg  j)+    i jg  j 2   2 jg  j 4  2 (jg  j) et  i =  i jg  j 2  2  1 (jg  j)

o u  1

et  2

sont denis par

 1 (x)= Z 1 0 sx 2s d 0 (s) et  2 (x)= Z 1 0 s(s 1)x 2s d 0 (s) et verient 0 i (x)(x) (4.6) On en deduit que 1 4
v = jh j 2 jg  j 4  2R e h jg  j 6  ( n X i=1  i h i jg  j 2 )(2+  1  ) ! j hj 2 jgj 2 jg  j 6  (2+  1  )+ jhj 2   jg  j 2   2 jg  j 8  (6+ 2 1   2  + 2 1  + 2 2 1  2 )

Enutilisantlesinegalites (4.6),   jg  j 2   2 jg  j 2 jgj 2

etl'egalite(4.5),onobtient,pourtout t>0, Z B ( ) jh j 2 jg  j 4  d 1 4 Z B vd+ Z B Z B P(z;)v()d()d(z) +t Z B ( ) jhj 2 jg  j 4  d+ 36 t Z B ( ) jhj 2 jgj 2 jg  j 6  d +17 Z B ( ) j hj 2 jgj 2 jg  j 6  d On en deduit que Z B ( ) jh j 2 j g  j 4  d  2 1 t Z B jhj 2 jg  j 4  d+ (17+ 36 t ) 1 t Z B ( ) j hj 2 jgj 2 jg  j 6  d + 2 1 t Z B Z B jhj 2 jg  j 4  ()P(z;)d()d(z) (4.7)

Il suÆtalors de hoisir t 2℄0;1[et de faire tendre  vers 0pour obtenirle resultat.

Montrons a present la deuxieme inegalite: Z B jh^ j 2 jgj 4 (jgj) d  C 1 Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) d +C 2 Z B Z B jhj 2 jgj 4 (jgj) ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhj 2 jgj 2 jgj 6 (jgj) d +C 4 Z jhj 2 jg^ j 2 jgj 6 (jgj) d

Pour ela on prend >0 etapplique deux foisla formule de Stokesde lafa on suivante: 0= Z B  h^h^^() n 2 jg  j 4 (jg  j) = Z B h^^h^^() n 2 jg  j 4 (jg  j) + Z B ( ) h^h^() n 1 jg  j 4 (jg  j) + Z B ( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^h^^() n 2 et 0= Z B h( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^^() n 2 = Z B h( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^() n 1 + Z B ( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^h^^() n 2 + Z B h ^( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^^() n 2 Si onnote A = Z B jh^j 2 jg  j 4 (jg  j) d B = Z B ( ) jh j 2 jg  j 4 (jg  j) d D = Z B h^( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^^() n 2 E = Z B h( 1 jg  j 4 (jg  j) )^h^() n 1 on obtient alors A+B =D E (4.8)

Nous her hons a majorer A. L'integrale B est majoree gr^a e a la premiere inegalite du lemme (inegalite(4.7)).

Gr^a e au lemme2.4.26 onpeut al uler

  1 jg  j 4 (jg  j)  = jg  j 2 jg  j 6 (jg  j) (2+  1  )

Pour majorer D et E onapplique alors l'inegalite de Cau hy-S hwarz tout en utilisant le fait que   :

jDj 3 Z B jhj 2 jg^j 2 jg  j 6 (jg  j) d ! 1=2 Z B jh^j 2 jg  j 4 (jg  j) d ! 1=2  1 t Z B jhj 2 jg ^j 2 jg  j 6 (jg  j) d+tA jEj  Z B ( ) jhj 2 jgj 2 jg  j 6 (jg  j) d ! 1=2 Z B ( ) jh j 2 jg  j 4 (jg  j) d ! 1=2  1 t Z B ( ) jhj 2 jgj 2 j g  j 6 (jg  j) d+tB

Ces deux inegalites, l'inegalite (4.7) ainsi que (4.8) nous permettent d'en deduire,en hoisissant t suÆsammentpetit eten faisant tendre vers 0, ladeuxieme partie du lemme.

Demonstration du lemme 2.4.24.

Il s'agit de demontrer e i :

Soit h2Hol(B)\C 1 (B). Alors Z B ( ) jh j 2 jhjjgj 2 d C 1 Z B jhj jgj 2 d +C 2 Z B Z B jhj jgj 2 ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhjjgj 2 jgj 4 d et Z B jh^ j 2 jhjjgj 2 d C 1 Z B jhj jgj 2 d +C 2 Z B Z B jhj jgj 2 ()P(z;)d()d(z) +C 3 Z B ( ) jhjjgj 2 jgj 4 d +C 4 Z B jhj jg^ j 2 jgj 4 d

On demontre d'abord la premiere inegalite. Pour ela on prend  > 0 et on applique omme pre edemment laformule de Green a lafon tion

v = (jhj 2 + 2 ) 1 2 jg  j 2

qui est bien dans C 1

(B). Dans lasuite on note jh  j 2 =jhj 2 + 2 . Cal ulons le Lapla iende v :
v= 1 2 jh  j 1 jh j 2 jg  j 2 1 jhj 2 2jh  j 2 ! R e jh  j 1 h jg  j 4 n X i=1  i h i jg  j 2 ! jh  jjgj 2 jg  j 4 +2 jh  j   jg  j 2   2 jg  j 6

On applique alors l'egalite (4.5), en utilisant le fait que 1

jhj 2 2jh  j 2  1 2

ainsi que le fait que   jg  j 2   2 jg  j 2 jgj 2

, eton obtient, pour tout t >0,

C Z B ( ) jh  j 1 jhj 2 jg  j 2 d  Z B vd+ Z B Z B P(z;)v()d()d(z) +t Z B ( ) jh  j 1 jh j 2 jg  j 2 d + 1 t Z B ( ) j h  j 1 jhj 2 jgj 2 jg  j 4 d + Z B ( ) jh  jjgj 2 jg  j 4 d (4.9)

ou C est une onstante positive. Il suÆt alors de hoisir t suÆsamment petit (t < C) et de faire tendre  vers 0 pour obtenir l'inegalitevoulue.

Pour ladeuxieme inegalitedu lemme onprend >0et onappliquedeux foisla formule de Stokes de lafa on suivante:

0= Z B  h^h^^() n 2 jh  jjg  j 2 = Z B h^^h^^() n 2 jh  jjg  j 2 + Z B ( ) h^h^() n 1 jh  jjg  j 2 + Z B ( 1 jh  jjg  j 2 )^h^h^^() n 2

0= Z B h( 1 jh  jjg  j 2 )^h^^() n 2 = Z B h( 1 jh  jjg  j 2 )^h^() n 1 + Z B ( 1 jh  jjg  j 2 )^h^h^^() n 2 + Z B h^( 1 jh  jjg  j 2 )^h^^() n 2 Or ona   1 jh  jjg  j 2  = jg  j 2 jh  jjg  j 4 1 2 hh jh  j 3 jg  j 2 On en deduit que Z B (1+ jhj 2 2jh  j 2 )( ) h^h^() n 1 jh  jjg  j 2 + Z B (1+ jhj 2 2jh  j 2 ) h^^h^^() n 2 jh  jjg  j 2 = Z B ( )h jg  j 2 jh  jjg  j 4 ^h^() n 1 + Z B h^ jg  j 2 jh  jjg  j 4 ^h^^() n 2 Puisque 11+ jhj 2 2jh  j 2 2,si onnote A = Z B jh^ j 2 jh  jjg  j 2 d B = Z B ( ) jh j 2 jh  jjg  j 2 d D= Z B ( )h jg  j 2 jh  jjg  j 4 ^h^() n 1 E = Z B h^ jg  j 2 jh  jjg  j 4 ^h^^() n 2 on aalors A 2(B+jDj+jEj)

On her he a majorerA. L'inegalite (4.9) permet de majorer B. Pour estimerD et E on utilise le fait que jhjjh



j et l'inegalitede Cau hy-S hwarz pour obtenir

jDj  p B Z B jhj( ) j gj 2 j g  j 4 d ! 1=2 tB+ 1 t Z B jhj( ) jgj 2 jg  j 4 d et jEj  p A Z B jhj jg^ j 2 jg  j 4 d ! 1=2 tA+ 1 t Z B jhj jg ^ j 2 jg  j 4 d

2.5 Les espa es M p

(B).

2.5.1 Des ription des domaines admissibles.

Le domaineadmissiblede sommet 2B est deni par

 =fb 2B=   1 :b   <2(1 jbj 2 )g

On auraitpu hoisir, ommedans [19℄, de denirles domaines admissibles par

 = fb 2B=   1 :b   <s(1 jbj 2 )g ou s > 1 2

. Cependant, omme les fon tions qu'on onsidere ne sont pas regulieres dans B, on a besoin que tout point de la boule se trouve dans un domaine admissible. En parti ulier, il faut que 0 soit dans un de es domaines, e qui entra^ne que 1 < s. Cette ondition est suÆsante pour assurer que les domaines admissibles re ouvrent entierement le boule ( e qui entra^ne par exemple qu'une fon tion de M

p

(B) est bornee presque partoutsur tout ompa t de B). Pour des raisonsde simpli iteon hoisit s =2.

Ave ette denition 

est tangent a B dans les dire tions tangentes omplexes et non tangent dans la dire tion onjuguee de lanormale. Pour le montrer, il suÆt de s'interesser au as ou  est le point 1=(1;0;:::;0), ar siR est une rotation,R (

 )= R() . On a par denition 1 =fb 2B= j1 b 1 j<2(1 jbj 2 )g

0

1

Fig. 2.1 {Le domaineadmissibledans le plan engendre par (1,0,...,0) et (0,1,0,...,0)

La ourbe denie dans la base anonique de C n par 8t 2℄ 1 2 ; 1 2 [; (t)=(1 t 2 ;0;:::;0; t 2 ;0;:::;0) verie (0)=1 et 0 (0)=(1;0;:::;0; 1 ;0;:::;0)

don asaderiveedans l'espa e omplexetangentaB en 1.Deplus estin lusedans 1 .Eneet, pour tout t2℄ 1 2 ; 1 2 [, j1 1: (t)j=   1 (1 t 2 )   =t 2 1 j (t)j 2 =1 (1 t 2 ) 2 t 2 4 =t 2 ( 7 4 t 2 ) d'ou,puisque t 2 < 3 4 , j1 1: (t)j<2(1 j (t)j 2 ). Enn j (t)j 2 =1+t 2 (t 2 7 4 ) et, puisque t 2 < 7 4

, (t)est dans B. On aainsi montre que 1

est tangent aB dans lesdire tions tangentes omplexes.

1

0

Fig. 2.2 {Le domaineadmissibledans le plan engendre par (1,0,...,0) et (i,0,...,0)

Pour montrer que 1

est non tangent dans la dire tion onjuguee de la normale, prenons une ourbereguliere telle que

(0)=1 et 0

(0) =(i;0;:::;0) (5.1)

Montrons que ne peut pas ^etre in luse dans 1

auvoisinagede 0.L'hypothese (5.1)nous permet de developper au voisinagede 0 :

(t)=(1+it+tx(t)+ity(t);t(t))

ou x et y sont des fon tions reelles et  est une fon tion a valeurs dans C n 1

, qui tendent vers 0 quand t tend vers 0.On peut alors al uler :

j1 1: (t)j=jtjji(1+y) xj 1 j (t)j 2 = t(t(1+x 2 +y 2 +2y+jj 2 )+2x) On en deduit que j1 1: (t)j 2 = sg(t) ji(1+y) xj 2 2 2

et puisque les fon tions x,y et  tendent vers 0 quand t tend vers 0, on en deduit que

j1 1: (t)j 1 j (t)j

2

n'est pas borne au voisinage de 0, etdon que (t) n'appartientpas a 1

au voisinage de 0, e qui montre bien que

1

est non tangente dans la dire tion onjuguee de lanormale.

2.5.2 Proprietes des espa es M p

(B).

On va demontrer le lemme2.4.18 qu'on rappelle i-dessous :

a) L'espa e M p

(B) est un espa e de Bana h, 8p2[1;+1℄. b) Soit p2[1;+1[ et soit q2℄1;+1℄tels que q >p, alors M

q

(B) est dense dans M p (B). ) Soient p 0 ; p 1 2[1;+1℄,  2℄0;1[ et p tels que 1 p = 1  p 0 +  p 1 . Alors (M p0 (B);M p1 (B)) ;p =M p (B)

Demonstration du point a) : On demontre que pour tout p 2 [1;+1℄, l'espa e M p

(B) est un espa e de Bana h.

Pour elamontronsqueM p

(B) estun sousespa efermedeL p

(B;L 1

( )),ou designeledomaine admissible de sommet1. Considerons l'appli ation

I :M p (B) !L p (B;L 1 ( )) denie par I(f)(; )=f(r  ( )) ou r 

est la rotationtelle que r 

(1) =. On verie aisement que I est lineaire, isometrique, et on identie M

p

(B) ave son image par I. Soit (f n

)une suite de M p

(B) qui onverge vers une fon tion f de L p (B;L 1 ( )). Montrons que f 2 M p (B) . Soient (; 0 ) 2 B 2 et ( ; 0 ) 2 2 tels que r  ( )=r  0 ( 0 ). Alors,8n2N ona jf(; ) f( 0 ; 0 )jjf(; ) f n (; )j+jf( 0 ; 0 ) f n ( 0 ; 0 )j Or Sup 2 jf(; ) f n

(; )j tend vers 0 dans L p

(B), don il existe une sous-suite qui tend vers 0

presque partoutdansB. On en deduit qu'unesous-suite dejf(; ) f n

(; )jtend vers 0presque partout dans B  . Ainsi f(; ) =f(

0 ;

0

) pour presque tous ; 0 ; ; 0 tels que r  ( )=r  0 ( 0 ) don f est egale presquepartoutaune fon tiondeM

p

(B), e quia hevelademonstrationdupoint a).

Demonstration du point b) : On montre quesi p2[1;+1[et q 2℄1;+1℄verient q >p alors

Soit f 2M p (B) et, pour n 2N, f n =  f si jfj<n 0 si jfjn Alors 8z 2 B; jf n (z) j < n, don f n 2 L 1

(B) et, par onsequent, f n

2 M q

(B). Montrons que f n tend vers f dans M

p (B). On a jf n fj(z)=  0 si jf(z)j<n jf(z) j si jf(z) jn On en deduit que M(f n f)()=  0 si M(f)()<n M(f)() si M(f)()n Ainsi S n =kf n fk p M p = Z B jM(f n f)j p d = Z f=Mf()ng jMf()j p d() Et, puisque f 2M p (B), S n

tend vers 0 quand n tend vers l'inni.

Demonstration du point ) : On montre que si p 0 ;p 1 ;p2[1;+1℄et  2℄0;1[verient l'egalite 1 p = 1  p 0 +  p 1

alors l'espa e interpole(M p 0 (B);M p 1 (B)) ;p est egal aM p (B).

Montrons d'abord que (M p0 (B);M p1 (B)) ;p M p (B).

Puisque la fon tion I denie en a) est lineaire, ontinue, en onsiderant su essivement p = p 0 et p = p

1

on en deduit (par interpolation) que I est aussi ontinue de (M p 0 (B);M p 1 (B)) ;p dans (L p 0 (B;L 1 ( ));L p 1 (B;L 1 ( ))) ;p

.Or e dernierespa eestegalaL p (B;L 1 ( ))(voir[8℄p108). Soit f 2 (M p0 (B);M p1 (B)) ;p , alors I(f) 2 L p (B;L 1 ( )). De plus f 2 M p0

(B), e qui entra^ne que si r  ( )=r  0 ( 0 ) alors I(f)(r  ( ))=I(f)(r  0 ( 0 )).On en deduit quef 2M p (B).

 Pour ladeuxieme in lusionexaminons d'abord le as ou p 1 =+1. On aalors 1 p = 1  p 0 . Soit f 2M p (B). On note Mf 

le rearrangement de roissantde Mf deni de la fa on suivante : Pour tout t2R

+

onnote

m(t;Mf)=f 2B=jMf()j>tg

ou  est toujours lamesure de Lebesgue sur B. Alors siu2R + , Mf  (u)=infft 2R + =m(t;Mf) ug Soient t2R + et z 2B; on denit f 0 (t)(z) = f(z) (Mf  )(t p 0 ) f(z) jf(z)j si jf(z)j>(Mf  )(t p0 )