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SiR est un anneau avec carR=p o`up est un nombre premier, alors (a+b)p =ap+bp et (a−b)p =ap−bp pour tousa, b∈R

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Academic year: 2022

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Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2018/2019

M1 Th´eorie de Galois Maria Chlouveraki

Caract´eristique d’un anneau et extensions simples - TD 2 1. SiR est un anneau avec carR=p o`up est un nombre premier, alors

(a+b)p =ap+bp et (a−b)p =ap−bp pour tousa, b∈R.

2. Si R est un anneau int`egre avec carR = p o`u p est un nombre premier, alors l’application (de Frobenius) F :R →R, a7→ap est un monomorphisme.

3. Trouver un exemple d’un corps infini de caract´eristique positive.

4. Montrer que Frac(Z[i]) ={a+bi|a, b∈Q}=Q[i] =Q(i).

5. Soit E/F eta, b∈E. Montrer queF(a, b) =F(a)(b) =F(b)(a).

6. Soient F ⊆E⊆K des corps tels que K est une extension simple deF. Montrer queK est une extension simple deE.

7. Soit E/F. Nous avons [E:F] = 1⇔E =F.

8. Soit F un corps fini avec|F|=q, et soit E/F avec [E:F] =n∈N. Montrer que E est un corps fini avec |E|=qn.

9. SiF est un corps fini, alors|F|=pn pour un certain n∈N, o`u p= carF.

10. SoientF ⊆E⊆K des corps tels que [K :F] =p, o`up est un nombre premier. Dans ce cas, soitK =E soitE =F. De plus,K est une extension simple deF.

11. Soient F1 ⊆F2⊆ · · · ⊆Fn des corps, avecn≥3. Montrer que [Fn:F1] =

n−1

Y

i=1

[Fi+1 :Fi].

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