ds7- produit scalaire et nombres complexes

DSN°7 MATHEMATIQUES 1°PH 2008-2009

Exercice 1 : 4 points

1. Construire un triangle ABC vérifiant AC = 12 cm, BA = 10 cm, CB = 8 cm.

2. Déterminer la mesure de l’angle



^{BA BC ;}



et l’aire du triangle ABC.

3. En utilisant la méthode de votre choix, déterminer la mesure de l’angle



^{ AB AC;}



Exercice 2 : 16 points

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct



^{O u v; , }



(unité graphique : 2 cm ).

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2 .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante :i z  3i. Exprimer la solution sous forme algébrique.

2. Soit A le point d'affixe ^z_Adéfini par z_A 1 3i Déterminer le module et un argument de zA.

3. On désigne par B et C les points dont les affixes ^z_Bet ^z_Csont définies par : ^z_B ^{ z}_Aet z_C z²_A.

a. Ecrire ^z_Bet ^z_Csous forme algébrique.

b. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

c. Donner les coordonnées des points A , B et C

d. Calculer AB , BC et AC , en déduire la mesure de l’angle



^{CB CA ;}



. Calculer ^sin



^{CB CA ;}



4. On note D le point d'affixe zDdéfinie par D ⁴ A

z  z

Montrer que z_D z_A oùz_A désigne le nombre complexe conjugué de^z_A. Placer le point D.

5.

a. Déterminer l’équation de la droite (AC)

b. On note K le point d’intersection de la droite (AC) avec l’axe des abscisses . Calculer les coordonnées du point K .

6. On considère le point ^E



^4;0



a. Montrer que le triangle CDE est un triangle rectangle.

b. Déterminer les coordonnées du point F symétrique du point E par rapport au point D 7. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle BCE.

8. Démontrer que les droite (AF ) et (CE ) sont perpendiculaires

1. AC = 12 cm, BA = 10 cm, CB = 8 cm. ^{AC2 BA2BC22BA BC cos}



^{BA BC ;}



Soit : ^{122 10282  2 10 8cos}



^{ BA BC;}



^; 144 100 64 160cos  



BA BC ;



^cos



^{ BA BC;}



^{144 164}_160^{ }_^_{160 8}^{20  1 0,125 donc}



^{ BA BC;}



^{ 83}

2. ^{S  1}₂ ^{BC AB sin}



^{BA BC ;}



^{10 8}₂^{ sin 83}

^{ }

^39,7cm².

^sin



^{ AB AC}_a^;



^sin



^{BA BC }_b^;



^sin



^{ AB AC}₈^;



^{sin 83}₁₂

 

^sin



^{ AB AC;}



^{8sin 83}₁₂

^{ }

^sin



^{ AB AC;}



^{0,6617 , donc}



^{ AB AC;}



^{41, 4.}

 

2 2 2 2 cos ;

BC  AC BC  AC BC  AC AB

Soit : ^{82 122102  2 10 12cos}



^{ AB AC;}



^;

 

64 144 100 240cos    AB AC;

. ^cos



^{ AB AC;}



^{64 244}_^₂₄₀ ^_¹⁵⁶₂₄₀^{ 3}₄ ^donc



^{ BA BC;}



^{41, 4.}

Exercice 2

1.

 

 

3 ( ) 2

3 3

3 1 3

1 i i

i i i

i z i z i

i i i

  

  

        

 2. a) Module et argument de zA :

1 3

zA  i

Par définition, un nombre complexe de module r zA et d'argument A .

1² 3² 1 3 4 2

r zA      

et cos 1

2 sin 3

2

A A





 



 



donc 2

A 3 k

   

3. a) Formes algébriques de zB et zC :



^{1 3}



^{1 3}

B A

z  z    i    i

2 3 4

-1 -2 -3 -4

2 3 4

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

O A C

B

E

D I

F

 

²

2

2

1 3

1 2 3 3 2 2 3

C A

C

z z i

z i i i

  

      3. b) ^A



^{1; 3}



^{; B}



^{ 1; 3}



Et ^C



^{2 ; 2 3}



3. c) Calcul des longueurs AB, AC et BC :

 

1 3 1 3

2 2 3 2; 3

B A AB

AB

z z z i i

z i AB

      

    



  ;

 

^{2 2}



^{2 3}



²

4 12 16 4 AB zAB

AB

    

   



 

2 3 1 3

3 3 3 ; 3

C A

AC AC

z z z i i

z i AC

      

    



  .

 

^{3 2}

 

^{3 2 9 3 12 2 3}

AC z^AC         .zBC^ zCzB  ^{2 2 3 1}i  i ³  ^{1 3 3}i



^{1 ; 3 3}



BC  

 . BC zBC^ 

 

^{1 2}

 

^{3 3 2} ^{1 27}  ^{28 2 7} .

       

. . ' ' 1 3 3 3 3 3 9 12

CB CA BC AC xx  yy           

   

     

^{12 3}

. cos ; 12 2 7 2 3 cos ; cos ;

4 21 21

CB CA CB CA  CB CA    CB CA  CB CA  

         

et



^{CB CA ;}



^{49.sin2}



^{CB CA ;}



^{ 1 cos2}



^{CB CA ;}



^{ 1} _{21 21}^{9 12, donc sin}



^{CB CA ;}



^{  12}₂₁^{  2}₇ ^.

Or



^{CB CA ;}



est un angle aigu inférieur à 90° donc sinus est positif , donc ^sin



^{CB CA ;}



^{ 2}₇

4. Calcul de zD :

 



^{4 1}



³



^{4 1}



³



4 4

1 3

1 3 1 3 1 3 4

D A

A

i i

z i z

z i i i

 

      

  

5. Détermination dezE :

Si zE est un nombre réel, alors cela signifie que E est sur l'axe des abscisses. Donc E est l'intersection de la droite (AC) et de l'axe des abscisses.

On détermine l'équation de la droite (AC), de la forme^{y mx p } ,avec^A

 

^{1; 3 et C}



^{2;2 3}



^.

Avec ^{2 3 3 3}

2 1 3

C A

C A

y y

m x x

 

   

   . Le point A appartient à la droite (AC) donc :

3 ³ 1 ^{4 3}

3 3

A A

y mx  p      p p . Donc l'équation de la droite (AC) est : ^{3 4 3}

3 3

y  x

Le point E est tel que yE ⁰ 3 4 3

0 0 4 0 4

3 3

y   x       x x Donc le point E a pour coordonnées ^E(4;0)donc zE ⁴.

6. a.Calcul des longueurs CD, CE et DE :

zCD^ z^Dz^C  ¹ i ³  



^{2 2 3}i



 ^{3 3 3}i ; CD zCD^  ³² 



^{3 3}



²  ^{9 27}  ^{36 6} zCE^ z^Ez^C    ⁴



^{2 2 3}i



 ^{6 2 3}i . CE zCE^ 

 

^{6 2} 

 

^{3 2}  ^{36 12}  ^{48 4 3}

 

4 1 3 3 3

E D

zDE^ z z   i   i . DE zDE^  ³²

 

^{3 2}  ^{9 3}  ^{12 2 3} D'une part : ^CE2

 

^{4 3 248} ; D'autre part : ^{CD2DE262}

 

^{2 3 236 12 48  .}

On a donc : CE²DC²DE²donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en D.

Méthode du produit scalaire : ^{CD}



^{3; 3 3}



^{et DE}



^{3; 3}



^{et CD DE .   3 3 3 }



^{3 3}



^{  9 9 0}

Donc les vecteurs CD et DE 

sont orthogonaux , les droites (CD ) et ( DE) sont perpendiculaires Et par conséquent le triangle CDE est rectangle en D.

6.b F symétrique du point E par rapport au point D signifie que : D est le milieu du segment [EF]

Donc on a :

2

E F

D z z

z 

 ou encore : zF ²zDzE ^{2 1}



 ³i



   ^{4 2 2 3}i et ^F



^{ 2 ; 2 3}



7. CE4 3 et BC2 7.

   

1 1 4 3 2 7 2

sin ; sin ; 8 3 ² 13,856 ²

2 2 2 7

S BC CE CB CE BC CE CB CA  cm cm

               

8. les droite (AF ) et (CE ) sont perpendiculaires signifie que : ^{ }_{AF CE. 0}.



F A^; F A



AF x x y y

 , soit ^{AF}



^{  2 1; 2 3 3}



^{, AF}



^{ 3; 3 3}





_{E C}^; _{E C}



CE x x y y

, soit ^{CE}



^{ 2 4;0 }



^{2 3}

 

^{, CE}

^

^{6 ; 2 3}

^

       

. ' ' 3 6 3 3 2 3 18 18 0

AF CExxyy          

 

. Donc les vecteurs CE et AF 

sont orthogonaux , les droites (CE ) et ( AF) sont perpendiculaires.

DEVOIR MAISON MATHEMATIQUES 1°PH 2008-2009 Dans un repère orthonormal direct du plan complexe



^{O u v; , }



d’unité graphique2 cm , on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

z_A  3i ; z_B  1 3i ; z_C  3i et z_D   1 3i 1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes :

zA ; zB ; zC et zD.

b. Construire à l’aide de la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère



^{O u v; , }



^.

c. Démontrer que les droites (AC ) et ( BD ) sont perpendiculaires.

d. Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

e. En déduire la nature du quadrilatère ABCD . 2. Soient E et F les points du plan définis par :

^{zE 1}₂



^zAzB



^{ }



^{1 3i}



^zB et ^{zF  1}₂



^{zC zB}



^{ }



^{1 3i}



^zB.

a. Ecrire sous la forme algébrique les affixes de E et F .

b. Démontrer que le point E appartient au cercle de centre A et rayon [BA] d’une part et au cercle de centre B et de rayon [BC ] d’autre part .

c. Démontrer que le point F appartient au cercle de centre B et rayon [ BC] d’une part et au cercle de centre C et de rayon [BC ] d’autre part.

d. construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent.

3.a. Déterminer les coordonnées des points D, E et F b. Démontrer que les points D, E et F sont alignés .

c. Démontrer que le triangle EBF est un triangle rectangle isocèle.

d. Démontrer que le triangle AFD est isocèle .

e. Déterminer la mesure en degré de l’angle



^{FD FA ;}



4. soit G le point définie par z_G z_BD^e^{i/ 3}z_B. a. Déterminer l’affixe du point D .

b. Démontrer que les points C , A et G sont alignés.

c. Quelle est la nature du triangle CDG ?

d. Comparer DF et CG. Puis comparer les triangles DBF et CDG e. Démontrer que les droite (DB ) et (CG ) sont perpendiculaires

c. A et C d’une part, B et D d’autre part ont leurs coordonnées opposées : ils sont donc symétriques autour de O, donc ABCD est un parallélogramme ;

2 3 4 5

-1 -2

-3 -4

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

A

B

C D

O E

F

G

2 3 4 -1

-2 -3

-4

2 3 4

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

O

A C

B

E

D I

F

Annexe à rendre avec la copie

2 3 4

-1 -2

-3 -4

2 3 4

-1

-2

-3

-4

1 1

x y

O