TS Correction Fiche TP 1 2012-2013
EXERCICE 1 La suite (un) est définie paru0= 1 et pour tout entier natureln, un+1= 1
2un+n−1 . 1. Soit, pour tout entier natureln>4, la propriétéP(n) : 06un< n−2.
Initialisation: Pourn= 4,u4=39
16 etn−2 = 4−2 = 2. 39
16 >2 doncP(4) est vraie.
Hérédité: On suppose que la propriétéPn est vraie au rangnavecn>4. Démontrons qu’elle est vraie au rang n+ 1.
P(n) est vraie ⇔un> n−2
⇔ 1 2un> 1
2n−1
⇔ 1
2un+n−1> 1
2n−1 +n−1
⇔un+1> 3 2n−2 or 3
2n−2−(n−1) =1
2n−1 et pourn>4, 1
2n−1>0⇔ 3
2n−2−(n−1)>0 par conséquent :
un+1>(n+ 1)−2 et P(n+ 1) est vraie.
Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, ∀n>4,un> n−2 . 2. Soit, pour tout entier natureln, la propriétéP(n) :un = 7
2n + 2n−6.
Initialisation:u0= 1 et 7
20+ 2×0−6 = 1 doncP(0) est vraie.
Hérédité: On suppose que la propriétéPn est vraie au rangn. Démontrons qu’elle est vraie au rangn+ 1.
P(n) est vraie ⇔un= 7
2n + 2n−6
⇔ 1
2un= 7
2n+1 +n−3
⇔ 1
2un+n−1 = 7
2n+1 +n−3 +n−1
⇔un+1= 7
2n+1 + 2n−4 et 2n−4 = 2(n+ 1)−6 doncP(n+ 1) est vraie.
Ainsi pour tout entier natureln:
un= 7
2n + 2n−6 EXERCICE 2 f(x) = 3x2+ 5
2x2+x−1
1. Dfest l’ensemble dexréel qui ont une image doncDf =
x∈R,tel que 2x2+x−16= 0 ⇔Df=R\
−1;1 2
2. lim
x→+∞f(x) = lim
x→+∞
3x2+ 5
2x2+x−1 = lim
x→+∞
3x2 2x2 = 3
2. (propriété 1 du chapitre 2) Conséquence graphique : la droite d’équationy= 3
2 est asymptote à Cf en +∞.
3.
x→−1lim
x>−1
3x2+ 5 = 8
x→−1lim
x>−1
2x2+x−1 = 0−(voir ci−contre)
(quotient)
x→−1lim
x>−1
f(x) =−∞
x 2x2+x−1
−∞ −1 1/2 +∞
+ 0 − 0 +
Conséquence graphique : la droitex=−1 est asymptote verticale àCf.
My Maths Space 1 sur??
