D20461. D’un quadrilatère l’autre
En prenant trois à trois les sommets d’un quadrilatère inscriptible, on ob- tient 4 triangles. Montrer que les centres des cercles d’Euler de ces triangles forment un quadrilatère semblable au premier. Quel est le rapport de simi- litude ?
Solution
SoientA, B, C, Dles sommets,Ole centre du cercle circonscrit. Les triangles BCD,CDA,DAB,ABCont respectivementGA,GB,GC,GD pour centres de gravité, etEA,EB,EC,ED pour centres des cercles d’Euler.
Dans le triangleBCDpar exemple, on a les relations vectorielles 2OEA= 3OGA=OB+OC+OD.
Soit P le point défini par OP = (OA + OB + OC + OD)/3 ; comme 3OP =OA+ 2OEA, P A=−2P EA et de même pour les autres triangles ; l’homothétie de centre P et de rapport −1/2 transforme le quadrilatère ABCD en le quadrilatèreEAEBECED.
Remarque
Comme l’indique Jean-Nicolas Pasquay, d’autres propriétés classiques d’un quadrilatère inscriptible s’obtiennent de même par les rapports sur les droites d’Euler : les orthocentres des 4 triangles forment un quadrilatère isomé- trique, et les centres de gravité forment un quadrilatère homothétique.
