A543 : Facilités de logement
Démontrer que pour tout entier naturel n suffisamment grand, on sait toujours loger un carré parfait entre n et 2n et un cube parfait entre n et 3n et la puissance quatrième d’un entier entre n et 4n.
Solution proposée par Michel Dufour
Généralisation avec un entier n quelconque : il est possible de loger un entier élevé à une puissance quelconque donnée entre n et n(1+epsilon), aussi petit que soit epsilon, nombre réel strictement positif, et ce dès que n est un entier naturel suffisamment grand . Cette assertion généralise le problème d’origine.
Démonstration :
Soient k un entier naturel non nul et un nombre réel strictement positif Pour n et x entiers naturels, on a :
k k k
k
n x
n
n x
n
1 1 1
) 1 (
) 1 (
L’existence d’un entier x encadré par deux réels a et b (a<x<b) est assurée dès lors que b-a>1 Ainsi :
k k k
k k
kn n x N n x n
1 1 1
1 1 1
) 1 ( /
1 )
1
(
La condition à gauche de l’implication équivaut à :
1 ) 1 (
1
1 1
k
nk
… soit à :
k
k
n
1
1
1 ) 1 (
1
Dès que n entier respecte cette condition, on est donc assuré de l’existence de x tel que : n
x
n k (1) CQFD
