D299 - Les carrés inscrits [****]
Un carré est dit inscrit dans un quadrilatère si chaque côté du quadrilatère contient exactement un sommet du carré. Démontrer que si un quadrilatère convexe possède au moins deux carrés inscrits alors ses
diagonales sont perpendiculaires.
Solution proposée par Michel Lafond.
On utilise les notations de la figure 1 ci-dessous.
Le repère orthonormé est (A, AB, AB’) B’ n’étant pas visible.
Commençons par étudier quelques cas particuliers.
1) AD et BC sont perpendiculaires à AB. (Figure 2)
Dans ce cas, si (PQRS) est l’un des carrés inscrits, en posant AQ = m et AP = n le quadrilatère est un carré de côté m + n = 1. Les diagonales PR et QS du quadrilatère sont bien perpendiculaires.
2) AD est perpendiculaire à AB, mais BC n’est pas perpendiculaire à AB. (Figure 3) (Permuter le rôle de AD et de BC reviendrait à effectuer une symétrie).
A (0, 0) B (1, 0)
D C
P ( )
Q (m, 0)
R (X, Y) S (α, β)
Figure 1 S’
A (0, 0) B (1, 0)
D C
P
Q (m, 0)
R S (α, β)
Figure 2
m n
m
n m
n
Puisque BC n’est pas verticale elle a une équation de la forme Si on appelle l’ordonnée de P, en écrivant on tire aisément
De plus, R étant sur BC, on a
On en déduit d’où
Les triangles (QAP) et (PHS) sont égaux donc l’abscisse de S est Il est impossible d’avoir v = 1 sinon on aurait α = 1. Mais alors, pour les deux carrés inscrits de l’hypothèse : (PQRS) et (P’Q’R’S’) on aurait α = 1. La droite SS’ serait donc verticale.
Mais SS’ = CD [Voir Figure 1]. C serait sur AD ce qui est impossible.
L’ordonnée de S est Donc
Ainsi, les sommets S et S’ des deux carrés inscrits sont sur la droite d’équation (SS’) = (CD) donc les coordonnées de C et D vérifient l’équation
D a pour abscisse donc pour ordonnée
[On a vu que
Les coordonnées de C, intersection de CD et CB, vérifient le système On tire
[ Les vecteurs
et sont clairement orthogonaux, donc AC et BD sont perpendiculaires.
3) Ni AD ni BC ne sont perpendiculaires à AB. Dans ce cas :
AD a une équation de la forme y = u x et BC a une équation de la forme Distinguons deux sous cas :
3a)
Cela signifie que AC et BD sont perpendiculaires. [Figure 4 ci-dessous déformée]
A (0, 0) B (1, 0)
C D
P (0 , )
Q (m, 0)
R (X , Y)
Figure 3 S (α, β)
H
En écrivant on tire
De plus, P étant sur AD, on a
On a d’où (1)
Comme n a aussi (2) De (1) et (2) on déduit
Mais cela signifie qu’il n’y a qu’une valeur possible pour le paramètre m, donc un seul carré inscrit, ce qui est contraire à l’hypothèse.
3b) [Dernier cas avec la Figure 5]
A (0, 0) B (1, 0)
C D
P ( )
Q (m, 0)
R (X , Y)
Figure 4 S (α, β)
A (0, 0) B (1, 0)
D C
P ( )
Q (m, 0)
R (X, Y) S (α, β)
Figure 5
AD a une équation de la forme y = u x et BC a une équation de la forme Donc (3)
Comme dans le cas 3a, on a (4)
On en déduit d’où
Puisque 1 + uv n’est pas nul, on tire
D’où
De on tire les coordonnée de S (α, β) :
(5) et (6) et quelques calculs avec une simplification par 1 + uv non nul, montrent que
Ainsi, lorsque le paramètre m varie, les coordonnées de S vérifient l’équation
Cette équation est celle de CD, ce qui permet le calcul de leurs coordonnées.
On trouve
On vérifie facilement que
Ce qui prouve bien que les diagonales AC et BD sont perpendiculaires.
D
A B
C
