J137. Super-cavalier
Super-cavalier (3,8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre.
Démontrer qu’il peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente (i.e. partageant un côté commun). Trouver le nombre minimum de déplacements.
Pour les plus courageux : trouver tous les couples d’entiers (a, b) tels que le super-cavalier (a, b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Chaque coup permet un déplacement parmi les 8 suivants : +8H, +3V (déplacements Horizontaux)
+8H, -3V
+3H, +8V (déplacements Verticaux) +3H, -8V
et leurs inverses -8, +3
-8, -3 -3, +8, -3, -8,
Les coups sont commutatifs, on aura x, y, z, t déplacements des 4 premiers types.
(x, y, z, t entier relatifs).
On cherche à réaliser, par exemple, sans perte de généralité, le déplacement (0, +1), en un nombre de coups minimum, bien évidemment impair à cause de la couleur de case.
Les |x|+|y|+|z|+|t| déplacements sont tels que horizontalement 8(x+y)+ 3(z+t)=1 verticalement 3(x-y)+8(z-t)=0
avec |x|+|y|+|z|+|t| minimum
z+t est impair (déplacements verticaux), x-y est pair (déplacements horizontaux).
Avec Wolfram Alpha, on trouve avec m et t comme paramètres : x = 73 m+27 t+32 déplacements 8, 3
y = -55 m-21 t-24 déplacements 8, -3 z = -48 m-17 t-21 déplacements 3, 8
Avec un tableau |x|+|y|+|z|+|t| fonction de m et t sous tableur, on trouve un minimum de 13 déplacements pour t=-1 et m=0
x=-27+32=5 y=21-24==-3 z=17-21=-4 t=-1
Le trajet, à des permutations près, est représenté dans la figure ci-dessous :
Q2
a et b doivent être premiers entre eux et de somme impaire.
