D 664 La saga des carrés inscrits (troisième épisode) Solution proposée par Pierre Renfer
Question 4
Dans la question 3, on a vu que pour les parallélogrammes non rectangles, le nombre N de carrés inscrits est égal à 6.
On va montrer que parmi tous les quadrilatères, 6 est le maximum pour N si N est fini.
On suppose que les droites (1), (2), (3), (4) tournent dans le sens direct.
Pour un carré inscrit M1M2M3M4, un notera I son centre et r la rotation de centre I, d’angle 2
.
Pour la suite des itérés de M1 par r, six cas sont possibles :
) M , M , M , M ( suite a l : 6 Cas
) M , M , M , M ( suite a l : 5 Cas
) M , M , M , M ( suite la : 4 Cas
) M , M , M , M ( suite la : 3 Cas
) M , M , M , M ( suite la : 2 Cas
) M , M , M , M ( suite la : 1 Cas
2 3 4 1
3 2 4 1
2 4 3 1
4 2 3 1
3 4 2 1
4 3 2 1
S'il existe 7 carrés inscrits, deux d'entre eux M1M2M3M4 et M1'M2'M3'M4' relèvent du même cas.
Les points M'1,M'2,M'3,M'4 sont les images des points M1,M2,M3,M4 par une similitude directe f.
Dans un repère orthonormé, l'expression analytique de f à l'aide des affixes complexes est de la forme :f(z)azb, où a et b sont des constantes complexes
On choisit deux réels et quelconques, de somme 1.
Soit P i le barycentre de (Mi,)et(M 'i,), pour 1i4 Le point Pi appartient au côté (i) du quadrilatère ABCD.
Les points P1,P2,P3,P4 sont les images des points M1,M2,M3,M4par la similitude directe g dont la définition analytique est : g(z)zf(z)(a)zb
Donc P1P2P3P4 est un carré inscrit dans le quadrilatère, relevant du même cas que M1M2M3M4 Il existe donc une infinité de carrés inscrits dans le quadrilatère.
