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Si pq est pair, le nombre maximal de points d'intersection est

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Academic year: 2022

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(1)

D287. Entrelacements polygonaux D2. Géométrie plane : autres problèmes

Un quadrilatère et un pentagone (l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés) admettent dans le plan n points d’intersection distincts. Déterminer la plus grande valeur possible de n.

Pour les plus courageux : deux polygones, l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés, ont respectivement p et q côtés. Déterminer en fonction de p et de q la plus grande valeur possible du nombre de leurs points d’intersection.

Solution de Paul Voyer

La plus grande valeur trouvée est 16.

Cas général

Le nombre maximal de "pattes" d'un polygone à n côtés est n/2. Chaque côté d'une patte coupe chaque patte de l'autre polygone en 2 points au maximum.

Si pq est pair, le nombre maximal de points d'intersection est

n =

 

 

 

* 2

* 2

4 q

p Ent

Ent

Si pq est impair, le nombre maximal de points d'intersection est

n = 2

* 2

* 2

4  

 

 

 

q

p Ent

Ent

Exemples :

Si p = q = 3, n = 6. Etoile de David

Si p = 3 et q = 5, n = 10

(2)

etc…

Références

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