D286. Les complexes du quadrilatère
Dans le plan complexe Oxy, on trace du côté des x positifs le cercle de rayon unité tangent en O à l’axe des ordonnées. On trace sur la circonférence de ce cercle quatre points A,B,C et D qui ont respectivement pour affixes a,b,c et d. Que devient le quadrilatère ABCD quand les produits ab et cd sont égaux ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi On a deux possibilités :
Le quadrilatère est réduit à un point : A=B=C=D ;
Le quadrilatère est réduit à un segment : A=C et B =D ou A=D et B=C.
On rappelle qu’un produit de nombres complexes a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments; en particulier soient ( les coordonnées polaires de A (et analoguement pour B, C, D) la relation équivaut à
Compte tenu du fait que les points de la circonférence sont caractérisés par , la première relation se réécrit
Ou encore, grâce aux formules de Simpson :
ce qui, joint à (2), donne
à savoir . La dernière relation, jointe à (2), donne la thèse.
(1)
(2)
(3)
(4)
