Seconde Correction Fonctions (synthèse) 2015-2016
Soit la fonctionf définie par :f(x) =x2−10 21x−8
7 et représentée ci-dessous pourx∈[−1.5; 2].
I Valeur approchée du minimum
Quel semble être le minimum de la fonctionf, et pour quelle valeur de xsemble-t-il atteint ? (répondre par une phrase et placer les réponses sur le graphique ).
II Valeurs approchées de solutions.
Encadrement
1. Où lit-on sur le graphique les solutions de l’équation f(x) = 0 ?
2. Donner, par lecture graphique, un encadrement à 0,5 près de ces solutions. (les nommerx1 etx2,x1< x2) 3. En utilisant la fonction table de la calculatrice et en
justifiant, affiner les valeurs de x1 et x2 : trouver pour chacune un encadrement au dixième près, puis un en- cadrement au centième près.
III Valeurs exactes des solutions
1. Montrer quef(x) peut s’écrire pour tout réelx:f(x) =
x−4
3 x+6 7
.
2. Résoudre alors l’équationf(x) = 0 et comparer votre résultat à ceux de II.
IV Valeur exacte du minimum
Montrer quef(x) =
x− 5 21
2
−529 441. Expliquer alors pourquoi−529
441est le minimum de la fonction f surR. En quelle valeur est-il atteint ?
V Inéquation
Résoudre graphiquement dans l’intervalle [−1,5; 2], l’inéqua- tionf(x)<1.
VI Tableaux de variations et de signes
Dresser le tableau de variations et le tableau de signes de la fonctionf sur [−1,5; 2].
VII Une autre équation
Combien l’équationf(x) =−8
7 a-t-elle de solutions ? Les déterminer par le calcul.
I. Le minimum semble approximativement être égal à −1,2 et obtenu pourx= 0,25. (cf graphique)
II. 1. Les solutions de l’équationf(x) = 0 sont les abscisses des points d’intersection deCf avec l’axe des abscisses.
2. Par lecture graphique, un encadrement d’amplitude 0,5 des solutionsx1etx2 est
−1< x1<−0,5 et 1< x2<1,5 (cf graphique) 3. f(−0,9)>0 etf(−0,8)<0 donc−0,9< x1<−0,8 ,
f(−0,86)>0 etf(−0,85)<0 donc−0,86< x1<−0,85 f(1,3)<0 etf(1,4)>0 donc 1,3< x2<1,4 et f(1,33)<0 etf(1,34)>0 donc 1,33< x2<1,34
III. 1.
Pour toutx∈R, x−4
3 x+6 7
=x2+6 7x−4
3x−8 7
=x2−10 21x−8
7 =f(x)
2.
f(x) = 0
⇔ x−4
3 x+6 7
= 0
⇔
éq.produitx−4
3= 0 oux+6 7= 0
⇔x= 4
3oux=−6 7
Les valeurs approchées
de ces solutions sont bien dans les encadrements obtenus à la question II.3.
x1=−6
7 etx2= 4 3.
IV.
Pour toutx∈R, x− 5
21 2
−529 441
=x2−10 21x+ 25
441−529 441
=x2−10 21x−496
441
=x2−10 21x−8
7=f(x)
Pour tout x réel,
x− 5
21 2
> 0 donc x− 5
21 2
−529
441 >−529 441 et f
5 21
=
−529
441. Ainsi−529
441 est le minimum def surRet il est atteint pourx= 5
21, ces valeurs sont à rapprocher des valeurs appro- chées lues au I.
V. Les solutions de f(x) < 1 dans [−1,5; 2] sont les abscisses des points deCf dont l’ordonnée est strictement inférieure à 1.
Graphiquement,S=]−1,25; 1,72[.
VI. Tableau de variations
x
Variations def
−1.5 5
21 2
51 28 51 28
−529
−441529 441
40 21 40 21
Tableau de signes
x Signes def(x)
−1.5 −6 7
4
3 2
+ 0 − 0 +
VII. f(x) = −8
7 ⇔ x2− 10
21x = 0 ⇔ x x−10
21
= 0 ⇔ x = 0 oux=10
21. S=n 0;10
21 o
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Seconde Correction Fonctions (synthèse) 2015-2016
-2 -1 0 1 2
1
−1
−1 1
−2 O
≈0,25
≈ −1,2 bc
bc
bc bc
bc
bc bc
bc bc
≈1,3
≈ −0,8
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