A543 Facilités de logement Solution de Michel Lafond
Soit n étant un entier positif.
Pour loger un carré parfait entre n et 2n, il suffit que 2n n soit plus grand que 1, car alors il existe nécessairement un entier p compris strictement entre n et 2n et par élévation au carré on a
n < p2 < 2n.
n n
2 est plus grand que 1 dès que n 6. En effet, 2n n est fonction croissante de n.
De même, pour loger un cube parfait entre n et 3n, il suffit que 3 3n3 n soit plus grand que 1 ce qui a lieu dès que n 12.
Et pour loger une puissance quatrième parfaite entre n et 4n, il suffit que 4 4n4 n soit plus grand que 1 ce qui a lieu dès que n 34.
Donc pour n 34 on peut loger un carré parfait entre n et 2n, un cube parfait entre n et 3n et une puissance quatrième parfaite entre n et 4n.
