A543 : Facilités de logement
Démontrer que pour tout entier n suffisamment grand, on sait toujours loger un carré parfait entre n et 2n et un cube parfait entre n et 3n et la puissance quatrième d’un entier entre n et 4n.
Nous interprèterons l’énoncé en cherchant à loger des puissances strictement comprises dans l’intervalle.
Si [ ] désigne la partie entière, soit a=[√n], a2≤n, n<(a+1)2≤n+2a+1, et 2a+1<a2 donc (a+1)2 <2n dès que (a-1)2 >2, donc a≥3, soit n≥9; en fait, cela est vérifié dès que n≥5.
De même si b=[n1/3], b3≤n, n<(b+1)3 ≤n+3b2+3b+1, et 3b2+3b+1<2b3≤2n si 2(b-1)3>-3b2+9b-1, donc b≥3, soit n≥27; en fait cela est vrai dès que n≥10.
Enfin, si c=[n1/4], c4≤n et n<(c+1)4<n+4c3+6c2+4c+1, et 4c3+6c2+4c+1<3c4 ≤3n si 3(c-1)4 <-8c3+24c2-8c +4, donc c≥3, soit n≥81; mais cela est vrai dès que n≥21.
En résumé pour n≥21, si a=[√n], b=[n1/3] et c=[n1/4], n<(a+1)2<2n , n<(b+1)3<3n et n<(c+1)4<4n.
En fait, cela est vérifié pour des valeurs sensiblement plus petites, dès que n≥21.
