D288. Incursion en Ovalie
Dans un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle (Γ), on trace les points M et N milieux respectifs des côtés BC et AD. Les diagonales AC et BD se rencontrent en un point P.Ce dernier se projette en E sur la droite AB et en F sur la droite CD. Les droites BF et CE se rencontrent en un point Q.
Démontrer que les droites(1) MN et PQ sont parallèles entre elles tout en étant perpendiculaires à la droite EF.
(¹) telles des poteaux de rugby .
Soit un repère normé mais pas orthonormé, dont l'origine est l'intersection des droites AB et CD, l'axe des abscisses suivant AB, l'axe des ordonnées suivant CD. Si v est le cosinus de (AB,DC), le produit scalaire de (x,y) et (x',y') s'exprime par xx'+yy'+(xy'+x'y)v.
Coordonnées de A,B,C,D : (a,0), (b,0), (0,c), (0,d) avec ab= cd car ABCD sont cocycliques.
Les droites AC et BD, d'équations x/a+y/c = 1 et x/b+y/d = 1 se coupent en P.
P ( (ab(d−c))
(ad−bc) , (cd(a−b))
(ad−bc) ). Soient (e,0) et (0,f) les coordonnées de E et F.
Le produit scalaire du vecteur (1,0) et du vecteur EP ( (ab(d−c))
(ad−bc) – e , (cd(a−b))
(ad−bc) ) est nul.
Donc e = (ab(d−c)+vcd(a−b))
(ad−bc) , e = (ab)
(ad−bc) (d-c+v(a-b)), car cd = ab.
L'interversion a↔d , b↔c , e↔f, donne sans calcul f = ab
(ad−bc) (a-b+v(d-c)) Le vecteur EF (-e,f) a même direction que [c-d+v(b-a), a-b+v(d-c)].
M(b/2, c/2), N(a/2, d/2) . Le vecteur MN a même direction que [a-b, d-c].
Le produit scalaire de ces deux vecteurs est :
(a-b)[c-d+v(b-a)] + (d-c)[a-b+v(d-c)] + v{(d-c)[c-d+v(b-a)] + (a-b)[a-b+v(d-c)]}.
On constate qu' il est nul :
MN et EF sont perpendiculaires.
Suite page 2
Tout point Q de la parallèle Δ à MN menée par P a des coordonnées de la forme : (ab)
(ad−bc) *[d-c + k(a-b), a-b+k(d-c)].
--- Si ce point est sur la droite BF, on a : [d-c + k(a-b)]/b + [a-b+k(d-c)]/f = (ad−bc)
(ab) [d-c + k(a-b)]/b + [a−b+k(d−c)]
(a−b+v(d−c))
(ad−bc)
(ab) = (ad−bc) (ab) (ab)
(ad−bc) [d-c + k(a-b)]/b+ [a−b+k(d−c)]
(a−b+v(d−c)) = 1 a
(ad−bc) [d-c + k(a-b)]+ [a−b+k(d−c)]
(a−b+v(d−c)) = 1 (*) S'il est sur la droite EC, on a :
(d-c + k(a-b))/e + (a-b+k(d-c))/c = (ad−bc) (ab) (d−c+k(a−b))
(d−c+v(a−b))
(ad−bc)
(ab) + (a-b+k(d-c))/c = (ad−bc) (ab) (d−c+k(a−b))
(d−c+v(a−b)) + d
(ad−bc) (a-b+k(d-c)) = 1 (**)
Je dois prouver que les points Δ∩BF et Δ∩EC sont confondus c'est à dire que les équations (*) et (**), où l'inconnue est k, ont la même solution. Résultat des calculs :
(*) : k = ((d−c)(a−b)(bv−d))
(da2−a(b(c+d)+dv(c−d))+cb2+bdv(c−d)+d(c−d)2)
(**) : k = ((d−c)(a−b)(cv−a))
(a3−(2b+v(c−d))a2+(b2+bv(c−d)−d(c−d))a+bc(c−d)) Sachant que ab = cd, il reste à comparer
(bv−d)
(da2−a(b(c+d)+dv(c−d))+cb2+bdv(c−d)+d(c−d)2) et (cv−a)
(a3−(2b+v(c−d))a2+(b2+bv(c−d)−d(c−d))a+bc(c−d))
En remplaçant d par ab/c et simplifiant, les deux dernières expressions deviennent égales à ((cv−a)c2)
((b2+bcv+c2)a3−(vb2+vc2+3bc)ca2+abvc3+bc4)
La parallèle Δ à MN menée par P coupe BF et EC au même point Q.
La droite PQ est parallèle à la droite MN.
