A543. Facilités de logement
Solution proposée par Philippe Bertran
1. Démontrer que, à partir d’un certain rang, on peut toujours loger un carré parfait entre un entier et son double revient à démontrer que, à partir d’un certain rang, on ne peut pas trouver d’entier b tel qu’on puisse loger un entier a et son double entre b² et (b+1)².
Supposons b² < a . Alors b² + 1 ≤ a ; d’où 2b² + 2 ≤ 2a (1).
Or dès que 2 ≤ b , on a 2b ≤ b² et donc 2b² + 2b + 2 ≤ 2b² + 2 .
Compte tenu de (1), cette dernière inégalité entraîne 2b² + 2b + 2 ≤ 2a ,
c'est-à-dire (b + 1)² + 1 ≤ 2a d’où (b + 1)² < 2a , ce qui montre que a et 2a ne peuvent pas être tous les deux strictement compris entre b² et (b + 1)²
Ainsi, à partir de a = 2² + 1 , c'est-à-dire à partir de a = 5 , on peut toujours loger un carré parfait entre a et 2a (ce qui n’est pas vrai pour a = 4 : on ne peut pas loger de carré parfait entre 4 et 8).
2. De la même façon, démontrer que, à partir d’un certain rang, on peut toujours loger un cube parfait entre un entier et son triple revient à démontrer que, à partir d’un certain rang, on ne peut pas trouver d’entier b tel qu’on puisse loger un entier a et son triple entre b3 et (b+1)3.
Nous allons donc montrer que, à partir d’un certain rang, l’hypothèse b3 < a entraîne nécessairement (b+1)3 < 3a , c'est-à-dire (b+1)3 + 1 ≤ 3a ou encore b3 + 3b² + 3b + 2 ≤ 3a . Or, b3 < a entraîne b3 + 1 ≤ a , d’où 3b3 + 3 ≤ 3a . Il suffit donc de démontrer que, pour b suffisamment grand, b3 + 3b² + 3b + 2 ≤ 3b3 + 3 c'est-à-dire 2b3 – 3b² – 3b + 1 ≥ 0 , ce qui est vérifié dès que b est au moins égal à 3.
Par conséquent, pour a ≥ 33 + 1 , c'est-à-dire pour a ≥ 28 , on peut toujours loger un cube entre a et 3a. En fait, la vérification pour les valeurs de a inférieures à 28 montrent que la propriété est vraie à partir de a = 10.
3. De la même façon, démontrer que, à partir d’un certain rang, on peut toujours loger une puissance quatrième entre un entier et son quadruple revient à démontrer que, à partir d’un certain rang, on ne peut pas trouver d’entier b tel qu’on puisse loger un entier a et son quadruple entre b4 et (b+1)4.
Nous allons donc montrer que, à partir d’un certain rang, l’hypothèse b4 < a entraîne nécessairement (b+1)4 < 4a .
Or b4 < a implique 4b4 < 4a . Il suffit donc de démontrer que, pour b suffisamment grand, on a 4b4 ≥ (b+1)4 , c'est-à-dire 3b4 – 4b3 – 6b² – 4b – 1 ≥ 0 , ce qui est vrai puisque le polynôme du premier membre est équivalent à 3b4 à l’infini.
La troisième propriété est donc vraie.
2
En écrivant les puissances quatrièmes successives, 1, 16, 81, 256, 625, …on constate que c’est à partir de a = 21 qu’on peut toujours loger une puissance quatrième entre a et 4a et a fortiori, compte tenu des deux questions précédentes.
En résumé, dès que n est supérieur ou égal à 21, on peut toujours loger un carré parfait entre n et 2n, un cube parfait entre n et 3n et une puissance quatrième entre n et 4n.
