Topologie : rappels (et plus).

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Notes de cours de l'ISIMA, troisième année, http://www.isima.fr/^∼leborgne

Rappels (et plus) de Topologie

Gilles Leborgne 9 octobre 2020

Table des matières

1 Ouverts et espaces topologiques séparés 2

1.1 Dénitions . . . 2

1.2 Construction d'une topologie . . . 3

1.3 Topologie usuelle deR . . . 4

1.4 Topologie usuelle deRⁿ . . . 4

1.5 Voisinages et base de voisinages . . . 5

1.6 Deux topologies essentielles de`² . . . 6

1.6.1 Dénitions . . . 6

1.6.2 Topologie forte de`² . . . 7

1.6.3 Topologie faible de`² . . . 7

1.7 Comparaison de topologies . . . 7

1.8 Convergence et limite . . . 8

1.9 Topologie induite . . . 8

1.10 Topologie produit . . . 9

1.10.1 Produit ni . . . 9

1.10.2 Produit inni . . . 9

1.11 Topologie quotient . . . 10

2 Espaces topologiques et fermés 11 3 Point adhérent, point isolé, point d'accumulation, valeur d'adhérence, densité 12 4 Compacité de BorelLebesgue 13 4.1 Recouvrement . . . 14

4.2 Dénition de BorelLebesgue . . . 14

4.3 Les compacts sont toujours fermés . . . 15

4.4 Famille de fermés et compacité . . . 15

4.5 Les compacts deRusuel sont les fermés bornés . . . 16

4.6 Le caractère compact dépend du choix de la topologie, exemple de`² . . . 17

4.6.1 B(0,¯ 1)n'est pas compacte pour la topologie forte de`² . . . 17

4.6.2 B(0,¯ 1)est compacte pour la topologie faible de`² . . . 17

4.7 Ensemble relativement compact . . . 18

5 Espace métrique 18 5.1 Dénitions . . . 18

5.2 Topologie d'un espace métrique . . . 19

5.3 Topologie usuelle non métrique : celle de la convergence simple . . . 20

5.4 Comparaison de distances . . . 21

5.5 Limite, valeur d'adhérence, suites de Cauchy . . . 23

6 Compacité de BolzanoWeierstrass 24 6.1 Compacité au sens de BolzanoWeierstrass . . . 24

6.2 Équivalence dénitions de BolzanoWeierstrass et de BorelLebesgue . . . 24

6.2.1 La compacité de BorelLebesgue implique celle de BolzanoWeierstrass . . . 24

6.2.2 Recouvrement et boulesB(x, ε)dans un espace métrique . . . 24

6.2.3 Caractérisation d'un compact par les boulesB(x, ε) . . . 25

6.2.4 La compacité de BolzanoWeierstrass implique celle de BorelLebesgue . . . 25

6.3 Un compact est fermé et borné . . . 26

6.4 Dans(R, d(·,·))un fermé borné n'est pas nécessairement compact . . . 26

7 Espace métrique complet 26 7.1 Densité . . . 26

7.2 Espace métrique séparable et compacité . . . 26

7.3 Espace complet . . . 27

7.4 Rle complété deQ . . . 28

7.5 Théorème de Baire . . . 28

(2)

2 1. Ouverts et espaces topologiques séparés

8 Convergence simple et uniforme de fonctions 29

8.1 Convergence simple de fonctions . . . 29

8.2 Convergence uniforme de fonctions . . . 29

9 Espace normé 30 9.1 Dénition et distance associée . . . 30

9.2 Équivalences de normes . . . 31

9.3 Les normes sont équivalentes en dimension nie . . . 32

9.4 Non équivalences des normes en dimension innie . . . 32

9.5 Espace métrique localement compact, espace normé . . . 32

10 Espace muni d'un produit scalaire 33 11 Continuité 34 11.1 Dénition et caractérisations . . . 34

11.2 Premières propriétés . . . 35

11.3 Applications aux espaces métriques et normés . . . 36

11.4 Limite d'un produit de fonctions continues . . . 37

11.5 Uniforme continuité . . . 38

11.6 Fonction Lipschitzienne . . . 38

11.7 Homéomorphie . . . 39

12 Exemples d'applications linéaires non continues 39 13 Familles de semi-distances et espaces de Fréchet 40 13.1 Famille de semi-distances et espace métrisable . . . 40

13.2 Convergence . . . 41

13.3 Continuité . . . 41

13.4 Famille dénombrable de semi-normes, espace de Fréchet . . . 42

13.5 Continuité des applications linéaires . . . 42

13.6 Famille de semi-normes, espace localement convexe séparé . . . 42

1 Ouverts et espaces topologiques séparés

1.1 Dénitions

SoitE un ensemble quelconque. NotonsP(E)l'ensemble des sous-ensembles deE. SoitO ⊂ P(E)(un ensemble de sous-ensembles deE).

Dénition 1.1 (Topologie) O est une topologie surE ssi :

O1 : Toute union (nie ou innie) d'éléments deOest dansO (stabilité par union), i.e. pour tout ensemble I (quelconque), pour toute famille(Ui)_i∈I oùUi∈ O pour touti∈I, on a(S

i∈IUi)∈ O,

O2 : Toute intersection nie d'éléments de O est dansO (stabilité par intersection nie), i.e. pour toutJ ensemble ni, i.e. tel queCardJ <∞(de cardinal ni), pour toute famille(Ui)_i∈J oùUi ∈ O pour touti∈J, on a (T

i∈JUi)∈ O, O3 :E∈ O et∅ ∈ O.

Dénition 1.2 Si O est une topologie surE, les éléments de O sont appelés ouverts de E, et (E,O)espace topologique.

(Donc un ouvert est un sous-ensemble deE qui appartient à une topologieOsurE.)

Remarque 1.3 On peut remplacerO2par :∀A, B∈ Oon aA∩B∈ O, i.e. toute intersection de deux éléments deOest dans O(récurrence).

Exemple 1.4 Topologie grossière :O={∅, E}.

Topologie discrète : O =P(E). En particulier si E 6= ∅, les singletons {x} sont des ouverts comme tout sous-ensemble deE.

Et tout ensembleE peut être muni des topologies grossière et discrète.

SoitA ⊂E, A 6=∅, A 6=E. Alors O= {∅, A, E} est une topologie. (Une union quelconque B =S

IU_i a pour résultatB =∅ ouA ouE : en eet l'union ne peut contenir que des Ui=∅, AouE. Si B=∅ ouAou E c'est bon. SinonB contient un x /∈A, doncx dans l'un des Ui qui n'est pas A, donc cet Ui =E, doncB contientE, doncB=E.)

Dénition 1.5 (Topologie séparée) Un espace topologique(E,O)est séparé ssi de plus :

O4 :x, y∈E etx6=y impliquent qu'il existe deux ouvertsUxetUy tels quex∈Ux,y∈Uy etUx∩Uy=∅.

(3)

Remarque 1.6 La topologie grossière n'est pas séparée.

Les espaces topologiques qu'on utilise usuellement sont séparés. En particulier, on verra que tout espace métrique (i.e. muni d'une distance) est séparé (c'est donc en particulier vrai pour un espace normé).

Noter que la topologie de la convergence simple des fonctions n'est pas une topologie métrique. Mais cette topologie est tout de même séparée. Voir plus loin paragraphe 5.3.

De fait, quand on vérie queO est une topologie, on regarde également si elle est séparée, i.e. on vérie généralementO1,O2, O3 etO4.

Remarque 1.7 Ne pas confondre espace séparé qui est la dénition ci-dessus, et espace séparable qui ne s'applique qu'à des espaces métriquesE et qui signie queE contient une suite dénombrable dense, voir plus loin dénition 7.2.

Dénition 1.8 SoitE un espace topologique, soitA⊂E. On appelle intérieur deA, et on noteA˚ouA˚ouz{˚ A, la réunion de tous les ouverts contenus dansA, i.e.A˚= [

U∈O, U⊂A

U.

Proposition 1.9 SoitA⊂E. AlorsA˚⊂A,A˚est un ouvert, et c'est le plus grand ouvert contenu dansA. Et Aest ouvert ssiA= ˚A.

Preuve. Par dénition deA˚on a toujoursA˚⊂A. Puis, avec la dénitionO1,A˚est un ouvert. Et siV est un ouvert inclus dansAalorsV ⊂ [

U∈O, U⊂A

U, et doncA˚⊃V, et doncA˚est le plus grand ouvert contenu dansA. Si A⊂ O(Aest un ouvert), alorsA⊂ [

U∈O, U⊂A

U = ˚A, et comme on a toujoursA˚⊂A, on aA= ˚A.

Exercice 1.10 Montrer queA⊂B impliqueA˚⊂B˚et que˚A˚= ˚A.

Exercice 1.11 Montrer que (A∩B)˚= ˚A∩B˚, mais qu'en général (A∪B)˚6= ˚A∪B˚ (prendre A = [0,1] et B= [1,2]).

PourA⊂E on note :

{^EA=E−A^déf= {y∈E t.q.y /∈A}, (1.1) le complémentaire deA dansE.

Dénition 1.12 L'extérieur deAest(E−A)˚(intérieurz ˚ {

E−AdeE−A). (Quand on aura vu les fermés, c'est aussiE−A¯).

La frontière deAest E−( ˚A∪(E−A)˚). (Quand on aura vu les fermés, c'est aussiA¯−A˚).

1.2 Construction d'une topologie

SoitE un ensemble et(U_i)_i∈I une famille quelconque de sous-ensembles deE.

On souhaite trouver la plus petite topologie pour laquelle tous les U_i sont ouverts. (N.B. : la topologie discrète est telle que tous lesU_i sont nécessairement ouverts, mais ce n'est pas toujours la plus petite).

Proposition 1.13 et dénition. SoitEun ensemble, et soit(U_i)_i∈Iune famille quelconque de sous-ensembles.

1- SoitB ⊂ P(E)l'ensemble qui contient toutes les intersections nies desUi, 2- soitO l'ensemble des réunions quelconques d'éléments deB,

3- on impose∅ etE dansO.

AlorsOest une topologie, et c'est la plus petite qui contient tous lesUi: toute topologie qui contient lesUi

contientO. Elle est appelée topologie engendrée par lesUi.

Preuve. Il est clair que si une topologie contient les Ui alors elle contient O, car O2, O1 et O3 doivent être vériés. Montrons donc queOest une topologie.

CommeO contient∅et E,O3 est vérié. Considérons donc que la famille(Ui)i∈I contient∅ etE. Par dénition deO, un élémentA⊂ Oest de la formeA= [

k∈K

(\

j∈J

V_kj)oùKest un ensemble quelconque et J un ensemble ni, et oùVkj∈(Ui)i∈I pour tout(k, j)∈K×J (i.e.Vkjest l'un desUi: pour tout(k, j)∈K×J il existei∈I tel queVkj=Ui).

(4)

Vérions O1 : une réunion quelconque d'éléments de O est de la forme A = [

`∈L

([

k∈K

(\

j∈J

V_kj^`)) =

[

(k,`)∈K×L

(\

j∈J

W_(k,`)j) où W_(k,`)j = V_kj^` ∈ (U_i)_i∈I. Comme K×L ensemble quelconque et J ni, on a bien A∈ O.

VérionsO2: soit, pourα= 1,2, les deux ensemblesAα= [

kα∈Kα

( \

jα∈Jα

V_k^α_α_j_α)dansO(les ensemblesK1, K2

étant quelconques et les ensemble J₁, J₂ étant nis). NotonsW_k_α= \

j_α∈Jα

V_k^α

αj_α

On aA1∩A2= ( [

k1∈K1

Wk₁)\ ( [

k2∈K2

Wk₂) = [

(k₁,k₁)∈K1×K2

(Wk₁∩Wk₂), voir exercice suivant 1.14. Comme Wk₁∩Wk₂ = \

(j₁,j₂)∈J1×J2

(V_k¹₁_j₁∩V_k²₂_j₂)et queJ1×J2est ni, on aA1∩A2∈ O. Par récurrence, l'intersection nie de toute famille nie d'ouverts deOest un ouvert de O.

DoncO vérieO1,O2 etO3 et est donc une topologie.

Exercice 1.14 Redémontrer le résultat sur les ensembles : si {Aα:α∈I}et {Bβ:β∈J}sont deux familles quelconques d'ensembles, alors l'intersection des unions est l'union des intersections :

([

α∈I

Aα)\ ([

β∈J

Bβ) = [

α∈I,β∈J

(Aα∩Bβ).

Réponse.x∈(S

α∈IAα)T (S

β∈JBβ)ssi x∈(S

α∈IAα)etx∈(S

β∈JBβ)ssi (∃α∈I:x∈Aα) et (∃β∈J:x∈Bβ) ssi

∃(α, β)∈I×J t.q.x∈(Aα∩Bβ).

1.3 Topologie usuelle de R

Dénition 1.15 C'est la topologie engendrée par les intervalles ouverts (i.e. la plus petite topologie contenant les intervalles ouverts). EtRmuni de cette topologie est appeléRusuel.

On construit la topologie usuelle O de R à l'aide de la proposition précédente, avec ici l'avantage qu'une intersection nie d'intervalles ouverts est un intervalle ouvert : ]a, b[∩]c, d[=]α, β[ où α = max(a, c) et β = min(b, d)quand α < β, et=∅sinon. Puis par récurrence pour l'intersection de nintervalles ouverts. L'étape1 de la proposition précédente n'est pas utile ici.

Et donc un ouvert sera une réunion qcq d'intervalles ouverts.

Il est immédiat queO₄ est vériée : cette topologie est séparée.

Noter qu'un singleton [a, a] = {a} n'est pas un ouvert. En eet, ce n'est pas une réunion d'intervalles ouverts car aucun intervalle ouvert n'est contenu dans[a, a] (à part∅, mais une réunion qcq d'ensembles vides est l'ensemble vide), et ce n'est pas une intersection nie d'intervalles ouverts car une telle intersection est un intervalle ouvert. La topologie usuelle deRn'est donc pas la topologie discrète.

Remarque 1.16 Dans la proposition 1.13 l'ordre de construction (i) puis (ii) est important, i.e. on considère les ouverts S

k∈K(T

j∈JVkj)(avecJ ni). Si on commence par faire (ii) puis (i), on considère alors les ouverts ALJ = T

j∈J(S

`∈LU`j), mais on n'a pas la stabilité par union qcq : il faut refaire (ii). En eet une union quelconque d'ALJ n'est pas de la forme intersection nie d'union qcq.

D'ailleurs, on verra au paragraphe suivant qu'une base de voisinages est l'ensembleB(constituée des intersections nies), qui est construit à l'étape (i) de la proposition précédente.

1.4 Topologie usuelle de R

ⁿ

SoitRⁿ muni de la norme euclidienne usuelle : notant (~e_i)_i=1,...n la base canonique usuelle, si ~x∈Rⁿ est donné par~x=Pn

i=1xi~ei :

||~x||_Rⁿ=

n

X

i=1

x²_i. (1.2)

Dénition 1.17 La topologie usuelle deRⁿ est la topologie engendrée par les boules ouvertesB(~x, ε) ={~y∈ Rⁿ:||~y−~x||_Rⁿ < ε}, pour tout~x∈Rⁿ et toutε >0.

Pourα < β, on note(α, β)un intervalle de type[α, β],]α, β],[α, β[ou]α, β[.

(5)

Dénition 1.18 Un pavé dans Rⁿ est un ensemble de type : il existe desai, bi ∈Ravec ai < bi t.q., notant

~

x0=Pn

i=1ai~ei∈Rⁿ : P =

n

Y

i=1

(a_i, b_i) ={~x∈Rⁿ:∀i= 1, ..., n, x_i∈(a_i, b_i)}

={~x∈Rⁿ:∀i= 1, ..., n, ∃λ_i∈(0, b_i−a_i), ~x=~x₀+

n

X

i=1

λ_i~e_i},

(1.3)

et~x₀ est un sommet du pavé.

Proposition 1.19 Tout ouvert de Rⁿ est une réunion disjointe (au plus) dénombrable de pavés.

Preuve. On suit Rudin [5]. On appelle boîte d'amplitudeδ >0 et de somment~x=Pn

i=1x_i~e_i le pavé carré (semi-ouvert) :

Q(~x, δ) ={~y=

n

X

i=1

y_i~e_i∈Rⁿ:∀i= 1, ..., n, y_i∈[x_i, x_i+δ[}. (1.4) Pour k∈N^∗, on note :

Pk ={~x=

n

X

i=1

xi~ei∈Rⁿ t.q.∃mki∈Z, xi=mki2^−k}, (1.5) l'ensemble des points deRⁿ dont les coordonnées sont des multiples de2^−k. On note :

Ωk ={Q(~x,2^−k) :~x∈Pk}, (1.6)

l'ensemble des boîtes d'amplitude 2^−k de sommet un des~x∈Pk. On a immediatement :

0- le volume d'unQ∈Ωk est µ`(Q) = (2^−k)ⁿ= 2^−nk.

1- Pour tout~y∈Rⁿ, pour toutk∈N^∗, il existe une unique boîteQk ⊂Ωk t.q.~y∈Ωk (etΩk constitue un pavage deRⁿ par des pavés de taille2^−nk).

2- SiQ∈Ω_k etQ⁰∈Ω_maveck < m alors soitQ⁰ ⊂Q, soit Q⁰∩Q=∅.

3- SiQ∈Ω_k et sik < m, alors l'ensembleP_ma exactement2^(m−k)n points dansQ.

Montrons : tout ouvert U non vide de Rⁿ est une réunion dénombrable de boîtes disjointes appartenant à S

k∈N^∗Ω_k, ce qui montrera la proposition.

CommeU est ouvert, pour tout ~y ∈U, il existe ε > 0 t.q.B(~y, ε)⊂ U. Et donc, avec 0- et 1-, il existe k∈N^∗ et Q_k⊂Ω_k t.q.~y∈Q_k avecQ_k⊂B(~y, ε). Et doncU est la réunion de toutes ces boîtesQ_k.

De cette réunion, on extrait toutes les boîtes deΩ1 (faire un dessin), puis on exclut les boîtes deΩ2,Ω3,...

, qui sont incluses dans les boîtes deΩ1 extraites. Des boîtes restantes, on extrait toutes les boîtes deΩ2, puis on exclut les boîtes de Ω3, Ω4,... , qui sont incluses dans les boîtes deΩ1 et Ω2 déjà extraites. Et on itère le procédé. On a ainsi recouvert U par des boîtes disjointes deS

k∈N^∗Ωk.

1.5 Voisinages et base de voisinages

On se donne un espace topologique(E,O).

Dénition 1.20 On appelle voisinage ouvert d'un pointx∈Etout sous-ensembleV ⊂Econtenant un ouvert contenantx.

Notation. Pourx∈E, on noteV(x)l'ensemble des voisinages ouverts dex. Donc :

[V voisinage ouvert dex]⇐⇒[V ∈ V(x)]⇐⇒ [ il existeU ∈ Otel quex∈U etU ⊂V].

Remarque 1.21 Quand on disposera des fermés (resp. des compacts), on appellera voisinage fermé (resp.

voisinage compact) dex: un fermé (resp. compact)F qui contient un ouvertU ∈ V(x).

N.B. : dans ce poly, quand on parlera de voisinage sans autre précision, ce sera de voisinages ouverts dont il s'agira.

Exemple 1.22 DansRusuel, [−1,1[∪]2,3]et ]−3; 2[appartiennent àV(0). Pas[0,∞[. Proposition 1.23

1- L'intersection de deux voisinages ouverts dexest un voisinage ouvert de x. 2- SiW ⊃V oùV est un voisinage ouvert de xalorsW est un voisinage ouvert de x.

(6)

Preuve. Immédiat.

Proposition 1.24 Un ouvert est voisinage ouvert de chacun des ses points, et réciproquement, si A ⊂E est un ensemble qui est voisinage ouvert de chacun de ses points alorsAest ouvert.

Preuve. Par dénition d'un voisinage ouvert, siU est ouvert et si x∈U alors, comme U ⊃U, on a : U est voisinage ouvert de x.

Réciproquement, supposons que pour toutx∈Aon a A∈ V(x). Donc pour chaquex∈Ail existe U_x⊂A avec U_x ouvert et x ∈ U_x. Et on a immédiatement A = S

x∈AU_x, d'où A est union d'ouverts, d'où A est ouvert.

Proposition 1.25 Si (E,O)est séparé, alors pour toutx∈Eon a \

V⊂V(x)

V ={x}. Preuve. Commex∈V pour toutV ⊂ V(x), on a bien{x} ⊂T

V⊂V(x)V.

Puis soit y ∈ E, y 6=x. Comme E est séparé, il existe V ∈ V(x) t.q. y /∈ V. Donc y n'appartient pas à l'intersection. Donc seul xappartient à l'intersection.

Dénition 1.26 Soitx∈E. Une partieB(x)est une base de voisinages ouverts enxssi : 1-B(x)⊂ V(x), et

2-∀V ∈ V(x), ∃B∈ B(x)t.q.B⊂V (tout voisinage dexcontient un élément de la base).

Dénition 1.27 Si une baseB(x)de voisinages ouverts enxest constituée d'ouverts, on dit queB(x)est une base d'ouverts.

Exemple 1.28 DansRusuel, pour x∈R, soitB(x) =S

n∈N^∗Bn oùBn ={]x−_n¹, x+_n¹[:n∈N}. Alors B(x) est une base de voisinages ouverts enx(ici base dénombrable de voisinages) qui est également une base d'ouverts enx.

En eet, soitV ∈ V(x): il existe donc]a, b[3xet ]a, b[⊂V. On prend alorsh= ¹₂min(x−a, b−x), puis n un entier tel quen≥ ¹_h : alorsBn=]x−_n¹, x+¹_n[⊂]a, b[⊂V.

Dénition 1.29 Un sous-ensembleB ⊂S

x∈EV(x)est une base de voisinages ouverts deEssi pour toutx∈E il existeB(x)une base de voisinages ouverts enxt.q.B(x)⊂ B.

Et siB⊂ O, on dit queB est une base d'ouverts deE.

Dénition 1.30 Un espace topologique(E,O)est à base dénombrable de voisinages ouverts ssi il existe une baseB de voisinages ouverts qui soit dénombrable.

Exemple 1.31 Olui-même constitue une base de voisinages.

DansR muni de sa topologie usuelle, l'ensemble {]x−_n¹, x+_n¹[: x∈ R, n∈ N} est une base de voisinages ouverts deR.

DansRmuni de sa topologie usuelle, l'ensemble{]q−¹_n, q+_n¹[:q∈Q, n∈N} est une base dénombrable de voisinages ouverts deR; et doncRest un espace topologique à base dénombrable de voisinages ouverts.

Proposition 1.32 On se place dans le cadre de la proposition 1.13 : soit(Ui)_i∈I une famille de sous-ensembles deE etO la topologie engendrée par lesUi.

Alors pour tout ouvertA∈ O, il existe une ensemble ni J ⊂I tel que l'ouvert T

j∈JUj soit entièrement dansA. Autrement dit, l'ensemble des intersections nies deUi constitue une base d'ouverts.

Preuve. Par dénition A contient une union (qcq) d'intersections nies (cf. proposition 1.13), donc contient un élément de l'union (puisqu'il les contient tous), i.e. contient une intersection nie. Et une intersection nie est un ouvert par dénition de la topologie engendrée.

1.6 Deux topologies essentielles de `

²

1.6.1 Dénitions Soit :

R^N

∗={(xn)_n∈N^∗:xn∈R, ∀n∈N^∗}, (1.7) l'ensemble de toutes les suites de réels. C'est la limite deRⁿ quand n→ ∞. (Ou encoreRⁿ est l'ensemble des suites nies de réels, alors queR^N

∗ est l'ensemble des suites innies de réels).

L'espace`² est le sous-ensemble des suites d'énergie nie :

`²={(xn)_N^∗∈R^N

∗:

∞

X

n=1

x²_n<∞}. (1.8)

C'est le prototype des espaces de Hilbert en dimension innie (voir plus loin).

(7)

1.6.2 Topologie forte de `²

C'est la topologie engendrée par les boules ouvertes B((xn), r) ={(yn)_N^∗∈`²:

∞

X

n=1

(yn−xn)²< r²}.

C'est la topologie pour laquelle les boulesB((x_n), r)constituent une base de voisinages. On notera||(x_n)||_`2= P∞

n=1x²_n¹₂

(norme), et doncB((xn), r) ={(yn)_N^∗∈`²:||(yn)−(xn)||_`2 < r}. 1.6.3 Topologie faible de `²

C'est la topologieOengendrée par les]a₁, b₁[×R×R...,R×]a₂, b₂[×R×R..., ... (voir également la dénition de la topologie produit). Cette topologie a pour base d'ouverts l'ensembleBconstituée des ouverts qui sont les intersections nies :

( Y

1≤j≤n

]aj, bj[)×(Y

i>n

R), ∀n∈N, où a_j, b_j ∈ R. I.e., pour la topologie faible, un ouvert est de type¯ (Q

j=1,...,n]a_j, b_j[)×(Q

i>nR) où n∈ N et aj, bj ∈R, et tout voisinage ouvert d'un point contient un ouvert de ce type. Et en particulier un ouvert pour¯ la topologie faible n'est jamais borné au sens de la topologie forte.

Remarque 1.33 On verra que cette topologie est celle qui rend continue toutes les applications projection sur laj-ème composante pj : (xn)∈`² →xj ∈R, puisque par dénition une application est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert, et que la topologie faible (= la topologie produit) est construite à partir des ouvertsp⁻¹_j (]a, b[) = (Q

i<jEi)×]a, b[×(Q

i>jEi)pour touta, b∈R.

C'est une des topologies les plus utiles pour obtenir certains théorèmes d'existence (voir les paragraphes sur la compacité).

1.7 Comparaison de topologies

Dénition 1.34 SoitE muni de deux topologiesO₁ etO₂. On dit queO₁ est plus ne (ou plus forte ou plus précise) queO₂ssi : O₁⊃ O₂, i.e. ssi : tout ouvert deO₂est un ouvert de O₁.

Dans ce cas on dit aussi queO₂ est plus grossière (ou moins ne ou moins précise) queO₁. Et siO2(O1, on dit queO1est strictement plus ne queO2.

Les topologiesO1et O2sont dites équivalentes si elle sont identiques, i.e. ssiO1est plus ne queO2 etO2

est plus ne queO1, i.e.O1=O2.

Donc, plus la topologie est ne, plus elle a d'ouverts, et plus elle est précise.

Exemple 1.35 Toute topologie sur un ensemble est plus ne que la topologie grossière.

Dans R, la topologie usuelle O1 (euclidienne) est strictement plus ne que la topologie grossière O2 (par exemple]0,1[n'est pas un ouvert de la topologie grossière).

La topologie discrète est plus ne que toute autre topologie dénie surE.

DansR, la topologie discrète est strictement plus ne que la topologie usuelle : un singleton{x} n'est pas ouvert pour la topologie usuelle.

Exemple 1.36 Exemple dansR²: la topologie euclidienne (usuelle) donnée par la norme||~x||2= (x²₁+x²₂)¹² (les boules sont rondes), et la topologie produit (ayantR²=R×R) donnée par la norme ||~x||∞= sup(|x1|,|x2|) (les boules sont carrées) sont identiques : un ouvert d'un point x pour une topologie est également ouvert pour l'autre. Faire un dessin : une boule rectangulaire B_∞(x, η_x) est l'union des boules rondes B₂(y, ε_y) où y∈B_∞(y, η_y)etε_yest la distance deyau carré, et une boule rondeB₂(x, ε_x)est l'union des boules rectangulaires B_∞(y, ηy)oùy∈B2(x, εx)etηy est la distance dey au cercle.

Ici les normes sont diérentes mais elles dénissent la même topologie (les mêmes ouverts).

Exemple 1.37 La topologie forte de `² contient la topologie faible de `² : les ouverts de la topologie faible appartiennent à la topologie forte (ce sont des ouverts pour la topologie forte).

Mais les boules ouvertesB(0, R), avecR >0, de la topologie forte ne sont jamais des ouverts de la topologie faible car elles sont bornées : la topologie forte contient strictement la topologie faible.

Dans`² la topologie forte est strictement plus ne que la topologie faible.

Proposition 1.38 O1 est plus ne (i.e. plus forte) que O2 ssi : pour tout a∈ E, tout voisinage ouvert dea pourO2 est un voisinage ouvert deapour O1.

Deux topologies surE qui admettent les mêmes voisinages ouverts sont identiques.

(8)

Preuve. SupposonsO1est plus ne queO2. Alors siVaest un voisinage ouvert deapourO2, il existeUa∈ O2

avecUa ⊂Va, et l'hypothèseO2⊂ O1donneUa∈ O1. D'oùVa est un voisinage ouvert deapour O1.

Réciproquement, si c'est vrai pour tout voisinage ouvert, c'est vrai pour tout ouvert : soitU2∈ O2 (ouvert pourO2) et soitx∈U2. En particulierU2est un voisinage dexpourO2, donc c'est un voisinage dexpourO2, doncU2 contient un ouvertU1x∈ O1 avecx∈U1x. D'oùU2=S

x∈U2U1x est donc un ouvert de O1. Donc si U2∈ O2 alorsU2∈ O1.

D'où siO1et O2 ont les mêmes voisinages alors elles ont les mêmes ouverts, i.e.O1=O2.

1.8 Convergence et limite

Dénition 1.39 Une suite(xn)_N^∗de points deEconverge vers un pointx∈E(et on notexn −→

n→∞xou encore

n→∞lim xn =x) ssi pour tout voisinageV dexil existe un entierN tel que pour tout entiern≥N on aitxn∈V : x_n −→

n→∞x ⇐⇒ ∀V ∈ V(x), ∃N ∈N, ∀n≥N, x_n∈V. (1.9) Etxest appelé limite de la suite(x_n).

Réécriture de (1.9) : pour tout voisinage V de x (aussi petit soit-il), il existe N ∈ N telle que la suite (xn)n≥N est toute entière dansV.

Proposition 1.40 Dans (1.9), on peut remplacer ∀V ∈ V(x) par ∀V dans une base d'ouverts.

Preuve. C'est immédiat.

Dénition 1.41 Une suite(x_n)_N^∗ de points deEest convergente dansEssi il existex∈Etelle que lim

n→∞x_n= x.

Remarque 1.42 La notion de limite versxn'a de sens que six∈E. En particulier il faut pouvoir considérer les V(x). Ainsi dans Q muni de la topologie usuelle (induite par R voir paragraphe suivant 1.9), une suite de rationnels (qn) qui converge vers √

2 n'est pas convergente dans Q (car √

2 ∈/ Q). Elle sera convergente uniquement dansRqui est le complété de Q.

Pour parler de complété, on aura besoin de travailler dans un espace métrique et d'introduire les suites de Cauchy, i.e. les suites telles que d(x_n, x_m)−→_n,m→∞0. Noter qu'un des intérêts primordiaux des suites de Cauchy sera également de savoir si une suite (x_n) est convergente sans avoir à connaître (ou à deviner) la limitex.

1.9 Topologie induite

Dénition 1.43 Soit(E,O)un espace topologique et soitAun sous-ensemble deE (i.e.A⊂E). On appelle topologie induite surAla topologieOA={U∩A:U ∈ O}(les ouverts sont ceux de Eintersection A).

Exemple 1.44 SoitE= [0,1]. La topologie induite parRdonne pour base de voisinages deE les intersections ]a, b[∩[0,1]pour touta, b∈R. Donc[0,1]est un ouvert deE (puisque c'est l'ensembleE tout entier), de même que[0,¹₂[=]−1,¹₂[∩[0,1].

Proposition 1.45 Soit(E,O)un espace topologique et soitA⊂E. Alors(A,OA)muni de la topologie induite est un espace topologique.

Preuve. On a : O₁-S

i∈I(U_i∩A) = (S

i∈IU_i)∩Aest bien dansOA. O₂-T

i∈J(U_i∩A) = (T

i∈JU_i)∩Apour J ni est bien dans O_A. O₃-∅=∅ ∩A∈ O_A et A=E∩A∈ O_A.

Proposition 1.46 SoitE espace topologique,A⊂E etA muni de la topologie induite.

SiAest ouvert dansE et siB est ouvert dansAalorsB est ouvert dansE.

Preuve. Si B ∈ O_A, on a B =U∩A oùU est ouvert de E. D'où siA est ouvert dans E,U ∩Aest ouvert dansE, d'oùB ouvert dans E.

Remarque 1.47 SiBest ouvert dansAet si on ne suppose pasAouvert dansE, on ne peut pas conclure que B est ouvert dansE : prendreE=Rmuni de sa topologie usuelle etA= [0,1[et B=A. On a bienB ouvert dans(A,OA), maisB n'est pas ouvert dansR. (IciAn'est pas ouvert dansR.)

(9)

1.10 Topologie produit

1.10.1 Produit ni

Proposition 1.48 (Et dénition pour un produit ni d'espaces topologiques).

Si(E1,O1)et (E2,O2)sont deux espaces topologiques, alorsO1× O2engendre une topologie (est une base d'ouverts) dansE1×E2. Et(E1×E2,O1× O2)est appelé espace topologique produit.

Et si les(Ej,Oj), pourj ∈J etCardJ <∞, sont des espaces topologiques, alorsQ

j∈JOi est une topologie dansQ

j∈JEj. Et(Q

j∈JEi,Q

j∈JOj)est appelé espace topologique produit.

Preuve. Les propriétésO1,O2et O3 sont immédiatement vériées.

Exemple 1.49 L'espace usuel R² =R×Rest muni de la topologie dont les ouverts sont générés à l'aide des pavés ]a, b[×]c, d[pour touta, b, c, d∈R.

Remarque 1.50 La proposition précédente permettra d'avoir le résultat fondamental : une fonction f~: x∈ E→(f₁(x), ..., f_n(x))∈Rⁿ est continue ssi ses composantesf_i:E→Rsont toutes continues.

1.10.2 Produit inni

On ne généralise pas la dénition 1.48 à un produit inni d'espaces topologiques, une telle généralisation ne donnant pas susamment de résultats intéressants. On utilise la dénition suivante qui permettra d'avoir un espace topologique avec peu d'ouverts (topologie faible), chaque ouvert étant grand, et donc un espace topologique avec beaucoup de compacts, et donc de nombreux résultats d'existence :

Dénition 1.51 (Topologie produit pour un nombre dénombrable d'espaces topologiques.) Soit(E_i,O_i)_i∈_Nune famille dénombrable d'espaces topologiques. Dans l'espace produitQ

i∈NE_ion considère les ensembles :

(Y

i<j

Ei)×Uj×(Y

i>j

Ei), ∀j∈N, ∀Uj∈ Oj.

La plus petite topologie engendrée par ces ensembles est appelée topologie produit, chaque ensemble précédent étant donc en particulier un ouvert.

Exercice 1.52 Voir paragraphe 1.6 : la topologie faible de`² est la topologie produit induite par la topologie surR^N

∗=Q

i∈N^∗R, chaqueRétant muni de la topologie usuelle.

Proposition 1.53 Si les(Ei,Oi)sont des espaces topologiques pour tout i∈N, alors les ensembles : (Y

j≤n

Uj)×(Y

i>n

Ei),

forment une base de voisinages ouverts quand n décrit Net quand lesUj sont des ouverts de Ej (donc éven- tuellement E_j tout entier).

Preuve. On applique la proposition 1.13 : les(Q

j≤nU_j)×(Q

i>nE_i)sont les intersections nies.

Dénition 1.54 (Topologie produit pour un nombre inni quelconque d'espaces topologiques.)

Si (Ei,Oi)_i∈I est une famille d'espaces topologiques oùI est un ensemble inni quelconque, dans l'espace Q

i∈IEion impose que tout ensembleQ

i∈IUi, oùUi=Eisauf pour un nombre ni dei∈Iet oùUi est ouvert dansEi pour touti, est ouvert. La topologie engendrée est appelée topologie produit.

(On dit également que Ui =Ei pour presque touti ∈ I pour dire que Ui =Ei pour touti sauf pour un nombre ni.)

Remarque 1.55 Ces dénitions donneront des résultats fondamentaux dans le cas d'applications continues entre espaces munis de familles de semi-normes.

Exercice 1.56 Montrer que si chaque Ei est séparé, alors E = Q

i∈IEi est séparé lorsqu'il est muni de la topologie produit.

(10)

1.11 Topologie quotient

Soit(E,O)un espace topologique et soitRune relation d'équivalence (réexive, symétrique, transitive).

Dénition 1.57 Une classe d'équivalence deE est un sous-ensembleX deE tel que six∈X alorsX ={y∈ E:yRx}.

On noteE/Rl'ensemble des classes d'équivalence, appelé ensemble quotient.

Soitπ:E→E/Rl'application, appelée surjection canonique, dénie par :

π(x) = ˙x, (1.10)

i.e. à chaquex∈E on associe l'ensemblex˙ qui est sa classe d'équivalence.

Dénition 1.58 Le sous-ensemble deP(E/R)déni par :

O˙ ={A ⊂E/Rt.q.π⁻¹(A)ouvert dans E} (1.11) est appelée la topologie quotient.

Proposition 1.59 (et dénition.) O˙ est une topologie surE/R. Ainsi (E/R,O)˙ est un espace topologique, appelé espace topologique quotient.

Preuve. On vérie immédiatementO1,O2et O3 :O˙ est une topologie surE/R. CommeA=S

A∈AA, la topologie quotient s'écrit également : O˙ ={A ⊂E/Rt.q. [

A∈A

π⁻¹(A)ouvert dansE}

(Voir plus loin exercice 1.62.)

Exemple 1.60 Soit dansRla relation d'équivalenceRdénie parxRy⇔y−x∈Z.

Les élémentsX deR/R^noté= R/Zsont les sous-ensembles deRde la formex+Z⊂X pourxqcq dans R.

Iciπ(x) =x+Z(souvent noté=X) quel que soitx∈R.

Noter que dans certains cas on pourra ainsi identierR/Zavec [0,1[: siX ∈R/Z alors il existex∈[0,1[

tel quex∈X : en eet, siy ∈X, ayant X =y+Z, alors il existe k∈Z tel quey−k∈[0,1[et y−k∈X. Et usuellement pour X ∈R/Z, on prend comme élément xle représentant lex∈[0,1[ vériantx˙ =X (lextel quex∈[0,1[∩X).

Attention cependant à ne pas faire systématiquement cette identication : voir exemple 1.61.

Exemple 1.61 DansR/Z, pourx∈Ron aπ(x) = ˙x=x+Z.

Pourx∈Ron aπ⁻¹( ˙x) =π⁻¹(x+Z) =x+Z(et on n'a pasπ⁻¹( ˙x) ={x}).

Et par exemple,]¹₂,1[+Z∈O˙ (est un ouvert deR/Z) puisqueπ⁻¹(]¹₂,1[+Z) =]¹₂,1[+Z=S

k∈Z]¹₂+k,1+k[

est ouvert dansR.

Et par exemple,π([0,¹₂[) = [0,¹₂[+Z=π([0,¹₂[+Z). Et[0,¹₂[+Zn'est pas ouvert dansR/Z.

Noter que si on noteπr la restriction deπà [0,1[, on aπr: [0,1[→R/Zbijectif, avecπ⁻¹_r (X) =xoùxest le représentant x∈[0,1[de la classeX.

Et par exemple,π_r⁻¹([0,¹₂[+Z) = [0,¹₂[ est ouvert dans [0,1[alors que π⁻¹([0,¹₂[+Z) = [0,¹₂[+Z, n'est pas ouvert dans R: c'est doncπet non π_r qu'il faut utiliser pour la topologie quotient deR/Z.

Exercice 1.62 Montrer que sif :E→F est une application d'un ensembleE vers un ensembleF, alors pour toute unionS

i∈IF_i de sous-ensembles deF on af⁻¹(S

i∈IF_i) =S

i∈If⁻¹(F_i). (On rappelle que pourB ⊂F on af⁻¹(B) ={a∈E:f(a)∈B}.)

Réponse. Soit x ∈ S

i∈If⁻¹(Fi). Donc il existe j ∈ I tel que x∈ f⁻¹(Fj). Soit alorsy ∈ Fj tel que y = f(x). Et y∈S

i∈IFidonnex∈f⁻¹(S

i∈IFi). D'oùS

i∈If⁻¹(Fi)⊂f⁻¹(S

i∈IFi). Soitx∈f⁻¹(S

i∈IFi). Soit alors y∈S

i∈IFi tel quef(x) =y. Comme y est dans l'union, il existej∈ I tel que y∈Fj. Doncx∈f⁻¹(Fj)⊂S

i∈If⁻¹(Fi). Doncf⁻¹(S

i∈IFi)⊂S

i∈If⁻¹(Fi).

Remarque 1.63 Si F est un autre espace topologique, alors une application f : E/R → F est continue ssi f◦π:E→F est continue. En eet (voir plus loin pour la dénition de la continuité) : siV est un ouvert deF, alorsf⁻¹(V)est ouvert équivaut àπ⁻¹(f⁻¹(V))ouvert, i.e. à(f◦π)⁻¹(V)ouvert. D'ailleurs la dénition de la topologie quotient est notamment faite pour que cette propriété de continuité soit satisfaite.

Remarque 1.64 Si E est séparé, E/R n'est pas séparé en général. Exemple R/Q dont la topologie est la topologie grossière : on aπ⁻¹( ˙x) =x+Qquandx∈R, etA ⊂R/Qest ouvert ssi [

{x}+Q∈A

{x}= ( [

{x}+Q∈A

{x})+

Qest ouvert. Cet ensemble s'il est non vide contient un point y, et étant ouvert contient ]y−ε, y+ε[pour un ε >0, donc contient]y−ε, y+ε[+Q=R.

(11)

11 2. Espaces topologiques et fermés

2 Espaces topologiques et fermés

Proposition 2.1 Soit(Vi)i∈I une famille de sous-ensembles deE (I un ensemble quelconque). On a : E−([

i∈I

Vi) =\

i∈I

(E−Vi), et E−(\

i∈I

Vi) =[

i∈I

(E−Vi). (2.1)

(Le complémentaire de l'union est l'intersection des complémentaires, et le complémentaire de l'intersection est l'union des complémentaires.)

Preuve. En eet : x∈E−([

i∈I

Vi)⇔x /∈[

i∈I

Vi ⇔ ∀i, x /∈Vi ⇔ ∀i, x∈E−Vi⇔x∈\

i∈I

(E−Vi). Et :

x∈E−(\

i∈I

Vi)⇔x /∈\

i∈I

Vi ⇔ ∃i, x /∈Vi⇔ ∃i, x∈E−Vi⇔x∈[

i∈I

(E−Vi), ou bien dans (2.1)1 on remplaceVi parE−Vi et on prend le complémentaire.

Dénition 2.2 Soit(E,O)un espace topologique. Un sous-ensembleFdeEest dit fermé si son complémentaire E−F est ouvert.

On noteraF l'ensemble des fermés deE, i.e.F ∈ F ssiE−F ∈ O. Exemple 2.3 SiE =Rusuel,[a, b]est fermé pour touta, b∈R.

SiE est muni de sa topologie discrète et six∈E alors{x} est à la fois ouvert et fermé. En eet, {x} est ouvert car {x} ⊂E, etE− {x}est ouvert carE− {x} ⊂E.

Proposition 2.4 Soit(E,O)un espace topologique.

F1 : Une intersection quelconque de fermés est un fermé, F2 : Une union nie de fermés est un fermé,

F3 :∅et E sont fermés.

Preuve. Par passage au complémentaire des caractérisationsO1,O2 etO3, en appliquant (2.1), on obtientF1, F2et F3.

Dénition 2.5 Soit A ⊂E. On appelle fermeture de A, et on note A¯, le plus petit fermé contenant A, i.e.

l'intersection de tous les fermés contenant A:

A¯ ^déf= \

F∈F, F⊃A

F. (2.2)

Dénition 2.6 On appelle voisinage fermé la fermeture d'un voisinage ouvert.

Dénition 2.7 Et on appelle frontière (ou bord) deAl'ensembleA¯−A˚parfois noté∂A. Proposition 2.8

0- Pour toutA⊂E, sa fermetureA¯est un fermé.

1- On a toujoursA⊂A¯.

2-Aest fermé ssi A= ¯A. Et on a toujoursA¯¯= ¯A. 3- SiA⊂B, alorsA¯⊂B¯.

Preuve.

0- c'est (2.2) avecF₁. 1-( \

F∈F, F⊃A

F)contientA (puisque chaqueF de l'intersection contientA). Donc avec (2.2) on a A¯⊃A. 2- SupposonsA= ¯A. AlorsAest intersection de fermés, cf. (2.2), doncA est fermé.

SupposonsAfermé. Alors A∈ F, et donc \

F∈F, A⊂F

F ⊂A i.e. A¯ ⊂A. Comme on a toujours A⊂A¯on a A= ¯A.

En particulier, commeA¯est fermé,A¯¯= ¯A. 3- SiB ⊃A alorsB¯ = \

F∈F, F⊃B

F ⊃ \

F∈F, F⊃A

F = ¯A.

(12)

12 3. Point adhérent, point isolé, point d'accumulation, valeur d'adhérence, densité

Proposition 2.9 SoitE espace topologique,F ⊂E etF muni de la topologie induite.

SiF est fermé dansE et siGest fermé dans F alorsGest fermé dansE.

Preuve. On a F−G ouvert dans F, i.e. ∃U ∈ O t.q. F−G=UTF. D'où E−G= (E−F)S(F−G) = (E−F)S(UTF) = ((E−F)SU)T((E−F)SF) = ((E−F)SU)SE = (E−F)SU d'où,F étant fermé, E−Gest l'union des deux ouverts E−F et U, d'oùE−Gest ouvert, d'oùGest fermé dansE.

Remarque 2.10 SiGest fermé dansF on n'a pasGfermé dansE en général : prendreE=Ret sa topologie usuelle,F = [0,1[=G. Mais ici F n'est pas fermé dansR.

Exercice 2.11 Montrer que E est séparé ssi, pour tout a ∈ E, l'intersection de tous les voisinages fermés contenantaest réduit à{a}.

Réponse. Supposons que l'intersection de tous les voisinages fermés contenanta est réduit à{a}. Soitb6=a. Comme T

V∈V(a)V¯ ={a}, il existeV ∈ V(a)tel queb /∈V¯, doncb∈E−V¯ ouvert. Donc a∈V etb∈E−V¯ appartiennent à des ouverts disjoints :Eest séparé.

Réciproquement, supposonsE séparé. Soitb6=a: il existe donc deux ouvertsUa3aetUb3btels queUa∩Ub=∅; doncF =E−Ubest un fermé qui contientUa mais ne contient pasb. Doncb /∈T

V∈V(a)V¯. Donc l'intersection de tous les voisinages fermés contenantaest réduit à{a}.

3 Point adhérent, point isolé, point d'accumulation, valeur d'adhé- rence, densité

On rappelle queV(x)est l'ensemble des voisinages ouverts dex. SoitA⊂E (sous-ensemble quelconque deE).

Dénition 3.1 Un pointx∈Eest adhérent àA(ou est une valeur d'adhérence deA) ssi tout voisinage ouvert dexcontient un point deA, i.e. ssi :∀V ∈ V(x), ∃y∈A∩V, i.e. ssi :

∀V ∈ V(x), A∩V 6=∅, (3.1)

i.e.∀V ∈ V(x), ∃y∈A t.q. y∈A∩V.

Et négation :x∈E est non adhérent àAssi∃V ∈ V(x)t.q.A∩V =∅. SoitVAl'ensemble des valeurs d'adhérence de A.

Proposition 3.2

0- six∈Aalorsx∈VA(i.e.xest adhérent àA), autrement ditA⊂VA. 1-VA = ¯A. En particulier les éléments de la frontière deAadhèrent à A.

2- Un ensembleAest fermé ssi il contient ses valeurs d'adhérences, i.e. ssiA= VA. Preuve. 0- Par dénition, unV ⊂ V(x)contient x, et pourx∈Aon a alorsA∩V 3x.

1- Montrons queVAest fermé, i.e. queE−VAest ouvert. Soitz∈E−VA, i.e.znon valeur d'adhérence : il existeV ∈ V(z),V ouvert, tel que A∩V =∅. Choisissons un telV. Pour touty∈V on ay /∈VA: sinon y est valeur d'adhérence deAet A∩V 6=∅. Donc z∈V ⊂E−VA, doncE−VAest ouvert. DoncVAest fermé. Et commeVAcontientAon a A¯⊂VA.

Montrons que A¯ ⊃ VA, i.e. montrons que E−A¯ ⊂ E−VA. Ayant A¯ fermé, E−A¯ est ouvert. Donc si x ∈ E−A¯, il existe V ⊂ V(x) ouvert tel que V ⊂ E−A¯, i.e. tel que V ∩A¯ = ∅, donc x n'est pas valeur d'adhérence. D'oùVA⊂A¯. D'où VA = ¯A.

2-Aest fermé ssi A= ¯A.

Dénition 3.3 Un pointx∈A est isolé ssi : x∈ Aet il existe un voisinage ouvert de xqui ne contient pas d'autres éléments de A, i.e. ssi :

∃V ⊂ V(x) : A∩V ={x}. (3.2)

Et négation :x∈An'est pas isolé ssi∀V ∈ V(x),A∩V ){x}.

Exemple 3.4 SiA= [1,2[∪{3}, le point 3 est isolé dansA, le point 1 n'est pas isolé.

Dénition 3.5 Un pointx∈Eest un point d'accumulation de Assi : tout voisinage ouvert dexcontient un autre point deA:

∀V ⊂ V(x), ∃y6=xt.q.y∈A∩V. (3.3) Autrement dit,∀V ⊂ V(x), ∃y∈A, y6=x t.q. y∈V.

(13)

13 4. Compacité de BorelLebesgue

Donc :

(x∈Aest un point d'accumulation)⇐⇒(x∈An'est pas isolé), (3.4) i.e. dansA, point isolé et point d'accumulation sont contraires l'un de l'autre.

(Mais six /∈A,xpeut être un point d'accumulation deA, et il n'est pas isolé dansAcar∈/A.)

Exemple 3.6 Si A = [1,2[∪{3}, le point 3 n'est pas un point d'accumulation de A, et tout point de [1,2]

(fermé) est point d'accumulation deA.

Exemple 3.7 0 est un point d'accumulation deA={_n¹ :n∈N^∗} et deB={0} ∪ {¹_n :n∈N^∗}. Dénition 3.8 Un espace topologiqueE est discret ssi tous ses points sont isolés.

Proposition 3.9

3- Un point d'accumulation deAest une valeur d'adhérence deA, et un point x∈E est un point d'accumulation deAssi il est adhérent àA− {x}.

4- Un point isolé est adhérent.

5- Six∈Aet xpoint d'accumulation, alors xn'est pas isolé.

6- Si tous les points deA sont isolés, alorsAn'a aucun point d'accumulation.

Preuve. 3- Si x∈E est point d'accumulation deA, comme (3.3) implique (3.1), c'est également une valeur d'adhérence deAet de A− {x}.

Réciproquement, sixest valeur d'adhérence deA− {x}, commex /∈A− {x}, (3.1) implique (3.3).

4- Sixest isolé alors, par dénition (3.2),x∈A, doncxest adhérent.

5- Et six∈Aest point d'accumulation, alors (3.3) implique qu'il n'est pas isolé (négation de (3.2) dans ce cas).

6- Formulation négative de 5-.

Dénition 3.10 Une valeur d'adhérencexd'une suite(x_n)_N est un point de l'ensemble \

N∈N

A¯_N où(A_N)est la suite décroissante des ensemblesA_N ={x_n:n≥N}.

I.e.xest valeur d'adhérence de la suite (xn)ssi :

∀V ∈ V(x), ∀N ∈N, ∃n≥N, xn∈V. (3.5)

(Tout voisinage dexcontient unxn d'indicenarbitrairement grand.)

Exemple 3.11 Soit dansRla suite (xn)_N^∗ dénie parxn =_n¹ sinest pair et parxn= 1−¹_n sinest impair.

Alors(xn)a pour valeurs d'adhérence les points0et 1.

Exemple 3.12 La suite(n)n∈N n'a aucune valeur d'adhérence.

Soit(E,O)un espace topologique.

Dénition 3.13 SoitA⊂E.Aest dense dansE ssiA¯=E.

Proposition 3.14 SoitA⊂E. AlorsAest dense dansEssi tout point deE est une valeur d'adhérence deA, i.e. ssiVA =E.

Preuve. C'est une réécriture de la proposition 3.2 1-.

4 Compacité de BorelLebesgue

La compacité est un outil essentiel pour prouver de nombreux théorèmes d'existence.

(14)

4.1 Recouvrement

Dénition 4.1 Soit E un ensemble. SoitI un ensemble quelconque (d'indices) et soitAi ⊂E pour i∈I des sous-ensembles deE. La réunion [

i∈I

A_i est un recouvrement deE ssiE=[

i∈I

A_i.

Dénition 4.2 Soit(E,O)un espace topologique. On appelle recouvrement ouvert deE un recouvrement par des ouverts, i.e. : une réunion S

i∈IUi telle queE =S

i∈IUi, oùI est un ensemble quelconque etUi∈ O pour tout i∈I.

N.B. : quand on parlera de recouvrement sans autre précision, ce sera de recouvrements ouverts dont il sera question dans de poly.

Exemple 4.3 S

x∈R{x}est un recouvrement deR, et S

n∈Z]n, n+2[est un recouvrement ouvert deRmuni de sa topologie usuelle.

Dénition 4.4 Soit(E,O)un espace topologique, soitF⊂E (un sous-ensemble deE). On appelle recouvrement ouvert de F : une réunion [

i∈I

Ui telle queF ⊂ [

i∈I

Ui, où I est un ensemble quelconque et Ui ⊂ O pour tout i∈I.

Remarque 4.5 Cette dénition est compatible avec la dénition précédente : en eet F est également un espace topologique muni de la topologie induite, et donc un recouvrement ouvert de l'espace topologiqueF est un recouvrement ouvert F =S

i∈IV_i où les V_i sont des ouverts deF, i.e. de la forme V_i =U_i∩F où U_i est ouvert dans E, i.eF=S

i∈I(Ui∩F) = (S

i∈IUi)∩F, i.e.F ⊂S

i∈IUi. Et réciproquement, siF ⊂S

i∈IUi, alorsF=S

i∈I(Ui∩F)etS

i∈I(Ui∩F)est un recouvrement ouvert de F espace topologique induit.

Exemple 4.6 S

n∈Z]n, n+2[ est un recouvrement ouvert de]0,1]lorsqueRest muni de sa topologie usuelle.

Et pour l'espace topologique]0,1]muni de la topologie induite usuelle deR,S

n∈N^∗]_n¹,1]est un recouvrement ouvert.

4.2 Dénition de BorelLebesgue

Soit(E,O)un espace topologique séparé.

Dénition 4.7 (BorelLebesgue). L'espace topologiqueEest compact ssi il est séparé et de tout recouvrement ouvert de Eon peut extraire un sous-recouvrement ni, i.e. ssiE est séparé et :

∀(Ui)_i∈I recouvrement ouvert deE : ∃J ⊂It.q.CardJ <∞et E=[

i∈J

U_i.

(N.B. : l'hypothèseEséparé exclut les topologies peu utilisables comme la topologie grossière. Voir également la proposition 4.15 : c'est sous l'hypothèse de séparation qu'on montre qu'un compact est fermé.)

Exemple 4.8 Dans tout espace topologique séparé, tout singleton{x}est compact. En eet, si{x} ⊂S

i∈IUi

où lesU_i sont ouverts, alors il existei₀∈I tel quex∈U_i₀ ouvert. Donc{x} ⊂U_i₀, sous-recouvrement ouvert ni avecJ ={i0}.

Exemple 4.9 L'ensemble vide∅ est compact, c'est trivial : de tout recouvrementS

i∈IUi on prend n'importe lequel desUi : on a toujoursUi⊃ ∅.

Exemple 4.10 SiE est un espace topologique compact, siIest un ensemble totalement ordonné (par exemple I=N), alors siUi est une suite croissante d'ouverts qui recouvreE(i.e.Ui⊂Uj quandi < j etE=S

i∈IUi), alors il existej∈Itel que E=Uj.

En eet, on auraE=S

i∈JUi avecJ ni, et on prendj= max(i∈J).

Exemple 4.11 SoitE=]0,1]considéré comme espace topologique muni de la topologie induite par celle deR.

Dans ce cas Ui =]¹_i,1]est un ouvert de E, et on a E =S

i∈N^∗Ui. DoncS

i∈N^∗Ui est un recouvrement ouvert de l'espace topologique ]0,1]. Mais il n'existe pas de recouvrement ni : s'il en existait un, lesUi formant une suite croissante, on auraitE =S

i∈JUi =]_N¹,1]pour unN ∈N^∗ donné, ce qui est faux. DoncE=]0,1]est un espace topologique qui n'est pas compact.

Proposition 4.12 Soit(E,O)un espace topologique séparé et soitBune base d'ouverts.E est compact ssi : de tout recouvrement ouvertS

i∈IVi deE tel queVi∈ Bon peut extraire un sous-recouvrement ni.

(15)

Preuve. Si E est compact, alors un recouvrement par des ouverts de base étant un recouvrement ouvert particulier, on peut en extraire un sous-recouvrement ni.

Réciproquement, soitS

i∈IUiun recouvrement ouvert deE. ChaqueUiest réunionUi=S

x∈UiUixd'ouverts UixdeBtels queUix3x, carBest une base de voisinages. D'oùE=S

ixUix. L'hypothèse est : on peut extraire un sous-recouvrement ni deS

ixUix; soitS

i∈J,k=1,...,nUix_k =EavecJ ni un tel sous-recouvrement. Comme Uix_k ⊂Ui, on en déduit queS

i∈JUi=E: on a extrait un sous-recouvrement ni, d'où Eest compact.

Proposition 4.13 SoitE espace topologique séparé, et soitF ⊂E. AlorsF (muni de la topologie induite) est compact ssi : de tout recouvrement ouvert deF on peut extraire un sous-recouvrement ni, i.e. siF ⊂S

i∈IU_i où les U_i sont des ouverts deE, alors∃J ⊂I, J de cardinal ni, tel queF ⊂S

i∈JU_i. Preuve. F est séparé carE l'est (immédiat).

1- Supposons F compact. Alors pour tout recouvrement F =S

i∈IVi par des ouverts Vi de F on a F = S

i∈JVi pour un J ni. D'où, pour tout recouvrement F ⊂ S

i∈IUi par des ouverts Ui de E, ayant F = S

i∈I(UiTF)avec lesVi=UiTF ouverts deF, on aF =S

i∈J(UiTF)pour unJ ni, d'oùF⊂S

i∈JUi. 2- Réciproquement, supposons que de tout recouvrement F ⊂S

i∈IUi par des ouverts Ui de E, on peut extraire un sous-recouvrement ni :F⊂S

i∈JUi. Mais tout ouvert deF est de la formeUiT

F avecUiouvert deE, et donc de tout recouvrementF =S

i∈IVipar des ouvertsVideF on peut extraire un sous-recouvrement niF =S

i∈JVi.

Exemple 4.14 Tout[a, b]intervalle fermé deR(muni de la topologie usuelle) est compact. En eet : supposons a < b, sinon on le sait déjà, et soitS

i∈IU_i un recouvrement ouvert donné de[a, b].

Soit l'ensembleA=^déf{x∈[a, b] : [a, x]a un recouvrement ni}.Aest non vide cara∈A. Soitc= sup(x∈ A). Il s'agit de montrer que c=b. Comme[a, b] ⊂ S

i∈IUi et c ∈ [a, b], il existe k ∈ I ouvert tel quec ∈Uk. CommeUk est ouvert il existeη >0tel queUk⊃]c−η, c+η[. Et[a, c−^η₂]a un sous recouvrement niS

i∈JUi

(par dénition dec). Donc[a, c+^η₂]⊂ U_k∪(S

i∈JU_i), et donc [a, c+^η₂]a un sous recouvrement ni. C'est absurde sic < bpar dénition dec. D'où c=b.

4.3 Les compacts sont toujours fermés

Proposition 4.15 SoitK⊂E où(E,O)est un espace topologique séparé. SiK est compact dansEalorsK est fermé.

Preuve. SiK=E, c'est trivial, carE est un fermé par dénition de la topologie.

Sinon,E−K6=∅; montrons queE−Kest ouvert. Soita∈E−K. Construisons un ouvertU_a qui contienta t.q.U_a ∈E−K.

Comme la topologie est séparée, sif ∈ K, alors comme f 6= a, il existe deux ouvert U_f−a et U_a−f t.q.

f ∈U_f−a,a∈U_a−f et U_f−a∩U_a−f =∅. S

f∈KU_f−a est un recouvrement ouvert deK. CommeK est compact, on en extrait un sous-recouvrement ni :K⊂S

j∈JUf_j−a oùCard(J)<∞et fj∈K pour toutj. Et par construction des U_f−a, l'intersection T

j∈JU_a−f_j n'intercepte aucun U` pour ` ∈ J, et donc ([

j∈J

Uf_j−a)\ (\

j∈J

Ua−f_j) =∅. D'oùK\ (\

j∈J

Ua−f_j) =∅. EtUa= (T

j∈JUa−f_j)est un ouvert (car intersection nie) contenant aqui est dans E−K. C'est vrai pour tout a∈E−K, doncE−K est ouvert, doncKest fermé.

4.4 Famille de fermés et compacité

Dénition 4.16 Une famille(Fi)_i∈I de sous-ensembles deEpossède la propriété de l'intersection nie ssi toute intersection nie est non vide (possède au moins un point), i.e. ssi :

∀J⊂I t.q.CardJ <∞, \

i∈J

Fi 6=∅.

Exemple 4.17 Si pour i∈Non pose Fi ={i, i+1, ...} =N−[0, i−1] (sous-ensembles deN), alors la famille (Fi)i∈Npossède trivialement la propriété de l'intersection nie : simJ = max(i∈J)alorsT

i∈JFi 3mJ. Noter qu'iciT

i∈NF_i=∅.