Théorème sur le quadrilatère sphérique

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

R EMY

Théorème sur le quadrilatère sphérique

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 4 (1845), p. 494-495

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1845_1_4__494_1>

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

THÉORÈME SUR LE QUADRILATÈRE SPHÉRIQUE.

Par M. Remy. (Creile, 1.111, p. 85, 1828. )

THÉORÈME. a,by c , d sont les côtés et e, ƒ les diagonales d'un quadrilatère sphérique, g la distance sphérique des mi- lieux des diagonales ; on a .

costf + cos& 4- cosc H- cosd = 4 cos- ecos -fcosg.

Démonstration. Soit le quadrilatère ABDC ; AC = a ;

(3)

Soit F milieu de BC j et G milieu de AD ; F G = # ; soit AF = r et angle AFC = a.

Ainsi dans le triangle ACF Von a :

1 . 1 .

COStf = COSr COS- e + COSa S l l l - e Sinr,

et dans le triangle ABF :

1 . 1 . cos b = cosr cos - e — cos a sin - e sm r.

Donc costf + cosfc = 2cosrcos- e, et cosc -f c o s d = 2 cosp cos- e ; P est l'arc FD ; donc

cos a -f cos b + cosc + cosd = 2 cos- e (cosr+cos p) ; mais cosr + cosp = 2 cos -fcosg ;

donc, etc.

Note. En développant les côtés en séries, on peut déduire de ce théorème celui d'Euler sur le quadrilatère plan.