Universit´es Bordeaux
Master 1 MIMSE 08/01/2013
EXAMEN TERMINAL PROBABILIT´ ES
Dur´ee 1h30
PROBL` EME I
Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle E(1).
Rappelons que la loi exponentielleE(µ) est une loi continue de densit´e f(x) = µe−µx1x>0.
1. Le vecteur al´eatoire (X, Y) est il un vecteur al´eatoire `a densit´e ? Si oui, donner sa densit´e f(X,Y).
2. Calculer E[X] et E[X+Y].
3. On pose U = min{X,1/X}.U est-elle bien d´efinie ? Quelles sont les valeurs possibles prises par U?
4. Calculer la fonction de r´epartition de U.
5. U est-elle une variable al´eatoire `a densit´e ? Si oui, donner sa densit´e.
PROBL` EME II
Soit (X1, X2, X3) un vecteur gaussien dans R3 de moyenne t(1,0,1) et de matrice de cova- riance
Γ =
2 2 2
2 4 2
2 2 2
.
1. Est-ce que le vecteur gaussien (X1, X2, X3) poss`ede une densit´e sur R3?
2. Quelle est la loi du vecteur (X1, X2) ? Est-ce que le vecteur (X1, X2) poss`ede une densit´e sur R2?
3. Consid´erons la variable al´eatoire r´eelle Y =X2−aX1, o`u a est un nombre r´eel quel- conque. Quelle est la loi du couple (X1, Y) ?
4. `A quelle condition sura les variables al´eatoires r´eelles X1 et Y sont ind´ependantes ?
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PROBL` EME III
Soit λ > 0. Pour tout entier n > λ, on consid`ere (Xin)i∈N∗ une suite de variables al´eatoires de Bernoulli de param`etre pn=λ/n. On consid`ere alors les variables al´eatoires
In= inf{i∈N∗|Xin= 1} et Nn = In
n. 1. Donner la loi de In.
2. Donner la loi de Nn.
3. Montrer que la fonction caract´eristique φNn deNn vaut
φNn(t) = λ
n−λ × 1
1−(1−λn)eitn ×
1− λ n
eitn.
4. Montrer queNnconverge en loi vers une variable al´eatoire dont on donnera sa fonction caract´eristique.
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