Dans le plan complexe Oxy, on trace du côté des x positifs le cercle de rayon unité tangent en O à l’axe des ordonnées. On trace sur la circonférence de ce cercle quatre points A,B,C et D qui ont respectivement pour affixes a, b, c et d. Que devient le quadrilatère ABCD quand les produits ab et cd sont égaux ?
Si l’une des quatre affixes est nulle, par exemple a (A est en O), c ou d est également nul et le quadrilatère a deux sommets confondus en O.
Sinon, dans une inversion de pole O, le cercle considéré est transformé en une droite parallèle à l’axe des ordonnées, et l’on a entre les affixes a’, b’, c’, d’ des inverses A’, B’, C’, D’ de A, B, C, D la même relation a’b’=c’d’, puisque l’affixe de l’inverse est l’inverse de l’affixe du conjugué, et que le conjugué d’un produit est le produit des conjugués. Si l’on écrit cette relation b’/d’=c’/a’=z, on en déduit que B’ et C’ sont les images respectives de D’ et A’ dans une même similitude de centre O, correspondant à l’affixe z. Si a’=d’, b’=c’ A’=D’, B’=C’, A=D, B=C, le quadrilatère a deux paires de sommets confondus. Sinon, les droites D’A’ et B’C’ sont confondues, donc z=1 et B’=D’, A’=C’, B=D, A=C et le quadrilatère a là encore deux paires de sommets confondus.
