ECO1 LMA Mathématiques Le 16 novembre 2020
Devoir surveillé n
o2
La calculatrice est interdite. Durée : 4h
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
Toutes les « grosses » questions sont indépendantes les unes des autres.
1. On considère une suite arithmétique (un) vérifiantu5= 4 etu11= 22. Déterminer le terme général de la suite et la sommeu0+u1+. . . un en fonction den.
2. On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, par la relation de récurrence suivante : un+1= un
3 + 2un
.
On admet que cette suite est bien définie et queun>0 pour toutn∈N. On considère la suite (vn)n∈Ndéfinie pour toutn∈Nparvn = 1
un
.
(a) Calculeru1 et u2. Au vu des trois premiers termes, la suite (un)n∈N peut-elle être arithmétique ou géométrique ?
(b) Montrer que pour toutn∈N, on avn+1= 3vn+ 2.
(c) En déduire la forme explicite de la suite (vn)n∈Npuis celle de la suite (un).
(d) Calculer, pourn∈N,
n
X
k=0
vk.
(e) Que fait le programme Scilab suivant ? n=input(’entrer un entier n : ’) u=1
S=1 for i=1:n u=u/(3+2*u) S=S+u end disp(S)
(f) Donner la valeur affichée par le programme lorsque l’utilisateur entren=3(il n’est pas nécessaire de simplifier le résultat).
Exercice 2 Partie 1
On pose, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1,vn =
n
P
k=1
1 k.
1. Écrire une procédure qui, pour un entier non nulndonné, calcule len−ièmetermevnde la suite (vn)n∈N∗. 2. Montrer que : ∀x∈[0 ; 1[, x6−ln(1−x).
3. Montrer que : ∀k∈N∗, 1
k+ 1 6−ln
1− 1 k+ 1
. 4. En déduire que :∀n∈N∗, vn6ln(n) + 1.
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Partie 2
On considère une suite (un) définie par son premier termeu0= 1 et par la relation suivante, valable pour tout entier n :un+1=un+ 1
un
. 1.
(a) Écrire une procédure qui, pour un entierndonné, calcule len−ièmetermeunde la suite (un)n∈N. (b) Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.
(c) En déduire le sens de variation de la suite (un).
2.
(a) Pour tout entierk, exprimeru2k+1−u2k en fonction deu2k. (b) En déduire que :∀n∈N∗, u2n = 2n+ 1 +
n−1
P
k=0
1 u2k
.
(c) Montrer que :∀n∈N∗, u2n>2n+ 1. En déduire la limite de la suite (un).
3.
(a) A l’aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : u2n62n+ 2 +1
2vn−1.
(b) En utilisant la partie 1., établir que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : u2n62n+5
2 +ln(n−1)
2 .
(c) En déduire finalement que lim
n→+∞
un
√2n = 1.
Exercice 3
Soit (un)n>0la suite définie par u0= 1 et pour tout entier n∈N,un+1= ln 1 +u2n
.
1. Compléter le programme Scilab suivant pour qu’il calcule et affiche un, pour une valeur de n entrée par l’utilisateur.
n=input(’entrer la valeur de n’) u=...
for k=1:n u=...
end disp(u)
2.Établir pour tout entiern∈N, l’encadrement suivant : 06un 61.
3.Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0,1], à valeurs réelles, telle quef(x) = ln 1 +x2
−x.
a)Dresser le tableau de variation def puis déterminer le signe def(x) sur l’intervalle [0,1].
b)En déduire que la suite (un)n>0 est décroissante.
c)Montrer que la suite (un)n>0 est convergente.
4.a)Justifier pour tout réelx>0, l’inégalité : ln (1 +x)6x.
b)Pour tout entiern∈N, établir l’inégalité :un+16u2n. c) En déduire pour tout entiern>1, l’inégalitéun6(ln 2)n.
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d)Déterminer la limite de la suite (un)n>0. e)On considère le programmeScilab suivant : n=0
u=1
while u>=0.0001 u=log(1+u^2) n=n+1
end disp(n)
On exécute ce programme. Le résultat affiché est 6.
Quelle est la signification de ce résultat ?
5. Établir pour tout entiern>2, l’inégalité
n−1
X
k=0
uk6 1−(ln 2)n 1−ln 2 .
Exercice 4
Pour toutes suites numériquesu= (un)n∈Net v= (vn)n∈N, on définit la suiteu∗v=w par :
∀n∈N, wn =
n
X
k=0
ukvn−k
Partie I : Exemples
1. Premiers exemples
Pour tout entier naturel n, calculerwn en fonction dendans chacun des cas suivants : (a) pour tout entier natureln, un= 2 etvn = 3.
(b) pour tout entier natureln, un= 2n etvn = 3n. (c) pour tout entier natureln, un= 2n
n! et vn= 3n n!·
2. Une propriété de l’opération * : Montrer que pour toutes suitesuetv, u∗v=v∗u.
3. Programmation
Dans cette question, les suites uet v sont définies par : ∀n∈N, un = ln(n+ 1) et vn= 1 n+ 1· Écrire un programme en Scilab qui demande à l’utilisateur une valeur de l’entier natureln, qui calcule et affiche les valeurs w0, w1, . . . , wn.
Partie II : Application à l’étude d’un ensemble de suites
Dans cette partie,Adésigne l’ensemble des suitesa= (an)n∈Nde réels positifs vérifiant :
∀n∈N∗, an+16 1
2(an+an−1)
1. Montrer que toute suite décroissante de réels positifs est élément deAet qu’une suite strictement croissante ne peut appartenir àA.
2. Soitz= (zn)n∈Nune suite réelle vérifiant :∀n∈N∗, zn+1= 1
2(zn+zn−1).
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(a) Montrer qu’il existe deux constantes réellesαetβ telles que l’on a :
∀n∈N, zn =α+β
−1 2
n
(b) En déduire qu’il existe des suites appartenant àAet non monotones.
3. Soita= (an)n∈Nun élément deAet bla suite définie par :∀n∈N, bn=
−1 2
n . On définit alors la suitecpar : c0=a0 et ∀n∈N∗, cn=an+1
2an−1.
(a) Montrer que la suitec est décroissante à partir du rang 1 et qu’elle converge vers un nombreℓ que l’on ne cherchera pas à calculer.
(b) Pour tout entier natureln, établir l’égalité :
n
X
k=0
−1 2
k
cn−k=an. Que peut-on en déduire pour les suites b∗c eta?
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