Alg`ebre 2 – correction du TD3 2010-2011
Autour du th´ eor` eme de L¨ uroth
Voir le cours pour la preuve du th´eor`eme de L¨uroth.
Exercice no 1 Soit K un corps. D´eterminer le corps
L={F ∈K(X)|F(X) =F(1/X)}.
Correction. D’apr`es le th´eor`eme de L¨uroth, on peut trouver une fraction ra- tionnelle T telle que l’on ait L = K(T). On a T(X) = T(1/X). Consid´erons T(X) = X+ 1/X. Clairement, T est dans L, d’o`u les inclusions
K(T)⊂L⊂K(X).
On a X2−T X + 1 = 0, ce qui prouve que l’extension K(T)⊂ K(X) est de degr´e 2. Comme L est strictement inclus dans K(X), la formule de multiplicativit´e des degr´es implique L=K(T) =K(X+ 1/X).
Exercice no 2 (Quelques sous-corps de k(X1, . . . , Xn))
1. Soitk un corps. Sin est un entier strictement positif, et faisons agir le groupe sym´etrique Sn sur le corps des fractions rationnelles `a n ind´etermin´eesK = k(X1, . . . , Xn) par permutation des Xi. Montrer que le corps des invariants L=KSn est isomorphe `a K.
2. Soit G un sous-groupe cyclique de GLn(C). On fait agir G sur le corps K = C(X1, . . . , Xn) de la mani`ere naturelle. Montrer que le corps des invariants L=KG est isomorphe `a K. On pourra se ramener au cas o`uG est constitu´e de matrices diagonales, et utiliser sans d´emonstration le r´esultat suivant : tout sous-groupe deZn est isomorphe `a Zr pour un certain r≤n.
En g´en´eral, comme mentionn´e dans le cours, il est faux qu’un sous-corps deC(X1, . . . , Xn) est toujours un corps de fractions rationnelles. Le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent est lui aussi faux dans le cas d’un corps diff´erent de C. On peut trouver un contre- exemple sur Q avec un groupe cyclique d’ordre 8 (Lenstra).
Correction.
1. SoientP1, . . . , Pnles polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires en lesXi. Le th´eor`eme des fonctions sym´etriques affirme exactement que l’on aKSn =k(P1, . . . , Pn) et que les Pi sont alg´ebriquement ind´ependants sur k. Cela implique que le morphisme K →KSn, Xi 7→Pi est un isomorphisme.
2. Un ´el´ement d’ordre fini deGLn(C) est toujours diagonalisable. Quitte `a faire un changement de variables lin´eaire, on peut donc se ramener au cas o`u un g´en´erateurg deG agit sur lesXi par multiplication par une racine de l’unit´e ωi(g).
On v´erifie facilement queKGest engendr´e par les fractions rationnellesX1r1. . . Xnrn avec ni ∈ Z qui sont dans KG. Soit M le sous-groupe de Zn constitu´e
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des (r1, . . . , rn) tels que X1r1. . . Xnrn est dans KG. On v´erifie alors sans dif- ficult´e qu’une base de M comme groupe ab´elien libre induit une famille alg´ebriquement libre de g´en´erateurs de G, ce qui prouve le r´esultat.
Les autres exercices du TD seront trait´es et corrig´es dans le TD 4.
