D287 – Entrelacements polygonaux [*** à la main]
Un quadrilatère et un pentagone (l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés) admettent dans le plan n points d’intersection distincts. Déterminer la plus grande valeur possible de n.
Pour les plus courageux: deux polygones, l’un et l’autre concaves ou convexes mais non croisés, ont respectivement p et q côtés. Déterminer en fonction de p et de q la plus grande valeur possible du nombre de leurs points d’intersection.
Solution proposée par Jean Nicot
Chaque côté d’un polygone P de p côtés, doit, si possible, couper tous les côtés, si possible, de l’autre polygone Q de q côtés.
Il est nécessaire que tous les sommets d’’un polygone soient extérieurs à l’autre polygone.
Un côté de P doit couper un nombre pair de côtés de Q pour avoir ses extrémités à l’extérieur de Q.
Si q est impair, un côté ne sera pas coupé. Les rôles de P et Q sont similaires ; si p est impair, une arête ne générera pas d’intersections.
Si l'un au moins des deux termes p et q est pair,le nombre d’intersections est donc (p-p%2)*(q-q%2) où % représente modulo
Si les deux termes p et q sont impairs,le nombre d’intersections est (p-1)*(q-1) + 2 Pour un pentagone et un quadrilatère (5-1)*(4-0)=16 intersections.
