A543. Facilités de logement
Démontrer que pour tout entier n suffisamment grand, on sait toujours loger :
(1) un carré parfait entre n et 2n (2) un cube parfait entre n et 3n
(3) la puissance quatrième d’un entier entre n et 4n.
Solution proposée par Patrick Gordon
On remarquera que la propriété est vraie "dès" n = 5 :
5 < 3² < 10 5 < 23 < 15 5 < 24 < 20
Mais cela ne garantit évidemment pas que ce soit vrai pour tout n ≥ 5.
Question 1
On cherche a tel que n < a² < 2n.
L'idée naturelle est d'essayer a = ENT (√2n) (ou ce même nombre moins 1, si 2n est un carré) et de voir à quelle condition ce nombre a est > √n.
Or ENT (√2n) = √2n – e (avec e < 1).
On veut donc que 2n + e² – 2e √2n > n, soit encore : n > 2e √2n – e²
Cette condition est réalisée a fortiori si n > 2e √2n et, plus encore, si n > 2 √2n, puisque e < 1.
Elle l'est donc avec certitude pour n > 8.
Question 2
On cherche b tel que n < b3 < 3n.
On procède de même en posant b = ENT (3n)1/3.
On veut donc (avec toujours e < 1 et la même remarque si 3n était lui-même un cube) que [(3n)1/3 – e]3 > n.
En développant [(3n)1/3 – e]3 et en faisant les majorations appropriées, on arrive à : n3 >
8(3n)², soit n < 72.
Question 3
On procèdera de même. On trouve cette fois un seuil (par excès, mais peu importe) de 159.
Ainsi la propriété est vraie pour n > 159 (et peut-être bien avant), à un détail près à régler si 2n est un carré, 3n un cube, ou 4n une puissance quatrième.
