Universit´e Paris Dauphine Ann´ee 2012-2013 D´epartement MIDO
L3 - Statistique Math´ematique
Feuille de Travaux Dirig´ es 1
Rappels de probabilit´ es et mod´ elisation
Exercice 1. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables al´eatoires d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,A, P). Pour n ∈ N∗, on suppose que Xn suit la loi exponentielle de param`etre 1/n et on pose Yn =Xn−[Xn], o`u [Xn] d´esigne la partie enti`ere deXn.
Montrez que la suite (Yn)n≥1 converge en loi vers une variable al´eatoire Y dont vous pr´eciserez la loi.
Exercice 2.On consid`ere une suite (Xn)n≥1 de variables al´eatoires d´efinies sur le mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A, P). Pour n ∈N∗, on suppose que Xn suit la loi exponentielle de param`etren. Soit
Yn= sin
[Xn]π 2
, o`u [Xn] d´esigne la partie enti`ere deXn.
1. D´eterminez la loi de la variable al´eatoireYn, et calculez E(Yn).
2. Montrez que la suite (Yn)n≥1converge en loi vers une variable al´eatoire constanteY que vous pr´eciserez.
3. V´erifiez la convergence en probabilit´e de (Yn)n≥1.
Exercice 3.
1. D´eterminer la fonction caract´eristique de la loi continue uniforme sur [−1,1].
2. Pour toutn, on d´efinit la v.a. Xn par
P(Xn= 1/2n) =P(Xn=−1/2n) = 1 2
et on suppose que lesXnsont mutuellement ind´ependantes.. SoitSn= Pn
i=1Xi. Montrer que (Sn) converge en loi vers une v.a. S dont on pr´ecisera la loi.
Exercice 4.Normalisation de la variance asymptotique.
Soit (Xn) une suite de v.a. i.i.d. de loi P. On suppose que E(X12) <∞ tel que le th´eor`eme de la limite centrale ait lieu :
√n(Xn−µ)−→ NL (0, σ2)
pourσ2 = Var (X1)>0.
1. En appliquant le th´eor`eme de Slutsky, d´eterminer une suite de v.a.
(an) fonction de X1, . . . , Xn telle que
pn/an(Xn−µ)−→ NL (0,1).
2. On suppose d´esormais que σ2 est une fonction de µ. En appliquant la m´ethode de Slutsky, d´eterminer la fonction φ telle que √
n(φ(Xn)− φ(µ))−→ NL (0,1).
3. D´eterminer (an) etφ dans les cas particuliers P=B(p) avec 0< p <
1/2 et P=E(λ) avecλ >0.
Exercice 5. Un syst`eme fonctionne en utilisant deux machines de types diff´erents en s´erie. Les dur´ees de vie X1 et X2 des deux machines suivent des lois exponentielles de param`etresλ1etλ2. Les variables al´eatoiresX1 et X2 sont suppos´ees ind´ependantes.
1. Montrer que
X∼ E(λ)⇐⇒ ∀x >0, P(X > x) = exp(−λx)
2. Calculer la probabilit´e pour que le syst`eme ne tombe pas en panne avant la datet. En d´eduire la loi de la dur´ee de vie Z du syst`eme.
3. Calculer la probabilit´e pour que la panne du syst`eme soit due `a une d´efaillance de la machine 1.
4. Soit I = 1 si la panne du syst`eme est due `a une d´efaillance de la machine 1, I = 0 sinon. Calculer P(Z > t, I = δ), pour tout t ≥0 et δ∈ {0,1}. En d´eduire que Z etI sont ind´ependantes.
5. On dispose densyst`emes identiques et fonctionnant ind´ependamment les uns des autres dont on observe les dur´ees de vieZ1, ...Zn. Ecrire le mod`ele param´etrique correspondant.
