J137. Super-cavalier
Super cavalier (3,8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre.
Démontrer qu’il peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente ( i.e. partageant un côté commun). Trouver le nombre minimum de déplacements.
Pour les plus courageux : trouver tous les couples d’entiers (a,b) tels que le super-cavalier (a,b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Résultats. Le super-cavalier (8,3) peut se déplacer sur une case adjacente en 13 coups.
Pour ce qui concerne le super-cavalier une évidente condition nécessaire est que soit impair; sans quoi la couleur de la case d’arrivée sera toujours égale à la couleur de la case de départ.
Aussi évidente est la nécessité de la condition :
car si un entier divisait à la fois et , partant de la case (0,0) on ne pourrait aboutir qu’à une case dont les deux coordonnées sont multiples de . Inversement on montrera que l’hypothèse , jointe à impair, permet au super-cavalier de se déplacer vers une case adjacente.
Le cas général. La démonstration va s’appuyer sur le théorème de Bézout : tout couple satisfaisant admet un couple réciproque ; réciproque au sens que son produit (scalaire, bien entendu!) avec vaut 1. Un tel couple pouvant être construit par l’algorithme d’Euclide étendu, notre démonstration est de type constructif.
On va chercher la solution en termes de quatre inconnues entières, satisfaisant l’équation vectorielle:
(2) où le membre de gauche représente le vecteur « déplacement vers la case adjacente à droite ». On remarquera en fait qu’on n’a aucun besoin d’introduire des termes supplémentaires, tels que par exemple : un tel terme peut être réécrit avec et donc peut être groupé avec donnant lieu tout simplement à avec . Naturellement on peut remplacer le membre de droite par un quelconque des vecteurs on réalisera le déplacement vers les autres cases adjacentes.
Traduisant l’équation vectorielle en deux équations scalaires on aboutit à :
et, d’après le théorème de Bézout , la première équation admet des solutions si et seulement si la propriété est satisfaite, ou bien, ce qui revient au même, si et seulement si il existe un couple tel que :
Remplaçant le membre de droite de la première équation par , le problème devient:
Encore grâce à ces deux relations peuvent être imposées sous forme paramétrique: il faut et il suffit qu’il existe tels que
de là, par somme et soustraction on parvient à une formule pour le double du quadruplet : ; ; ; . On va montrer que, ainsi que prévu au niveau des conditions nécessaires, le facteur 2 peut être supprimé seulement si est impair. En fait, si était pair, à la fois et devraient être impairs d’après ; en particulier évaluant modulo la formule pour et celle pour on a et . Il faudrait donc même parité pour et ; ce qui (ayant supposé impairs) contredit .
En particulier un et un seulement entre et doit être impair; sans perte de généralité on va
supposer pair et impair; d’après on aura en particulier que aussi est impair. Pour résoudre il faudra choisir impair (formules pour ) et choisir de parité égale à celle de (formules pour ), parvenant ainsi à une formule paramétrique qui donne tous et seuls les quadruplets solutions de (2).
Le cas particulier. On va maintenant détailler le cas particulier pour lequel on voit
« à la main » qu’un couple réciproque est donné par . La formule , avec et impairs (donc ) devient:
, , , (5) qui, pour tout choix de , fournit des coefficients qui satisfont l’identité (2). Naturellement tout coefficient négatif en (2) doit être traité en changeant de signe à la fois coefficient et déplacement;
par exemple le choix fournit la solution en 13 déplacements:
5 fois (8,3), 3 fois (-8,3), 4 fois (-3,-8), une seule fois (-3,8).
Une autre solution en 13 étapes est fournie par le choix ; d’autres choix plus couteux donnent lieu à solutions en 3 direction; par exemple mène à:
32 fois (8,3), 24 fois (-8,3), 21 fois (-3,-8).
