J 137. Super cavalier. ***
Super-cavalier (3, 8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre.
Démontrer qu’il peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente (i.e. partageant un côté commun).
Trouver le nombre minimum de déplacements.
Pour les plus courageux : trouver tous les couples d’entiers (a, b) tels que le super-cavalier (a, b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente.
Solution proposée par Michel Lafond
Notons dans un repère (O, x, y) le déplacement du cavalier de u cases horizontalement et v cases verticalement.
u, v peuvent être négatifs.
Il y a 8 déplacements possibles associés aux vecteurs :
On peut passer de la case (0, 0) à sa voisine (1, 0) par a déplacements A, b déplacements B, …, h déplacements H, à condition de montrer que le système
(S) possède une solution en nombres entiers positifs ou nuls.
(S) s’écrit L’équation E1 équivaut à
α entier.
L’équation E2 équivaut à
β entier.
E3 + E5 montre que α doit être impair : α = 2 x + 1 E4 + E6 montre que β doit être impair : β = 2 y + 1
Le système (S) équivaut au système formé des équations E3 + E5, E5 – E3, E4 + E6, E6 – E4 qui, après division par 2, donne : S’
Il y a une solution « évidente » pour x = 0 et y = – 1 à savoir
Le nombre de déplacements est égal à
On va montrer que 13 est le nombre minimal de déplacements pour aller d’une case à sa voisine.
Soit (a, b, c, d, e, f, g, h) une solution minimale, comptant T = déplacements.
Remarquons d’abord que dans une solution minimale, s’il y a un déplacement A alors il n’y a pas de déplacement D et réciproquement. (Ce sont des vecteurs opposés et ces deux déplacements s’annuleraient). On a donc nécessairement ad = 0 et de même bc = eh = fg = 0. Par conséquent il faut résoudre en nombres entiers naturels :
S’
avec a ou d nul ; b ou c nul ; e ou h nul ; f ou g nul. T minimal.
Il y a 16 cas à envisager. Dans chacun d’eux, on va montrer que T est supérieur ou égal à 13.
Cas 1. a = 0 ; b = 0 ; e = 0 ; f = 0.
C’est impossible car alors l’équation E1 : – – n’a visiblement pas de solution.
Cas 2. a = 0 ; b = 0 ; e = 0 ; g = 0.
S’ devient
T =
implique donc
T (positif) est supérieur à 13 sauf si x = 0 ce qui entraîne Cas 3. a = 0 ; b = 0 ; f = 0 ; h = 0.
S’ devient
T =
Cas 4. a = 0 ; b = 0 ; g = 0 ; h= 0.
S’ devient
T =
T (positif) est supérieur à 13 sauf si ce qui entraîne impossible dans N.
Cas 5. a = 0 ; c = 0 ; e = 0 ; f = 0.
S’ devient
T =
implique implique
T = est supérieur ou égal à 13 sauf si y = – 1 mais alors g + h = – 2 est impossible.
Cas 6. a = 0 ; c = 0 ; e = 0 ; g = 0.
C’est impossible car alors l’équation E2 a pour seule solution b = d = f = h =0.
Mais si tout est nul, il n’y a pas de déplacement ! Cas 7. a = 0 ; c = 0 ; f = 0 ; h = 0.
S’ devient
T =
T = est supérieur à 13 sauf si x = – 1 mais alors est impossible.
Cas 8. a = 0 ; c = 0 ; g = 0 ; h = 0.
S’ devient
T = implique
implique ce qui est impossible. Donc
implique ce qui est impossible. Donc T =
Cas 9. b = 0 ; d = 0 ; e = 0 ; f = 0.
S’ devient
T =
implique
implique ce qui est impossible. Donc implique donc T =
Cas 10. b = 0 ; d = 0 ; e = 0 ; g = 0.
S’ devient
T =
T (positif) est supérieur à 13 sauf si ce qui entraîne impossible dans N.
Cas 11. b = 0 ; d = 0 ; f = 0 ; h = 0.
C’est impossible car alors l’équation E2 : a pour seule solution a = c = e = f =0.
Mais si tout est nul, il n’y a pas de déplacement ! Cas 12. b = 0 ; d = 0 ; g = 0 ; h = 0.
S’ devient
T =
implique
implique ce qui est impossible. Donc implique
implique ce qui est impossible. Donc Donc T =
Cas 13. c = 0 ; d = 0 ; e = 0 ; f = 0.
S’ devient
T =
Cas 14. c = 0 ; d = 0 ; e = 0 ; g = 0.
S’ devient
T =
implique ; implique Donc T =
Cas 15. c = 0 ; d = 0 ; f = 0 ; h = 0.
S’ devient
T =
implique ; implique Donc T =
Cas 16. c = 0 ; d = 0 ; g = 0 ; h = 0.
C’est impossible car alors l’équation E1 : n’a visiblement pas de solution.
Pour la dernière question :
Soit le super-cavalier m, n entiers positifs.
Pour que C puisse aller de la case (0, 0) à la case (1, 0) il faut que m et n soient premiers entre eux.
En effet si p était un facteur commun, C ne pourrait accéder qu’aux cases de coordonnées multiples de p.
De plus il ne faut pas que m et n soient tous deux impairs sinon C n’aurait accès qu’aux cases "d’une même couleur".
Autrement dit, il faut que m et n soient premiers entre eux avec m + n impair.
Démontrons que ces conditions sont suffisantes :
Soit le super-cavalier m, n entiers positifs, premiers entre eux avec m + n impair.
Remarquons que si effectue depuis la case (0, 0) les 2 k + 1 déplacements successifs ci-dessous,
,
---, , il arrive à la case (m, (2k + 1) n) ce qui équivaut à UN déplacement du cavalier où n’ = (2k + 1) n
peut donc réaliser tout ce que peut faire.
Choisissons k suffisamment grand pour que (2k + 1) n = n’ > 3m et pour que 2k + 1 soit premier avec m.
Alors, n’ = (2k + 1) n a la même parité que n et reste premier avec m.
En revenant à la lettre n, on peut donc supposer dans la suite qu’on a affaire à un cavalier avec m, n premiers entre eux, m + n impair, et n > 3 m.
Démontrons que peut aller de la case (0, 0) à la case (1, 0), c’est à dire qu’il existe des entiers positifs ou nuls a, b, c, d tels que :
On a à résoudre :
Soient α, β une solution de (C’est possible d’après Bezout puisque m, n sont premiers entre eux).
équivaut à
t entier quelconque équivaut à k entier quelconque On tire : (S1)
Il suffit maintenant de trouver des entiers t, k pour que (S1) donne pour a, b, c, d des entiers positifs ou nuls.
montre que :
Ou bien m est pair, et alors n et β sont impairs ; ou bien n est pair, et alors m et α sont impairs.
Dans le premier cas : m est pair, et alors n et β sont impairs.
Pour avoir a, b, c, d entiers, il suffit d’avoir pairs.
C’est possible en prenant t = 1 ou t = 2 (de la même parité que α) et k = 1 ou k = 2 (de la même parité que β).
Dans le second cas : n est pair, et alors m et α sont impairs.
Pour avoir a, b, c, d entiers, il suffit d’avoir pairs.
C’est possible en prenant t = 1 ou t = 2 (de la même parité que β) et k = 1 ou k = 2 (de la même parité que α).
Enfin, pour la positivité des entiers a, b, c, d :
Pas de problème pour a et c puisque α et β sont positifs, et pour les deux autres :
