G230 La balade du Roi [**** à la main]
Solution
Soit (i,j) les coordonnées d’une case de l’échiquier avec par convention (1,1) = case de départ du Roi.
Tous les chemins de longueur 7 que le Roi peut prendre pour rejoindre la première ligne du bas de d’échiquier se trouvent à l’intérieur d’un triangle rectangle isocèle dont l’hypoténuse est la diagonale principale de l’échiquier passant par la case de départ et dont les sommets sont les points de coordonnées (1,1), (8,1) et (8,8)
Afin de rejoindre la première ligne en 7 déplacements, à chacun de ses déplacements le Roi n’a le choix qu’entre trois mouvements au maximum : un vers le sud-ouest, un vers le sud et un vers le sud-est. Dans ces conditions, le nombre de chemins possibles pour aller de la case de départ du Roi (1,1) à une case de coordonnées (x,y) obéit à la formule de récurrence suivante:
N(x,y) = N(x-1,y-1) + N(x,y-1) + N(x+1,y-1) avec 1x y8, N(1,1) = 1 et par convention N(x,0) = N(0,y) = 0 quel que soit x et quel que soit y.
D’où le tableau croisé qui s’établit très facilement case par case manuellement en partant de la case bleue de départ et donne les valeurs de N(x,y) en fonction de x et de y.
Référence : nombres de Motzkin et séquences
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005773
La case C qui contient le carré 196 = 1 14 est en deuxième position de la 82 ème ligne en haut de l’échiquier (case vert clair) , tandis que la case C qui contient le cube 27= 2 33 occupe la sixième position (case verte) et la case C3 qui contient le nombre 1 en même temps carré et cube est en dernière position, diagonalement opposée à la case de départ du Roi (case vert foncé)
Pour aller de la case C à la case 1 C3 placées l’une et l’autre à une distance égale à 6, le Roi qui a 7 déplacements à réaliser a plus de degrés de liberté que précédemment. Dans l’un quelconque des trajets, le Roi se dirige une fois au maximum vers le sud ou vers le nord, sa progression vers C3 se faisant dans les autres cas par le nord-est, l’est et le sud-est. La zone Z à l’intérieur de laquelle il peut se déplacer est définie ci-après en grisé :
Pour les différentes longueurs L variant de 1 à 7 des chemins partiels pris par le Roi en direction de C3à l’intérieur de la zone Z, les tableaux ci-après affichent les cases par
lesquelles le Roi est susceptible de passer et le nombre de chemins possibles qui aboutissent à chacune d’elles.
Pour une longueur L < 7 d’un chemin partiel, l’abscisse x de la case où se trouve le Roi peut prendre les valeurs L+1 ou L+2.
Quand le Roi peut se déplacer en provenance du nord ou du sud, on a la formule de récurrence : N(L+1,y) = N(L,y+1) + N(L,y) + N(L,y-1) + N(L+1,y+1) + N(L+1,y-1) et dans les autres cas on a la formule : N(L+2,y) = N(L+1,y-1)+N(L+1,y)+N(L+1,y-1). Par ailleurs, comme le Roi ne passe pas par C , on a N(6,8) = 0 2
Tous comptes faits, le nombre de chemins possibles pour aller de C à 1 C3 sans passer par C 2 est de 358.
