D 286 Les complexes du quadrilatère Solution proposée par Pierre Renfer
L'égalité abcd a lieu dans les cas suivants de dégénérescence du quadrilatère : D
C B
A ou
D B
C A
B A
ou
C B
D A
B A
On va prouver que ce sont les seules possibilités.
On peut écrire :
i2 i
i2 i
i2 i
i2 i
2 e cos 2 e 1 d
2 e cos 2 e 1 c
2 e cos 2 e 1 b
2 e cos 2 e 1 a
où les arguments ,,, appartiennent à
,
L'égalité des arguments de ab et cd s'écrit :
2 2 2 2
(1)
L'égalité des modules de ab et cd s'écrit :
cos2 cos2
cos2
cos2
(2)
A l'aide de l'égalité (1) et de la formule 2cosacosbcos(ab)cos(ab), l'égalité (2) devient :
2 cos 2 2
cos 2
On en déduit :
2 2 2 2
ou
2 2 2 2
En combinant avec (1), on obtient :
ou
