ds6-produit scalaire et nombres complexes

DS N° 6 PRODUIT SCALAIRE 1^ère STL-PH 2008-2009 Exercice 1 : 3 points

1.b. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j 

. Soient _u^_{( 2 ;1 )} ; ^_{v(3 ; 6 )} et _w^_{(1; 3 )} Calculer _{u v}^{ }_. , que peut-on en déduire pour les vecteurs ^_u et ^_v ?.

b. Calculer _{u w}^{ }_. ;  ^u ; _{ w}^ . Que peut-on en déduire pour l’angle

 

^{u w ;}

2. AC4 3 ; BC2 3 et ^AB6cm. Déterminer les valeurs en degré des angles du triangle ABC . Exercice 2 : 2 point

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j  .

On considère les points A( 3 ;1 ) , B( 2 ; 2) , C( 3 ; 1) . Montrer que les droites ( AB) et ( BC ) sont perpendiculaires . Exercice 3 : 4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j  . On considère les points ^{A( 3 ; 1) } , ^{B( 2 ;1)} et ^{C(1 ;4)} 1.Calculer  AB AC.

. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l’angle BAC^ . 2. Déterminer de même des valeurs approchées des mesures en degrés des angles ACB^ et CBA^ . Exercice 4 : 11 points

On considère les points A , B , C , D et E d’affixes respectives les nombres complexes : z_A  1 3i ; z_B   1 3i ; z_C  2 2 3i ; z_D  2 2 3i ; zE ²

1. a. Déterminer le module et un argument de zA puis de zB.

b. En déduire le module et un argument de z₁z²_A puis de z₂ z_B².

c. Donner les formes algébriques des nombres complexes z₁z²_A et z₂ z_B².

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ^^{O u v; , } (unité graphique : 2 cm).

a. Placer les points A, B, C, D et E.

b. Calculer les coordonnées des vecteurs _AD^ et _BC^ .Conclure c. Calculer les coordonnées des vecteurs _AB^ et _DC^ .

Les droites

 

^AB et



^DC



sont-elles parallèles ? Justifier . d. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse.

3. a. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D

b. En utilisant le produit scalaire , démontrer que le triangle ADC est rectangle en A.

4. a. Calculer AB , AC et BC.

b. Calculer AB AC^ . ^ . En déduire une valeur approchée de la mesure en degré de l’angle BAC^ . 5. En utilisant le produit scalaire, démontrer que les droites



^AE



et



^DB



sont perpendiculaires . Exercice 1

( 2 ;1 )

u

; ^_{v(3 ; 6 )} et _w^_{(1; 3 )} 1.a. Le repère( ; , )O i j 

est orthonormal.u v xx .  'yy' 2 3 1 ( 6) 6 6 0       

donc _{u v}^{ }_{. 0}. On peut en déduire que les vecteurs _u^et _v^ sont orthogonaux.

b. Le repère( ; , )O i j 

est orthonormal, on a : u w xx .  'yy' 2 1 1 3 2 3 5      

, donc _{u w}^{ }_{. 5}. D’autre part u  a²b²  2² 1²  5

et ^{w  a²b²  1² 3²  10}. ^{u w .  u  v cos ;}

 

^{u v  , donc 5 5 10 cos ;}

 

^{u v  cos ;}

 

^{u v   5}₅₀ ^_{5 2}^{5 } ₂²

On en déduit que

 

^{u v ;  }₄ ^2k , k est un entier relatif . 2. AC4 3 ; BC2 3 et ^AB6cm

On utilise la formule AL-KASCHI et on a :^{BC2  AB²AC² 2 AB AC c so}



^{AB;A C}



^.

 

^{2 3 2  6²}

 

^{4 3 ² 2 6  }

 

^{4 3 cos}



^{AB;A  C}





^AB;AC

 

^AB



^{12 36 48 72 3 3}

12 36 48 48 3 cos cos

48 3 48 3 2 3 2

;AC   

        

  

   

Donc



^{A B;AC}



^{ }₆ ^{2k .}

 

2 ² ² 2 c so CB;CA

AB CB CA  CB CA  

.

         

62  2 3 ² 4 3 ² 2  2 3  4 3 cos CB ;CA

   

^{36 12 48 24 1}

36 12 48 48 cos cos

48 2

CB;CA CB;CA 4

8 3

  

       

  

   

, Donc



^{C B;CA}



^{ }₃ ^{2k .}

On pet déduire que



^{B C;BA}



^{ }₂ ^2k et le triangle ABC est rectangle en B.

Exercice 2

A( 3 ;1 ) , B( 2 ; 2) , C( 3 ; 1) .

les droites ( AB) et ( BC ) sont perpendiculaires si et seulement si ^{ }_{AB BC. 0} En effet : ^{AB}



^{ 2 3; 2 1}



^{et BC}



^{ 3 2; 1  2}



       

       

. ' ' 2 3 3 2 2 1 1 2

. 2 3 2 3 2 1 2 1 (2 3) (2 1) 1 1 0

AB BC xx yy AB BC

            

                

 

 

On déduit que les vecteurs ^_AB et _BC^ sont orthogonaux et par conséquent les droites ( AB) et ( BC ) sont perpendiculaires.

Exercice 3 ( 3 ; 1)

A   , ^{B( 2 ;1)} et ^{C(1 ;4)} : ^{AB}

 

^{5; 2} et ^{AC}

 

^4;5 .AB 25 4  29cm et AC 16 25  41cm

 

. cos ;

AB AC AB  AC AB AC

     

, or  AB AC_.     5 4 2 5 20 10 30 

     

³⁰

. cos ; 30 29 41 cos ; cos ;

29 41

AB AC AB  AC AB AC     AB AC  AB AC 



         

Donc



^{ AB AC;}



^{29 ,539 .}

2. Calculons les coordonnées du vecteur _CB^ : ^{CB}



^{1; 3}



et CB 1 9  10cm ^{AB2 CB²CA² 2 CB CA c so}



^{CB;C A}



^.

^{292 }

   

^{41 ² 10 ² 2 }

   

^{41  10 cos}



^{CB ;CA}



29 41 10 2 410 cos



^CB;CA



cos



^CB



^{29 41 10 22 11}

2 410 2 410 4

;CA    10

       

   

   

, Donc



^{CB;CA  }



^57.

La somme des angles dans un triangle est égale à ₁₈₀^, donc CBA^ 180 29 ,539 57 ,1 93 ,361^  ^  ^ . Exercice 4

1. z_A   1 3i ; z_B   1 3i ; z_C  2 2 3i ; z_D 2 2 3i ; zE ²

a. zA 

 

^{1 ²} ^3²  ^{1 3}  ^{4 2} et ^{zB }

 

^{1 ² }

 

^{3 ²  1 3  4 2 .}

Soit _A un argument de z_A; _Aest tel que : cos 1

2 sin 3

2

A A

A A

a z b z





  



  



donc : 2

arg 2

A zA 3 k

     ,

où k est un entier relatif.

Calcul du module et d'un argument de z_B   1 3i: z_B z_A , donc z_B  z_A 2

et 2 4

arg arg 2 2

3 3

B zA zA  k  k

          

b. en utilisant la définition du module et de l’argument , on obtient z₁  z²_A  z_A² 2² 4 et z₂  z²_B  z_B² 2² 4

₁ arg ² 2 arg ⁴ 2 3

A A

z z  k

       et ₂ arg ² 2 arg ⁸ 2 ² 2

3 3

B B

z z  k  k

          (mesure principale ).

^{z1z2A  }



^{1 3i}



^{2  1 3 ² 2 3i  i  1 3 2 3i  2 2 3i}

^{z2 zB2   }



^{1 3i}

 

^{2  1 3i}



^{2  1 3 ² 2 3i  i  1 3 2 3i  2 2 3i.}

c.zAD^ z^Dz^A ^{2 2 3}i  



^{1 3}i



 ^{3 3}i , donc ^{AD}



^{3; 3}



^: AD 3² 3²  9 3  12 2 3 zBC z^Cz^B  ^{2 2 3}i  



^{1 3}i



 ^{3 3}i , donc ^{BC}



^{3; 3}



^{.BC 3² }

_{ }

^{3 ²  9 3  12 2 3}

On déduit que AD BC AB^ et _DC^ .

z^ABz^Bz^A  ^{1 3}i  



^{1 3}i



 ^{2 3}i , donc ^{AB}



^{0; 2 3}



^.

^{C D 2 2 3}



^{2 3}



^{4 3}

DC

z_ z z   i  i   i , donc ^{DC}



^{0; 2 3}



. On constate que DC 2 AB , Et on déduit que les vecteurs ^_AB et _DC^ sont colinéaires et les droites



^AB



et



^DC



sont parallèles.

AD BC etDC 2 AB

.on déduit que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle .

2 3 4

-2 -1 -4 -3

2 3 4

-1 -2 -3 -4

0 1

1 y

A

B

C D

E

3. ^A



^{1; 3}



^{; B}



^{ 1; 3}



^{; C}



^{2; 2 3}



^{; D}



^{2; 2 3}



^{et E}

^

^2;0

^

^{AD}



^{3; 3}



^{et AC}



^{3; 3 3}



 AD AC. xx'yy' 3 3   3 ( 3 3) 9 9 0    

, on déduit que les vecteurs ^_AD et AC sont orthogonaux et par conséquent les droites ( AD) et ( AC ) sont perpendiculaires et par conséquent le triangle ADC est rectangle en A.

4. AB , AC et BC

^{BC 3² }

 

^{3 ²  9 3  12 2 3 cm}

^{AC}



^{3; 3 3}



^{: AC 3² }



^{3 3 ²}



^{ 9 27  36 6 cm ; AB}



^{0; 2 3}



^{: AB2 3cm.}

^{ AB AC.    0 3}



^{2 3}

 

^{3 3}



^18

. ^cos



^;



18 2 3 6cos



;



cos



;



^{18 3 3}

12 3 2 3 2

AB AC AB  AC AB AC    AB AC  AB AC   

         

Donc



^{ AB AC;}



^{ }₆ ^{2k .}

5. ^{AE}



^{3; 3}



^{et DB}



^{3; 3 3}



^{. AE DB xx.  'yy' 3 3   3 }



^{3 3}



^{  9 9 0}

Donc les droites



^AE



et



^DB



sont perpendiculaires.