D287 – Entrelacements polygonaux
Un quadrilatère et un pentagone (l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés) admettent dans le plan n points d’intersection distincts. Déterminer la plus grande valeur possible de n.
Pour les plus courageux : deux polygones, l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés, ont
respectivement p et q côtés. Déterminer en fonction de p et de q la plus grande valeur possible du nombre de leurs points d’intersection.
Solution proposée par Patrick Gordon
Cas d'un quadrilatère et d'un pentagone
Si les deux polygones sont convexes, le résultat est médiocre (ici n = 8).
Si les deux polygones sont concaves, on peut aller jusqu'à n = 16 = 4 (5–1)
Généralisation
Nous nous en tiendrons aux polygones concaves (exception 3,3, qui n'a pas de concaves).
Le cas ci-dessus (4,5) est à un seul impair. Voyons (6, 9) : on peut aller jusqu'à n = 48 = 6 (9–1).
Passons à deux pairs. Avec (6,4) on peut aller jusqu'à n = 24 = 6 × 4
Passons à deux impairs. Avec (7, 9) on peut aller jusqu'à n = 50 = (7–1) (9–1) + 2
D'où une conjecture :
Max (n) =
pq si p et q sont pairs,
p (q–1) si q seul est impair,
(p – 1) (q–1) + 2 si p et q sont impairs
A noter que (3,3) bien qu'intersection de deux polygones convexes, entre dans ce dernier cas avec (3–1) (3–
1) +2 = 6.
