D287 – Entrelacements polygonaux [*** à la main]
Un quadrilatère et un pentagone (l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés) admettent dans le plan n points d’intersection distincts. Déterminer la plus grande valeur possible de n.
Pour les plus courageux: deux polygones, l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés, ont
respectivement p et q côtés. Déterminer en fonction de p et de q la plus grande valeur possible du nombre de leurs points d’intersection.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Q1: Avec un quadrilatère et un pentagone non croisés il est possible de construire 16 intersections distinctes Dans ce cas , le pentagone étant le seul à posséder un nombre impair de côtés , un de ses 5 côtés ne coupera aucun des 4 côtés du
quadrilatère . On aura dans ce cas q.(p - 1) points d'intersection . ( q : quadrilatère )
Q2:
A) les deux polygones ont un nombre impair de côtés .
a et b sont les nombres de côtés des 2 polygones . n est le nombre de points d'intersection . n = (a - 1).(b - 1) + 2
Par exemple 2 pentagones concaves peuvent générer 18 points d'intersection ; tandis que 2 heptagones peuvent en générer 38 comme ci dessous .
Deux ennéagones concaves non croisés génèrent 66 intersections et deux hendécagones concaves non croisés quant à eux en génèrent 102 .
B) Les deux polygones n'ont pas la même parité : n = q.(p - 1) ( p : nombre impair )
ex: un heptagone et un hexagone concaves non croisés peuvent générer : n = 6 . ( 7 - 1 ) = 36 points . un triangle et un quadrilatère concave non croisé peuvent générer : n = 4 . (3 - 1) = 8 points .
C) Les deux polygones possèdent un nombre pair de côtés . n = p.q ex: deux quadrilatères concaves non croisés : n = 16 Un quadrilatère et un hexagone : n = 24 .
