Enoncé J137 (Diophante) Super-cavalier
Super-cavalier (3,8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre. Démontrer qu’il peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente (i.e. partageant un côté commun). Trouver le nombre minimum de déplacements.
Pour les plus courageux : trouver tous les couples d’entiers (a, b) tels que le super-cavalier (a, b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
13 sauts suffisent : le vecteur (1,0) est la somme de 5(8,−3) + 3(−8,−3) + (−3,−8) + 4(−3,8).
De manière générale, on peut donner à un parcours la forme x(3,8) +y(−3,8) +z(8,3) +t(8,−3)
où x, y, z, tsont des entiers relatifs ; dans l’exemple ci-dessus, (x, y, z, t) = (−1,4,−3,5).
La condition d’aboutir en (1,0) fournit les équations 3(x−y) + 8(z+t) = 1, 8(x+y) + 3(z−t) = 0.
La solution de ce système s’exprime en fonction de deux paramètres (en- tiers relatifs), par exemple :
x= 3w−8u−1,y= 3w+ 8u+ 4,z= 3u−8w−3,t= 3u+ 8w+ 5.
L’exemple ci-dessus correspond à u=w= 0.
Le nombre de déplacements est |x|+|y|+|z|+|t|.
On a |x|+|y|= max(|x+y|,|x−y|) = max(|6w+ 3|,|16u+ 5|)≥5, et |z|+|t|= max(|z+t|,|z−t|) = max(|6u+ 2|,|16w+ 8|)≥8.
Le nombre de 13 déplacements est donc optimal.
Pour le super-cavalier (a, b), une condition nécessaire pour aller partout est queaetbsoient premiers entre eux et de parité contraire.
En effet, s’ils ont un diviseur commund >1, le super-cavalier sera limité à des abscisses et des ordonnées multiples de d à partir de sa position d’origine. S’ils sont tous deux impairs, l’abscisse du super-cavalier à partir de son point de départ et son ordonnée seront de même parité, celle du nombre de sauts, ce qui exclut notamment la case adjacente à celle de départ.
Cette condition est suffisante. Il existe (Bachet) deux entiers positifsu et v tels que ua−vb= 1 ; on peut aussi supposer que ub−va est pair, car (u+b)a−(v+a)b = 1 et (u+b)b−(v+a)a est de parité contraire à ub−va.
Pour aller de (0,0) à (1,0),udéplacements (a, b) etvdéplacements (−b,−a) conduisent d’abord en (1, ub−va= 2e). Ensuite,
– si e > 0, on va de (1,2e) en (1,0) avec eu déplacements (b,−a), eu déplacements (−b,−a),evdéplacements (a, b), etevdéplacements (−a, b).
– sie <0, on fera (−eu) déplacements (b,−a), (−eu) déplacements (−b, a), (−ev) déplacements (a,−b), et (−ev) déplacements (−a,−b).
