comme P(ξ &gt

FIMFA 1 Ann´ee 2012–2013

Examen du 30 janvier 2013 : corrig´e

“Int´egration & Probabilit´es”

Exercice. (A1)Soit x0 := inf{y ∈R: F_ξ(y)≥ ¹₂} (o`u F<sub>ξ</sub> est la fonction de r´epartition deξ), qui est bien un r´eel car F<sub>ξ</sub>(∞) = 1 et F<sub>ξ</sub>(−∞) = 0. La continuit´e `a droite de F_ξ implique que F_ξ(x0)≥ ¹₂.

Montrons maintenant que P(ξ ≥ x0) < ¹₂. Supposons que P(ξ ≥ x0) < ¹₂ ; comme P(ξ >

x0−¹_n)↓P(ξ ≥x0), il existeraitn0 <∞tel queP(ξ > x0−_n¹₀)< ¹₂, c’est-`a-direF_ξ(x0−_n¹₀)≥ ¹₂, ce qui contredirait la d´efinition dex0. Par cons´equent, P(ξ≥x0)< ¹₂.

Conclusion : x0 ∈M(ξ).

(A2)Soientaetbdes r´eels. Sia≤b, on aE[(ξ−a)²]≥E[(ξ−a)²1_{ξ≥b}]≥(b−a)²P(ξ≥b) ; tandis que sia > b, on a E[(ξ−a)²]≥E[(ξ−a)²1_{ξ≤b}]≥(a−b)²P(ξ ≤b). DoncE[(ξ−a)²]≥ (b−a)²min{P(ξ ≥b),P(ξ ≤b)}, quels que soient aetb.

En prenanta:=E(ξ) et b:=m(ξ), on obtient Var(ξ)≥ ¹₂[m(ξ)−E(ξ)]². D’o`u la conclusion cherch´ee.

(B1) C’est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme de Slutsky.

(B2) Par hypoth`ese, il existe des entiersn1 < n2<· · ·tels queP{sup_n≥nk|ξn−ξn_k| ≥ _k¹} ≤

1

2^k, ∀k≥ 1. D’apr`es le lemme de Borel–Cantelli, il existe A ∈A avec P(A) = 1, tel que pour tout ω ∈A, on a sup_n≥nk|ξn(ω)−ξ_nk(ω)| →0, k→ ∞. Il suffit alors de remarquer que, pour une suite de r´eels (cn), s’il existe des entiers n1 < n2 < · · · tels que sup_n≥nk|cn−c_nk| → 0, k→ ∞, alors (cn) est une suite de Cauchy et converge donc dansR.

(C1) Soit y ∈ R. On a {Yi,n ≤ y} = {Pn

j=11_{Yj≤y} ≥ i}. Comme {Yj ≤ y} ∈ A, Pn

j=11_{Yj≤y}est une variable al´eatoire (somme finie de variables al´eatoires), et donc{Y_i,n≤y} ∈ A. La tribu bor´elienneB(R) ´etant identique `a celle engendr´ee par la famille{]−∞, y], y∈R}, on voit queY_i,n est bien une variable al´eatoire.

(C2) Par hypoth`ese, M(Y1) ={β} : F_Y1(y)< ¹₂ si y < β etF_Y1(y)> ¹₂ si y > β.

Soit y ∈R. On a ¹_nP_n

j=11_{Yj≤y} → F_Y1(y) en probabilit´e (loi des grands nombres faible).

DoncP{P_n

j=11_{Yj≤y} ≥ ⌊ⁿ₂⌋} converge, dont la limite vaut 0 si y < β, et vaut 1 si y > β. On a d´ej`a remarqu´e que P{Pn

j=11_{Yj≤y} ≥ ⌊ⁿ₂⌋}=P{Y_⌊ⁿ

2⌋,n≤y} ; d’o`u Y_⌊ⁿ

2⌋,n →β en probabilit´e.

(D1) L’inegalit´e cherch´ee ´etant triviale lorsquei=n, on suppose que 1≤i < n.

CommeA_iestσ(X1,· · ·, X_i)-mesurable, tandis queS_n−Si estσ(Xi+1,· · ·, X_n)-mesurable, les ´ev´enements A_i et {Sn −S_i ≥ m(Sn−S_i)} sont ind´ependants. Donc P(Ai ∩ {Sn−S_i ≥ m(Sn−S_i)}) = P(Ai)P{Sn−S_i ≥ m(Sn−S_i)}. Pour conclure, il suffit de remarquer par d´efinition queP{Sn−S_i≥m(Sn−S_i)} ≥ ¹₂.

(D2) Observons que {max1≤i≤n[Si+m(Sn−S_i)]≥a}= ∪ⁿ_i=1A_i, et que les A_i, 1≤i ≤n sont disjoints. Donc P{max1≤i≤n[S_i +m(S_n−S_i)] ≥ a} = Pn

i=1P(A_i), qui est, d’apr`es (D1), major´ee par 2P_n

i=1P(B_i), o`uB_i:=A_i∩ {S_n−S_i ≥m(S_n−S_i)}. Comme B_i ⊂A_i (∀i≤n), les 1

B_i, 1 ≤i≤ n, sont ´egalement disjoints ; donc 2P_n

i=1P(B_i) = 2P(∪ⁿ_i=1B_i). On a donc prouv´e queP{max1≤i≤n[S_i+m(S_n−S_i)]≥a} ≤ 2P(∪ⁿ_i=1B_i).

Pour touti∈[1, n]∩Z, on a, par d´efinition,B_i ⊂ {S_n≥a}. Donc ∪ⁿ_i=1B_i ⊂ {S_n≥a}. Par cons´equent, P{max1≤i≤n[Si+m(Sn−Si)]≥a} ≤2P{Sn≥a}.

(D3) Par d´efinition, −m(ξ) est un ´el´ement de M(−ξ). On peut donc remplacer, dans l’in´egalit´e prouv´ee dans (D2), les variables al´eatoires X_i, i ≥ 1, par −Xi, i ≥ 1, pour voir que P{max1≤i≤n[−Si −m(Sn−S_i)] ≥ a} ≤ 2P{−Sn ≥ a}. Il suffit alors de remarquer que P{max1≤i≤n|Si+m(Sn−S_i)| ≥a}=P{max1≤i≤n[Si+m(Sn−S_i)]≥a}+P{max1≤i≤n[−Si− m(Sn−S_i)]≥a}, et que P{|Sn| ≥a}=P{Sn≥a}+P{−Sn≥a}.

(D4)Il suffit de constater queP(|S_n−S_m| ≥ε)≤P(|S_n−S_∞| ≥ ^ε₂) +P(|S_m−S_∞| ≥ ₂^ε)→0 quandn,m→ ∞.

(D5) Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que ε≤ ¹₂ (sinon, on consid`ere min{ε, ¹₂}

`

a la place deε). Par (D4), on a |m(S_N+n−S_N+i)| ≤ε, ∀n≥0, ∀i≥0.

On applique (D3) `a a:=εet `a la suite de variables al´eatoires ind´ependantes (XN+i, i≥1), pour voir queP{max1≤i≤n|Si+N−SN+m(SN+n−SN+i)| ≥ε} ≤2P(|SN+n−SN| ≥ε), qui est major´ee par 2ε(d’apr`es (D4)). D’autre part, d’apr`es la remarque dans le paragraphe pr´ec´edent,

|Si+N−S_N+m(SN+n−S_N+i)| ≥ |Si+N−S_N| −ε. Par cons´equent, P{max1≤i≤n|Si+N−S_N| ≥ 2ε} ≤2ε.

(D6) Soit ε > 0. Consid´erons la suite croissante d’´ev´enements E_n := {max1≤i≤n|Si+N − S_N| ≥ 2ε}, n ≥ 1. On a P(E_n) ↑ P(∪_n≥1E_n). Comme P(E_n) ≤ 2ε, ∀n ≥ 1 (voir (D5)), on a P(∪_n≥1E_n) ≤ 2ε. Or, ∪_n≥1E_n ⊃ {sup_i≥1|S_i+N −S_N| ≥ ε} ; on a donc P{sup_i≥1|S_i+N − S_N| ≥ ε} ≤2ε. A fortiori, P{sup_i≥1|S_i+N −S_N| ≥ 2ε} ≤ 2ε. D’apr`es (B2), S_n converge p.s.

(n´ecessairement vers S_∞).

(D7) Dominique a tort, car la suite ¹_nP_n

i=1X_i, n ≥ 1, ne peut s’´ecrire comme suite de sommes partielles d’une suite — mais plutˆot d’un tableau triangulaire avec l’´ecriture Xe_i := ^X_nⁱ

— de variables al´eatoires ind´ependantes.

(E1) Comme α > ¹₂, on voit que (Pn k=1

Zk

k^α, n ≥1) est une suite de Cauchy dans l’espace complet L²(Ω,A,P) : la s´erieP

n Zn

n^α converge dans L². (E2) D’apr`es (E1),P

n Zn

n^α converge en probabilit´e, et donc presque sˆurement (par (D6)) vu que (^Z_nⁿα, n≥1) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes.

(E3) Consid´erons la fonction caract´eristique : pour tout ξ ∈R,

ΦPn k=1Zk

kα

(ξ) = Yn

k=1

ΦZk kα

(ξ) = Yn

k=1

ΦZ_k( ξ k^α) =

Yn

k=1

cos( ξ k^α).

Comme cos(_k^ξα) = 1−₂^ξ_k²2α +o(_k¹2α),k→ ∞, on voit que pour tout ξ 6= 0, Qn

k=1cos(_k^ξα)→ 0, n → ∞ (car 2α ≤ 1), tandis que Qn

k=1cos(_k^ξα) → 1 si ξ = 0. Rappelons que convergence en loi ´equivaut `a convergence simple de la suite des fonctions caract´eristiques vers une fonction caract´eristique. Puisque 1<sub>{</sub>0} ne peut ˆetre une fonction caract´eristique (´etant discontinue `a l’origine), on conclut queP

nZn

n^α ne converge pas en loi, a fortiori pas en probabilit´e ni p.s.

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