Perturbations Convexes et Non Convexes des Équations d'Évolution

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Perturbations Convexes et Non Convexes des Équations d’Évolution

H Benabdellah, A. Faik

To cite this version:

H Benabdellah, A. Faik. Perturbations Convexes et Non Convexes des Équations d’Évolution . Por- tugaliae Mathematica, European Mathematical Society Publishing House, 1996, 53 (2), pp.187-208.

�hal-01660018�

PERTURBATIONS CONVEXES ET NON CONVEXES DES ´ EQUATIONS D’´ EVOLUTION

H. Benabdellah et A. Faik

Abstract: This paper is concerned with the evolution inclusion x

∈ −Ax + F ( t, x ), where A is a m -accretive operator and F is a weakly compact valued multifunction measurable in t , upper semicontinuous in x . We prove the existence of solutions under various assumptions on the operator A and the perturbation F .

0 – Introduction

Dans ce travail on ´ etudie l’existence des solutions pour les perturbations con- vexes et non convexes des ´ equations d’´ evolution de la forme ^du _dt ∈ − Au(t) + F (t, u(t)), o` u A est un op´ erateur m-accr´ etif ` a valeurs dans un espace de Banach de dual strictement convexe et F une multifonction ` a valeurs convexes faiblement compactes telle que ∀ t, F (t, · ) soit semi-continue sup´ erieurement et ∀ x F ( · , x) admet au moins une s´ election measurable via une nouvelle version du th´ eor` eme de Scorza–Dragoni, due ` a Castaing–Monteiro Marques [8] et une nouvelle exten- sion du th´ eor` eme de Dugundji. Les r´ esultats obtenus ´ etendent en particulier ceux donn´ es dans [1], [4], [5], [15]. On donne aussi un nouveau r´ esultat d’existence des solutions absolument continues pour l’inclusion diff´ erentielle:

x(t) ˙ ∈ F (x(t)), x(0) = x

,

o` u F est une multifonction semi-continue sup´ erieurement ` a valeurs faiblement compactes non vides dans un espace de Banach r´ eflexif E s´ eparable et v´ erifiant

Keywords : Accretive operator, upper semicontinuous multifunctions, subdifferenial.

l’inclusion suivante:

F (Au) ⊂ ∂(γ ◦ A)(u) , ∀ u ∈ E

,

o` u A est un op´ erateur lin´ eaire compact “auto-adjoint” de E

dans E et γ est une fonction num´ erique localement lipschitzienne r´ eguli` ere sur E . Nos tech- niques permettent ´ egalement d’obtenir l’existence de solutions des ´ equations de la forme <sup>du</sup> <sub>dt</sub> ∈ − ∂Φ(u(t)) + F (u(t)), o` u Φ est une fonction convexe semi-continue inf´ erieurement propre d´ efinie sur un espace de Hilbert H telle que, la fonc- tion x → Φ(x) + x

soit inf-compacte, F est une multifunction semi-continue sup´ erieurement ` a valeurs compactes non vides de H et v´ erifiant l’inclusion sui- vante:

F (x) ⊂ ∂γ(x) , ∀ x ∈ H ,

o` u γ est une fonction convexe continue d´ efinie sur H . Les formulations des r´ esultats pr´ esent´ es ici, conduisent ` a de nouvelles perspectives concernant l’´ etude des perturbations convexes et non convexes des ´ equations d’´ evolution dans la ligne des travaux de Cellina–Staicu [10] et Benabdellah–Castaing–Salvadori [3], car la plupart des probl` emes de ce type demeurent ouverts.

1 – Notations et pr´ eliminaires

Dans tout ce qui suit, nous d´ esignerons par:

– E un espace de Banach s´ eparable muni de la norme · , E

le dual topologique de E et E _s

(resp. E _b

) l’espace vectoriel E

muni de la topologie σ(E

, E) (resp. la topologie de la norme);

– B(x, r) (resp. B(x, r)) la boule ferm´ ee (resp. boule ouverte) de centre x et de rayon r de E et B _E (resp. B _E ) la boule unit´ e ferm´ ee (resp. boule unit´ e ouverte) de E;

– cwk(E ) (resp. ck(E)) l’ensemble des parties convexes faiblement compactes non vides (resp. l’ensemble des parties convexes compactes non vides) de E ;

– δ

( · | A) la fonction d’appui d’une partie A de E .

– Si I est l’intervalle [0, T ] de I R , λ est la mesure de Lebesgue d´ efinie sur I et L (I ) la tribu des parties Lebesgue measurables de I;

– L

_E (I ) l’espace de Banach des fonctions f : I → E Bochner Lebesgue- int´ egrables muni de sa norme habituelle et L

_E

s

(I ) son dual topologique (cf.

A. et C. Ionescu Tulcea [18]);

– C E (I) l’espace des fonctions continues u : I → E muni de la norme, u

= sup { u(t) , t ∈ I } ;

– Si X est un espace topologique, B (X ) d´ esigne la tribu bor´ elienne de X ; – co A l’enveloppe convexe d’une partie A ⊂ E .

D´ efinition 1.1. Un op´ erateur (ou une multifonction) F : X → E est dit semi-continu sup´ erieurement (s.c.s.) si pour tout x

∈ X et tout ouvert W de E tel que F (x

) ⊂ W , il existe un voisinage V (x

) de x

dans X tel que:

F (V (x

)) ⊂ W .

2 – R´ esultats fondamentaux

Dans cette section on rappelle et on r´ esume quelques r´ esultats de base qui seront utilis´ es dans la suite. Le r´ esultat suivant est une version multivoque du th´ eor` eme de Scorza–Dragoni due ` a Castaing–Marques (cf. [8], Corollary 2.5).

Th´ eor` eme 2.1. Soient I = [0, T ] et X un espace Polonais. Soient Y un sous-ensemble convexe compact m´ etrisable d’un espace de Hausdorff localement convexe et ck(Y ) l’ensemble des convexes compacts non vides de Y . Soit F : I × X → ck(Y ) une multifonction telle que

i ) Pour tout t ∈ I, la multifonction x → F (t, x) est de graphe ferm´ e dans X × Y ;

ii ) Pour tout x ∈ X , la multifunction t → F (t, x) admet une s´ election mesurable.

Alors, il existe une multifonction F

: I × X → ck(Y ) ∪ {∅} dont le graphe appartient ` a L (I) ⊗ B (X ) ⊗ B (Y ) qui poss` ede les propri´ et´ es suivantes:

1 ) Il existe un n´ egligeable N ⊂ I tel que:

F

(t, x) ⊂ F (t, x) , ∀ t / ∈ N, ∀ x ∈ X ,

2 ) Si u : I → X et v : I → Y sont deux applications L (I)-measurables telles que v(t) ∈ F (t, u(t)) p.p. sur I, alors v(t) ∈ F

(t, u(t)) p.p. sur I;

3 ) Pour tout ε > 0, il existe un compact J _ε ⊂ I , tel que λ(I \ J _ε ) < ε et tel que la restriction F

_J

_X

soit de graphe ferm´ e et v´ erifie:

∅ = F

(t, x) ⊂ F (t, x) , ∀ (t, x) ∈ J _ε × X .

Avant d’´ enoncer notre premier r´ esultat, rappelons deux notions classiquement connues. Soient E un espace topologique et U une partie de E,

(1) On appelle recouvrement localement fini de U , tout recouvrement d’ou- verts (V _λ ) _λ

de U tel que: pour tout x ∈ U , il existe un voisinage ouvert V de x tel que l’ensemble { λ ∈ Λ : V _λ ∩ V = ∅} soit fini.

(2) Une famille de fonctions continues (Ψ _λ ) _λ

de E vers [0, 1] est dite une partition continue de l’unit´ e subordonn´ ee au recouvrement (V _λ ) _λ

si pour tout λ ∈ Λ, supp(Ψ _λ ) ⊂ V _λ et pour tout x ∈ V on a: _λ

Ψ _λ (x) = 1.

Si E est un espace de Banach, U , K deux parties de E et t ∈ E , on pose:

d(U, K) = inf r − s : s ∈ K, r ∈ U , dist(t, U ) = inf t − s : s ∈ U .

Le r´ esultat suivant est une version multivoque du th´ eor` eme classique de Dugundji (cf. [13], chap. 2, Th´ eor` eme 7.2).

Th´ eor` eme 2.2. Soient E et X deux espaces de Banach. Soient K ⊂ E, D ⊂ X deux ferm´ es non vides et F : K × D → cwk(X ) une multifonction semi-continue sup´ erieurement telle que

∀ (t, x) ∈ (K × D) , F (t, x) ⊂ c(t) (1 + x ) B _X ,

o` u c est une fonction positive d´ efinie sur K. Soit (U _λ ) _λ

un recouvrement ouvert localement fini de (E \ K) tel que

∀ λ ∈ Λ , 0 < diam U _λ ≤ d(U _λ , K) .

Soit (Ψ _λ ) _λ

une partition continue de l’unit´ e de E \ K relativement au recouvre- ment (U _λ ) _λ

. Pour tout λ ∈ Λ, soit t _λ ∈ K tel que

dist(t _λ , U _λ ) < 2 d(U _λ , K) . Alors, la multifonction F d´ efinie sur E × D, par:

F (t, x) =

F (t, x), si t ∈ K, x ∈ D,

λ Ψ _λ (t) F (t _λ , x), si t ∈ E \ K, x ∈ D ,

est une extension semi-continue sup´ erieurement de F ` a E × D ` a valeurs dans

cwk(X ). De plus on a F (E × D) ⊂ co F (K × D) et si c est constante, on a

F (t, x) ⊂ c(1 + x ) B _X . En particulier, si pour tout (t, x), F (t, x) ⊂ C o` u C est un convexe de X , alors F (t, x) ⊂ C.

D´ emonstration: 1) Montrons d’abord qu’il existe un recouvrement ouvert localement fini de E \ K poss´ edant la propri´ et´ e cit´ ee dans l’´ enonc´ e Pour cela, pour tout t ∈ E \ K , choisissons r(t) tel que 0 < r(t) <

dist(t, K ) et posons B _t : = B(t, r(t)) (boule ouverte dans E de centre t et de rayon r(t)).

Trivialement, on a: E \ K = _t

_E

_K B _t . D’autre part, pour tout t ∈ E \ K, diam B _t = 2 r(t) ≤ d(B _t , K). En effet,

∀ (t

, s) ∈ B _t × K, t

− s ≥ t − s − t

− t > 2 r(t) .

Puisque E \ K est un espace paracompact, il existe un sous-recouvrement locale- ment fini (U _λ ) _λ

du recouvrement ouvert (B _t ) _t

_E

_K . Rappelons que ceci signifie que (U _λ ) est un recouvrement d’ouverts de E \ K tel que pour tout t ∈ E \ K , il existe un voisinage V de t tel que { λ ∈ Λ : U _λ ∩ V (t) = ∅} est fini et pour tout λ ∈ Λ, il existe t _λ ∈ E \ K tel que U _λ ⊂ B _t

. Par cons´ equent,

diam U _λ ≤ d(B _t

, K) ≤ d(U _λ , K) .

2 ) Soit F la multifonction d´ efinie dans l’´ enonc´ e du th´ eor` eme. Il est clair que F | K

D = F et que F (E × D) ⊂ co F (K × D). De plus pour tout couple (t, x) ∈ E × D, F (t, x) ∈ cwk(X ). En effet si t ∈ E \ K , l’ensemble Λ _t : = { λ ∈ Λ:

Ψ _λ (t) = 0 } est fini. Par suite, pour tout x ∈ D, l’ensemble F (t, x) est combinaison convexe finie d’ensembles F (t _λ , x) ∈ cwk(X ), λ ∈ Λ _t .

Prouvons maintenant que F est semi-continue sup´ erieurement sur E × D.

Nous allons proc´ eder en plusieurs ´ etapes:

(a) Montrons que F est s.c.s. sur l’ouvert relatif (E \ K) × D. Pour cela soit (t

, x

) ∈ (E \ K) × D fix´ e, choisissons V (t

) un voisinage de t

avec V (t

) ⊂ E \ K tel que l’ensemble { λ ∈ Λ : U _λ ∩ V (t

) = ∅} soit fini, disons ´ egal ` a { λ

, ..., λ _p } . On a

c(t _λ

) (1 + x ) < max

0≤

i

p c(t _λ

) (2 + x ) . Consid´ erons, alors un r´ eel M > 0 tel que

M > max

0≤

i

p c(t _λ

) (2 + x

) .

Puisque chaque fonction Ψ _λ

est continue en t

et chaque F (t _λ

, · ) est s.c.s. en

x

, alors pour tout ε > 0, il existe δ ∈ ]0, 1] tel que B(t

, δ) ⊂ V (t

) ⊂ E \ K et

∀ (t, x) ∈ B(t

, δ) × (D ∩ B(x

, δ)), on a:

Ψ _λ

(t) − Ψ _λ

(t

) < ε

M (p + 1) et F (t _λ

, x) ⊂ F (t _λ

, x

) + ε B _X . On a c(t _λ

) (1 + x ) ≤ c(t _λ

) (2 + x

) < M et

Ψ _λ

(t) F (t _λ

, x) ⊂ Ψ _λ

(t

) F (t _λ

, x) + Ψ _λ

(t) − Ψ _λ

(t

) F (t _λ

, x) . Donc,

Ψ _λ

(t) F (t _λ

, x) ⊂ Ψ(λ _i )(t

) F (t _λ

, x

) + ε B _X + ε

M (p + 1) c(t _λ

) (1 + x ) B _X

⊂ Ψ _λ

(t

) F (t _λ

, x

) +

Ψ _λ

(t

) + 1 p + 1

ε B _X .

D’autre part, si t ∈ B(t

, δ) ⊂ V (t

) alors Λ _t est contenu dans { λ

, ..., λ _p } , car pour tout λ le support de chaque fonction Ψ _λ est contenu dans U _λ . Donc pour tout couple (t, x) ∈ B(t

, δ) × (D ∩ B(x

, δ)), on a:

F (t, x) = p i

Ψ _λ

(t) F (t _λ

, x) ⊂

⊂ p i

Ψ _λ

(t

) F (t _λ

, x

) +

Ψ _λ

(t

) + 1 p + 1

ε B _X

.

Par suite, ∀ (t, x) ∈ B(t

, δ) × (D ∩ B(x

, δ)), on a:

F (t, x) ⊂ F (t

, x

) + 2 ε B _X .

(b) Puisque la multifonction F est s.c.s. sur K × D, alors F l’est aussi sur l’ouvert relatif (int K) × D (si cet ensemble n’est pas vide).

(c) Montrons que F est s.c.s. en chaque point (t

, x

) ∈ ∂K × D, o` u ∂K est la fronti` ere de K. Soit ε > 0, puisque F = F sur K × D et que la multifonction F est s.c.s., il existe un r´ eel δ > 0 tel que ∀ (t, x) ∈ B(t

, δ) × (D ∩ B(x

, δ)), on a:

(2.2.1) F (t, x) ⊂ F (t

, x

) + ε B _X .

Nous allons montrer que pour tout t ∈ (E \ K) ∩ B(t

, ^δ

) et tout x ∈ D ∩ B(x

, δ),

on a: F (t, x) ⊂ F (t

, x

) + ε B _X , ce qui compte tenu de (2.2.1) ach` evera la

d´ emonstration. Soit t ∈ E \ K tel que t − t

<

^δ . Le choix de t _λ et de l’estimation

sur le diam` etre de U _λ impliquent que pour tout λ ∈ Λ tel que Ψ _λ (t) = 0 (t ∈ U _λ ), on a:

t − t _λ ≤ dist(t _λ , U _λ ) + diam U _λ ≤ 3 d(U _λ , K) .

D’o` u, t − t _λ ≤ 3 t − t

. Il s’ensuit que t _λ − t

≤ 4 t − t

< δ. Comme t _λ ∈ K , (2.2.1) implique que:

∀ x ∈ D ∩ B(x

, δ) , F (t _λ , x) ⊂ F (t

, x

) + ε B _X . Donc, pour tout t ∈ (E \ K) ∩ B(t

, ^δ

) et tout x ∈ D ∩ B(x

, δ), on a:

F (t, x) ⊂

λ

Ψ _λ (t) F (t

, x

) + ε B _X .

Par suite, F (t, x) ⊂ F (t

, x

) + ε B _X = F (t

, x

) + ε B _X . Ceci termine la d´ emonstration.

Rappelons maintenant quelques d´ efinitions n´ ecessaires dans l’´ etude des ´ equa- tions d’´ evolution (cf. B´ enilan–Brezis [4] et Vrabie [19]). Soit H un espace de Hilbert.

D´ efinition 2.3. Une fonction Φ : H → I R ∪ {∞} est inf-compacte si pour tout r > 0, l’ensemble I _r = { x ∈ H : Φ(x) ≤ r } est compacte dans H .

Remarque 2.4. D’apr` es un r´ esultat de Konishi et Br´ ezis (cf. [19], Propo- sition 2.2.2, p. 57), si la fonction x → Φ(x) + x

est inf-compacte, alors le semi-groupe engendr´ e par ∂Φ (cf. [19]) est compacte sur dom ∂Φ, i.e. l’op´ erateur

∂Φ est de type compact.

Soit F : I × H → ck(H ) une multifonction ` a valeurs convexes compactes dans H , et Φ : H → I R ∪ {∞} une fonction convexe, semi-continue inf´ erieurement et propre. On consid` ere le probl` eme d’´ evolution suivant:

(P

)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt (t) ∈ − ∂Φ(u(t)) + F (t, u(t)) p.p. sur I , u(0) = u

∈ dom ∂Φ .

D´ efinition 2.5. Une fonction continue u : I → H est appel´ ee solution forte du probl` eme (P

) si elle v´ erifie les conditions suivantes:

i ) u est absolument continue sur tout sous-intervalle compact de ]0, T [ (donc

p.p. diff´ erentiable), u(t) ∈ dom ∂Φ p.p. sur I et u(0) = u

;

ii ) Il existe une fonction f ∈ L

_H (I) telle que pour presque tout t ∈ I, on ait:

f (t) ∈ F (t, u(t)) et du

dt (t) ∈ − ∂Φ(u(t)) + f (t) .

Remarque 2.6. La condition ii) ´ equivaut ` a dire que u est solution forte au sens de Br´ ezis [4] du probl` eme d’´ evolution

(P

)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt (t) ∈ − ∂Φ(u(t)) + f (t) p.p. sur I , u(0) = u

∈ dom ∂Φ .

Rappelons le r´ esultat suivant que est dˆ u ` a Br´ ezis (cf. [4], [6], [7]).

Th´ eor` eme 2.7. Soient H un espace de Hilbert et Φ : H → I R ∪ {∞}

une fonction convexe semi-continue inf´ erieurement, propre telle que la fonction x → Φ(x) + x

soit inf-compacte. Si f ∈ L

_H (I ), alors pour tout u

∈ dom ∂Φ, l’´ equation (P

) admet une unique solution forte dans C E (I ) v´ erifiant:

1 ) t → √

t ^du _dt ∈ L

_H (I) et la fonction t → Φ(u(t)) est absolument continue sur tout sous-intervalle compact de l’intervalle ]0, T ].

2 ) du(t) dt

+ dΦ(u(t))

dt =

f (t), du(t) dt

p.p. sur ]0, T [.

3 ) Si u(0) ∈ dom Φ et Φ ≥ 0, alors:

a ) ^du _dt ∈ L

_H ,

b ) | ^du _dt | L

≤ | f | L

+ Φ(u

),

c ) t → Φ(u(t)) est absolument continue sur I .

Nous d´ esignerons dans tout ce qui suit par u _f l’unique solution forte du probl` eme (P

) associ´ ee ` a la perturbation f .

Soit maintenant E un espace de Banach s´ eparable. Pour tout couple (x, y) d’´ el´ ements de E , on pose

x, y

: = sup { y, x

: x

∈ j (x) } o` u j est l’application de dualit´ e de E d´ efinie par

j(x) : = x

∈ E

: x, x

= x

= x

, ∀ x ∈ E ,

l’ensemble { x

∈ E

: x, x

= x

= x

} est non vide (d’apr` es le th´ eor` eme

de Hahn–Banach).

D´ efinition 2.8. Un op´ erateur A d´ efini sur E est dit m-accr´ etif s’il v´ erifie les deux propri´ et´ es suivantes:

i ) Pour tout (x _i , y _i ) (i = 1, 2), avec y _i ∈ Ax _i , on a: y

− y

, x

− x

≥ 0;

ii ) L’application I + A est surjective.

Consid´ erons le probl` eme d’´ evolution suivant:

(P

)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt (t) ∈ − Au(t) + F (t, u(t)) p.p. sur I , u(0) = u

∈ dom A ,

o` u A est un op´ erateur m-accr´ etif de domaine dom A, F : I × dom A → ck(E ) une multifonction telle que, pour tout t ∈ I , F (t, · ) est semi-continue sup´ erieurement, et pour tout x ∈ dom A, F ( · , x) admet une s´ election mesurable.

D´ efinition 2.9. Une fonction continue u : I → E est appel´ ee solution int´ egrale de l’´ equation (P

) s’il existe une fonction f ∈ L

_E (I) telle que

i ) u(0) = u

∈ dom A et pour tout t ∈ I, u(t) ∈ dom A;

ii ) f (t) ∈ F (t, u(t)) p.p. sur I;

iii ) Pour tout x ∈ dom A, tout y ∈ Ax et tous s, t ∈ I avec 0 ≤ s ≤ t ≤ T , on a l’in´ egalit´ e suivante:

(2.9.1) u(t) − x

≤ u(s) − x

+ 2 _t

s f (t) − y, u(t) − x

dt (cf. Vrabie [19], Remarque I.7.1).

Introduisons la d´ efinition suivante:

D´ efinition 2.10. Un op´ erateur m-accr´ etif A est dit de type compact si, pour tout ensemble uniform´ ement int´ egrable H dans L

_E (I), l’ensemble X : = { u _f , f ∈ H} o` u u _f est l’unique solution int´ egrale de

(P

)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt (t) ∈ − Au(t) + f (t) p.p. sur I , u(0) = u

∈ dom A .

est relativement compact dans C E (I).

Ceci ´ etant, rappelons les deux r´ esultats suivants (cf. [14], chap. I):

Lemme 2.11. On suppose que le dual fort de E est strictement convexe et que A est un op´ erateur m-accr´ etif de type compact. Soient Γ une multifonc- tion mesurable, int´ egrablement born´ ee, d´ efinie sur I ` a valeurs dans ck(E), S

l’ensemble des s´ elections int´ egrables de Γ et X : = { u _f , f ∈ S

} o` u u _f est l’unique solution int´ egrale de l’´ equation (P

). Alors l’application f → u _f est continue de S

dans X lorsque S

est muni de la topologie faible σ(L

_E (I ), L

_E

s

(I )) et X de la topologie de la convergence uniforme sur C ^E (I).

Th´ eor` eme 2.12. Soient E et A v´ erifiant les hypoth` eses pr´ ec´ edentes et F une multifonction de I × dom A ` a valeurs dans ck(E ) telle que:

i ) Pour tout x ∈ dom A, F ( · , x) est mesurable;

ii ) Pour tout t ∈ I, F (t, · ) est semi-continue sup´ erieurement;

iii ) Il existe une fonction c ∈ L

(I) et un ensemble convexe compact ´ equilibr´ e K ⊂ E tels que, pour tout (t, x) ∈ I × dom A, on a:

F (t, x) ⊂ c(t) (1 + x ) K .

Alors pour tout u

∈ dom A, l’ensemble des solutions int´ egrales de l’´ equa- tion (P

) est non vide et compact dans C ^E (I).

D´ emonstration: A. Fa¨ık ([14], chap. I).

3 – R´ esultats d’existence

Munis des outils et r´ esultats ´ enonc´ es dans la section pr´ ec´ edente, on est en mesure de pr´ esenter dans ce paragraphe des th´ eor` emes d’existence de solutions pour des probl` emes d’´ evolution avec des perturbations convexes et non convexes.

Th´ eor` eme 3.1. Soient H un espace de Hilbert s´ eparable et Φ : H → I R ∪ {∞} une fonction convexe, semi-continue inf´ erieurement et propre telle que la fonction Φ( · ) + ·

soit inf-compacte. Soient K un ensemble convexe compact dans H et F : I × H → ck(H ) une multifonction tels que:

i ) Pour tout (t, x) ∈ I × H , F (t, x) ⊂ K ;

ii ) Pour tout t ∈ I, la multifonction F (t, · ) est semi-continue sup´ erieurement;

iii ) Pour tout x ∈ H , la multifonction t → F (t, x) admet une s´ election

mesurable.

Alors pour tout u

∈ dom ∂Φ, l’´ equation

(P

)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt (t) ∈ − ∂Φ(u(t)) + F (t, u(t)) p.p. sur I , u(0) = u

∈ dom ∂Φ ,

admet au moins une solution forte.

D´ emonstration: En vertu du Th´ eor` eme 2.1, il existe une multifonction de graphe mesurable F

: I × H → ck(H ) ∪ {∅} v´ erifiant:

( a ) Il existe un n´ egligeable N ind´ ependant de (t, x) ∈ I × H tel que F

(t, x) ⊂ F (t, x) , ∀ (t, x) ∈ (I \ N ) × H ;

( b ) Si u et v sont deux fonctions mesurables de I dans H telles que v(t) ∈ F (t, u(t)) p.p. sur I, alors v(t) ∈ F

(t, u(t)) p.p. sur I;

( c ) Pour tout n > 0, il existe un compact J _n ⊂ I, avec λ(I \ J _n ) < _n

, el que la restriction F

(Jn×H)

soit semi-continue sup´ erieurement et telle que

∅ = F

(t, x) ⊂ F (t, x) , ∀ (t, x) ∈ J _n × H .

Ainsi (c) implique l’existence d’une suite croissante de compacts (J _n ) _n

dans I , telle que pour tout n > 0, F

(Jn×H)

est s.c.s. ` a valeurs convexes, compactes non vides dans H . Donc en vertu du Th´ eor` eme 2.2, pour tout n > 0, la multifonction F

(Jn×H)

admet une extension s.c.s. F _n : I × H → ck(H ) telle que:

(3.1.1) F _n (t, x) ⊂ K sur I × H et F _n (t, x) = F

(t, x) sur J _n × H . Par suite, pour tout n > 0, d’apr` es un r´ esultat dˆ u ` a Attouch et Damlamian (cf.

[1], Th´ eor` eme 4.1), on a: pour tout u

∈ dom ∂Φ, on peut trouver une fonction u _n ∈ C ^E (I) qui est une solution forte de l’´ equation:

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du _n

dt (t) ∈ − ∂Φ(u _n (t)) + F _n (t, u _n (t)) p.p. sur I , u _n (0) = u

∈ dom ∂Φ .

Donc u _n est absolument continue sur tout sous-intervalle compact de ]0, T [ et il existe une fonction mesurable f _n : I → H telle que:

(3.1.2) f _n (t) ∈ F _n (t, u _n (t)) et du _n

dt (t) ∈ − ∂Φ(u _n (t)) + f _n (t) p.p. sur I .

En vertu de (3.1.1), la suite (f _n ) _n

demeure dans l’ensemble faiblement com- pact S _K

= { f ∈ L

_H (I) : f (t) ∈ K p.p. } . Par suite, il existe une sous-suite (f _n

) qui converge faiblement vers une fonction f ∈ S _K

. Donc en vertu de [1], Proposi- tion 4.2, la sous-suite (u _n

) de (u _n ) _n

converge uniform´ ement vers une fonction u _f dans C E (I) telle que u _f est la solution forte de l’´ equation:

du _f

dt (t) ∈ − ∂Φ(u _f (t)) + f (t) p.p. sur I et u(0) = u

, f ∈ S _K

.

Pour terminer la d´ emonstration, il suffit donc de montrer que f (t) ∈ F (t, u _f (t)) p.p.. D’apr` es (3.1.2) pour tout n > 0, il existe un ensemble n´ egligeable N _n ⊂ I tel que pour tout t / ∈ N _n , f _n (t) ∈ F _n (t, u _n (t)).

Posons N

= (I \ ( _n J _n )) ∪ ( _n N _n ), donc pour tout t / ∈ N

fix´ e, il existe un entier p(t) > 0 tel que pour tout n ≥ p(t), t ∈ J _n \ N _n et f _n (t) ∈ F

(t, u _n (t)). Par suite, grˆ ace ` a la semi-continuit´ e sup´ erieure de F

, on a:

∀ y ∈ H, lim sup

n

δ

(y, F

(t, u _n (t))) ≤ δ

(y, F

(t, u _f (t))) .

Donc pour tout t / ∈ N

, on a: lim sup _n y, f _n (t) ≤ δ

(y, F

(t, u _f (t))). Comme la fonction t → δ

(y, F

(t, u(t))) est mesurable, il r´ esulte du lemme de Fatou que pour tout partie Lebesgue mesurable B de I, on a:

B y, f (t) dt = lim

n

B y, f _n (t) dt ≤

B

δ

(y, F

(t, u _f (t))) dt .

D’o` u f (t) ∈ F

(t, u _f (t)) ⊂ F (t, u _f (t)) p.p. sur I. Ceci termine la d´ emonstration.

Le th´ eor` eme suivant fournit un crit` ere d’existence de solutions int´ egrales pour des probl` emes d’´ evolution classiques de type (P

) (cf. [15], [19]) avec une pertur- bation convexe.

Th´ eor` eme 3.2. Soient E un espace de Banach s´ eparable dont le dual fort est strictement convexe, et A un op´ erateur m-accr´ etif de type compact d´ efini sur E . Soit F une multifonction d´ efinie sur I × dom A ` a valeurs dans ck(E) telle que:

i ) Il existe un sous-ensemble convexe compact K dans E tel que

∀ (t, x) ∈ I × dom A , F (t, x) ⊂ K ;

ii ) Pour tout t ∈ I, la multifonction F (t, · ) est de graphe ferm´ e dans E × K;

iii ) Pour tout x ∈ dom A, la multifonction F ( · , x) admet une s´ election mesu-

rable.

Alors pour tout u

∈ dom A, l’´ equation

(P

)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt (t) ∈ − Au(t) + F (t, u(t)) p.p. sur I , u(0) = u

∈ dom A ,

admet une solution int´ egrale dans C E (I ).

D´ emonstration: Comme dans la d´ emonstration du Th´ eor` eme 3.1, en vertu des hypoth` eses et du Th´ eor` eme 2.1, il existe une suite croissante de compacts (J _n ) _n

dans I et une multifonction F

: I × dom A → ck(E ) telles que

a ) Il existe un n´ egligeable N ind´ ependant de (t, x) ∈ I × dom A tel que F

(t, x) ⊂ F (t, x) , ∀ (t, x) ∈ (I \ N ) × dom A ,

b ) Si u et v sont deux fonctions mesurables de I dans E telles que v(t) ∈ F (t, u(t)) p.p. sur I, alors v(t) ∈ F

(t, u(t)) p.p. sur I,

c ) Pour tout n > 0, λ(I \ J _n ) < _n

et la restriction F

(Jn×domA)

est s.c.s..

En vertu du Th´ eor` eme 2.2, il existe une suite de multifonctions s.c.s. ( F _n ) _n

d´ efinies sur I × dom A ` a valeurs dans ck(E) telles que

(3.2.1) F _n (t, x) ⊂ K sur I × dom A,

F _n (t, x) = F

(t, x) sur J _n × dom A .

Chaque F _n v´ erifie les hypoth` eses du Th´ eor` eme 2.12, donc on peut trouver une fonction continue u _n : I → E, solution int´ egrale de l’´ equation:

(3.2.2)

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du _n

dt (t) ∈ − Au _n (t) + F _n (t, u _n (t)) p.p. sur I , u _n (0) = u

∈ dom A .

Par suite, il existe une fonction mesurable f _n : I → E telle que (3.2.3) f _n (t) ∈ F _n (t, u _n (t)) p.p. sur I

et u _n est solution int´ egrale de l’´ equation du _n

dt (t) ∈ − Au _n (t) + f _n (t) p.p. sur I , u _n (0) = u

∈ dom A .

D’apr` es (3.2.1) et (3.2.2), f _n (t) ∈ K p.p. sur I . Comme l’ensemble S _K

=

{ v ∈ L

_E : v(t) ∈ K p.p. } est σ(L

_E (I), L

_E

(I))-compact (cf. [9], Corollaire V.4), il

existe une sous-suite (f _n

) _k

qui converge faiblement vers une fonction f ∈ L

_E telle que f (t) ∈ K p.p. sur I.

En vertu du Lemme 2.11 la fonction g → u _g (o` u u _g est l’unique solution int´ egrale de (P

)) est continue pour la topologie faible σ(L

_E (I), L

_E

s

(I )) sur S _K

et la topologie de convergence uniforme de C E (I) sur X = { u _g : g ∈ S _K

} . Donc la sous-suite (u _n

) _k

des solutions int´ egrales des probl` emes

du _n

dt (t) ∈ − Au _n

(t) + f _n

(t) sur I , u _n

(0) = u

∈ dom A ,

converge uniform´ ement vers la fonction u _f qui est l’unique solution int´ egrale de l’´ equation (P

).

Pour terminer la d´ emonstration, on montre que f (t) ∈ F (t, u(t)) p.p. sur I, en proc´ edant de la mˆ eme mani` ere que pour le Th´ eor` eme 3.1. Donc u _f est une solution int´ egrale de (P

).

Remarque 3.3. Les deux r´ esultats pr´ ec´ edents restent valables si l’on rem- place la condition i) par

i )

F (t, x) ⊂ (1 + x ) K , ∀ (t, x) ∈ I × E , dans le cas o` u dom A et dom Φ sont born´ es.

Pour terminer cette section, nous ´ etudierons l’existence de solutions de l’inclu- sion diff´ erentielle suivante

(P

)

⎧ ⎨

⎩

˙

x(t) ∈ F (x(t)) p.p. sur I , x(0) = x

,

o` u F est une multifonction s.c.s. d´ efinie sur un espace de Banach r´ eflexif E ` a valeurs compactes et non vides de E , v´ erifiant la condition

( ∗ ) ∀ u ∈ E

, F (Au) ⊂ ∂(γ ◦ A)(u) ,

o` u A est un op´ erateur lin´ eaire compact “auto-adjoint” de E

vers E, γ est une fonction num´ erique localement lipschitzienne sur E et ∂(γ ◦ A)(u) est le gradient g´ en´ eralis´ e de Clarke de γ ◦ A en u. Notons que lorsque dim E < + ∞ , γ convexe et A = id _E , la condition ( ∗ ) se r´ eduit ` a celle de Bressan–Cellina–Colombo [5].

En outre la m´ ethode de discr´ etisation et les hypoth` eses prises ici sont nouvelles

par rapport ` a celles utilis´ ees dans [2] (l` a o` u les solutions sont obtenues au moyen

du lemme de Zorn).

Introduisons d’abord quelques notations. Soient I = [0, T ] ⊂ I R

et ON _d l’ensemble des nombres ordinaux d´ enombrables (cf. e.g. Dellacherie–Meyer [12],

§ 0.8).

D´ efinitions 3.4. 1 ) Nous appelerons subdivision g´ en´ eralis´ ee de I , toute suite (t _α ) _α

_λ d’´ el´ ements de I, avec λ ∈ ON _d telle que t

= 0, t _λ = T et

t _α ≤ t _β si α < β,

t _α = sup _β<α t _β si α est un ordinal limite .

Il est alors facile de montrer que [0, T [ = _α<λ [t _α , t _α

[ (r´ eunion disjointe).

2 ) Pour ε > 0, on d´ enote par E _ε (I) l’ensemble des fonctions θ : I → I telles qu’il existe une subdivision g´ en´ eralis´ ee (t _α ) _α

_λ de I telle que

i ) ∀ α < λ, t _α

∈ ]t _α , t _α + ε];

ii ) Pour tout t ∈ [0, T [, θ(t) = t _α si t ∈ [t _α , t _α

[ (pour α < λ) et θ(T ) = T . Remarque 3.5. Les ´ el´ ements θ formant l’ensemble E _ε (I ), sont des fonctions croissantes telles que:

∀ t ∈ I , θ(t) ≤ t < θ(t) + ε .

Dans ce qui suit, E est un espace de Banach r´ eflexif s´ eparable et pour toute partie B de E, on note par B ^σ l’adh´ erence de B par ` a la topologie faible σ(E

, E).

Soit A : E

→ E un op´ erateur lin´ eaire fortement compact auto-adjoint (i.e.

A

= A, en identifiant E avec son bidual E

) tel que

∀ u ∈ E

\{ 0 } , u, Au > 0 .

Donnons un exemple d’un op´ erateur v´ erifiant de telles propri´ et´ es: Soit (e _n ) _n

une suite dense dans B _E et l’op´ erateur A d´ efini sur E

par

Ax

: =

n

2

ⁿ x

, e _n e _n , ∀ x

∈ E

,

il est alors facile de montrer que A est un op´ erateur lin´ eaire compact auto-adjoint v´ erifiant les hypoth` eses requises.

Soit γ : E → I R une fonction localement lipschitzienne, alors la d´ eriv´ ee direc- tionnelle g´ en´ eralis´ ee de γ en un point x ∈ E suivant la direction v not´ ee γ

(x, v) est d´ efinie par

γ

(x, v) = lim sup

y→xt→0

γ (y + tv) − γ(y) t

(cf. [11], Chap. II, p. 24).

Ceci ´ etant, rappelons la d´ efinition suivante:

D´ efinition 3.6. Soit γ : E → I R une fonction localement lipschitzienne. On dit que γ est une fonction r´ eguli` ere en un point x ∈ E si pour tout v ∈ E , la d´ eriv´ ee directionnelle

γ

(x, v) = lim sup

t

γ (x + tv) − γ(x) t

existe, et on a γ

(x, v) = γ

(x, v) (cf. [11], Chap. II, § 2.3).

Th´ eor` eme 3.7. Soient γ : E → I R une fonction localement lipschitzienne r´ eguli` ere et F une multifonction s.c.s. d´ efinie sur E ` a valeurs compactes non vides de E telle que

( ∗ ) ∀ u ∈ E

, F (Au) ⊂ ∂(γ ◦ A)(u) .

Alors pour tout x

∈ A(E

), il existe T > 0 et une fonction x : [0, T ] → E absolument continue et solution du probl` eme (P

).

D´ emonstration: Comme le sous-diff´ erentiel d’une application localement lipschitzienne est localement born´ e, il existe r > 0 et L > 0 tels que, pour tout x ∈ B(x

, r), ∂γ(x) ⊂ LB _E

(o` u B _E

est la boule unit´ e ferm´ ee de E

).

D’apr` es le choix de A, l’ensemble K : = A(LB _E

) est convexe compact dans E , donc contenu dans un certaine boule B(0, R) (R > 0) de E . Choisissons T > 0 tel que RT < r et posons I = [0, T ]. On a besoin d’abord d’un lemme techniquement difficile.

Lemme 3.8. Avec les hypoth` eses et notations ci-dessus, pour tout ε > 0, il existe θ _ε ∈ E _ε (I ), x _ε ∈ C E (I) et u _ε ∈ L

_E

s

(I) tels que (3.8.1) x _ε (t) = x

+

_t

0

Au _ε (s) ds et x _ε (t) ∈ B(x

, r) , ∀ t ∈ I , pour presque tout t ∈ I, on a:

(3.8.2) u _ε (t) ∈ ∂γ (x _ε (θ _ε (t))) et Au _ε (t) ∈ F (x _ε (θ _ε (t))) , (3.8.3) γ(x _ε (T )) − γ (x

) ≥ ^T

0

u _ε (s), Au _ε (s) ds − ε T .

D´ emonstration du lemme: Soit τ le premier ordinal non d´ enombrable.

Nous allons construire par induction une suite (t _α ) _α<τ dans I, deux suites de

fonctions u _α ∈ L

_E

s

([0, t _α ]) et x _α ∈ C E ([0, t _α ]) (avec α < τ ) telles que

(3.8.4) t _β ≤ t _α , u _α

_,t

= u _β et x _α

_,t

= x _β , pour β < α < τ , (3.8.5) ∀ t ∈ [0, t _α ], u _α (t) ∈ LB _E

s

et x _α (t) ∈ B(x

, r) avec x _α (t) = x

+

_t

0

Au _α (s) ds, pour α < τ . Pour α = β + 1,

si t _β = T, alors t _α = t _β = T, u _α = u _β et x _α = x _β ,

si t _β < T, alors t _α ∈ ]t _β , t _β + ε] et il existe u

_α ∈ ∂γ(x _β (t _β )) tel que Au

_α ∈ F (x _β (t _β )) et pour tout t ∈ ]t _β , t _α ], on a

(3.8.6) u _α (t) = u

_α et x _α (t) = x _β (t _β ) + (t − t _β ) Au

_α . Si α est un ordinal limite, t _α = sup _β<α t _β ,

(3.8.7) x _α (t _α ) = lim

t

t

x _α (t) et u _α (t _α ) ∈ ∂γ (x _α (t _α )) . En plus, notre construction satisfait

(3.8.8) γ (x _α (t _α )) − γ (x

) ≥ ^t

0

u _α (s), Au _α (s) ds − ε t _α pour tout α < τ . Construction: Comme x

∈ A(E

), alors il existe y

∈ E

tel que x

= Ay

. Posons t

= 0, x

(0) = x

et u

(0) = u

o` u u

est fix´ e dans ∂γ(x

).

Soit α < τ et supposons qu’on ait construit (t _β ) _β<α , (u _β ) _β<α et (x _β ) _β<α v´ erifiant les conditions (3.8.4) ` a (3.8.8) ci-dessus. On aura ` a distinguer deux cas:

1

cas: α = β + 1.

Si t _β = T , on posera t _α = t _β = T , u _α = u _β et x _α = x _β . Si t _β < T , d’apr` es (3.8.5) on a

x _β (t _β ) = x

+ _t

0

Au _β (s) ds = A u _β o` u u _β = y

+ _t

0

u _β (s) ds . Par suite d’apr` es ( ∗ ), on a:

F (x _β (t _β )) ⊂ ∂(γ ◦ A)( u _β ) = A

(∂γ (A u _β )) = A(∂γ(x _β (t _β ))) .

Donc on peut choisir u

_α ∈ ∂γ (x _β (t _β )) tel que Au

_α ∈ F (x _β (t _β )). Par d´ efinition de la d´ eriv´ ee directionnelle, il existe δ _α ∈ ]0, inf(ε, T − t _β )] tel que:

(3.8.9) 1

δ

γ x _β (t _β ) + δ _α Au

_α − γ(x _β (t _β )) ≥ γ

(x _β (t _β ); Au

_α ) − ε .

Posons t _α = t _β + δ _α (alors t _α ∈ ]t _β , t _β + ε]) et x _α (t) =

x _β (t) si t ∈ [0, t _β ], x _β (t _β ) + (t − t _β ) Au

_α si t ∈ ]t _β , t _α ] , u _α (t) =

u _β (t) si t ∈ [0, t _β ], u

_α si t ∈ ]t _β , t _α ] .

Il est clair que, par construction les fonctions u _α et x _α v´ erifiant les conditions (3.8.4) ` a (3.8.6).

De plus en vertu de (3.8.8) et (3.8.9), on a

γ (x _α (t _α )) − γ(x

) = γ (x _α (t _α )) − γ(x _β (t _β )) − γ (x _β (t _β )) − γ (x

)

≥ δ _α γ

((x _β (t _β )), Au

_α ) − ε δ _α + _t

0

u _α (s), Au _α (s) ds − ε t _β . Par suite on a

γ (x _α (t _α )) − γ (x

) ≥ (t _α − t _β ) u

_α , Au

_α − ε(t _α − t _β ) +

_t

0

u _β (s), Au _β (s) ds − ε t _β

= _t

0

u _α (s), Au _α (s) ds − ε t _α , donc (3.8.8) est v´ erifi´ ee pour α.

2

cas: α est un ordinal limite.

Posons t _α = sup _β<α t _β et en vertu de (3.8.4) on peut d´ efinir des fonctions x _α : [0, t _α [ → E et u _α : [0, t _α [ → E

par:

∀ β < α , u _α

_,t

= u _β et x _α

_,t

= x _β .

Il reste donc ` a d´ efinir u _α (t _α ) et x _α (t _α ). Soient t, t

dans [0, t _α [; il existe alors β < α tel que t, t

∈ [0, t _β [. Donc, en vertu de (3.8.5) pour β , on a:

x _β (t

) − x _β (t) = _t

t

Au _β (s) ds ≤ R | t

− t | . Par cons´ equent, la limite ` a gauche w _α = lim _t

_t

α

x _α (t) existe dans E . Posons alors x _α (t _α ) = w _α et u _α (t _α ) = v _α o` u v _α ∈ ∂γ (w _α ) fix´ e. Comme α est un ordinal limite, il existe une suite croissante (α _n ) _n

(α _n < α) telle que α = sup _n α _n (cf.

[12], Chap. 0, p. 5).

V´ erifions alors la condition (3.8.5) pour t = t _α = sup _n t _α

. On a x _α (t _α ) = lim

t

t

x

+ _t

0

Au _α (s) ds = lim

n

x

+

_t

0

Au _α (s) ds . Donc en vertu du th´ eor` eme de la convergence domin´ ee, on a

x(α)(t _α ) = x

+ _t

0

Au _α (s) ds .

Il est clair aussi que x _α (t _α ) ∈ B(x

, r) et que u _α (t _α ) ∈ LB _E

s

. La condition (3.8.8) se v´ erifie ´ egalement grˆ ace au th´ eor` eme de convergence domin´ ee puisque, pour tout n ∈ I N

, on a

γ (x _α

(t _α

)) − γ (x

) ≥ ^t

0

u _α

(s), Au _α

(s) ds − ε t _α

il suffit alors de passer ` a la limite quand n tend vers ∞ pour obtenir (3.8.8).

La construction ´ etant termin´ ee, on remarque que l’application α → t _α est croissante de ON _d vers I, donc il existe (cf. e.g. [12], Chap. 0, § 8, Lemme b)) λ < τ tel que ∀ α ≥ λ, t _λ = t _α . Comme t _λ = t _λ

= t _λ

= ..., la condition (3.8.6) implique n´ ecessairement que t _λ = T . Donc (t _α ) _α

_λ est une subdivision g´ en´ eralis´ ee de I . Consid´ erons alors la function θ _λ : I → I d´ efinie par

θ _λ (t) = t _α si t ∈ [t _α , t _α

[, α < λ, θ _λ (T ) = T .

On a θ _λ ∈ E _ε (I) et d’apr` es (3.8.5), (3.8.6), (3.8.7) et (3.8.8), les fonctions θ <sub>ε</sub> : = θ <sub>λ</sub> , x <sub>ε</sub> : = x <sub>λ</sub> et u <sub>ε</sub> : = u <sub>λ</sub> v´ erifient les conditions (3.8.1) ` a (3.8.3) du lemme. Ce qui ach` eve la d´ emonstration du lemme.

Suite de la d´emonstration du Th´eor`eme 3.7: Soit (ε _n ) _n

une suite de nombres strictement positifs qui converge vers 0. D’apr` es le lemme ci-dessus, pour chaque n ∈ I N , il existe θ _n ∈ E _ε

(I), u _n ∈ L

_E

s

et x _n ∈ C E (I ) v´ erifiant les conditions (3.8.1) ` a (3.8.3) pour ε _n . Il est ´ evident que la suite (x _n ) _n

est relativement compacte dans C E (I) puisque (x _n ) est ´ equicontinue

car ∀ t, t

∈ [0, T ], x _n (t

) − x _n (t) ≤ R | t

− t | et v´ erifie x _n (t) ∈ x

+ T K (K est compact dans E).

D’autre part, u _n (t) ∈ LB _E

. Donc (u _n ) _n

est relativement σ(L

_E

s

, L

_E ) com- pacte (en effet, la boule unit´ e du dual L

_E

s

de L

_E est σ(L

_E

s

, L

_E ) faiblement

compacte et m´ etrisable).

Donc on peut trouver x ∈ C E (I), u ∈ L

_E

s

et deux sous-suites (x _n

) de (x _n ) et (u _n

) de (u _n ) qui convergent respectivement vers x dans C E (I) et vers u pour σ(L

_E

s

, L

_E ). Comme E est r´ eflexif s´ eparable et A est lin´ eaire continu, il est facile de montrer que Au _n

converge vers Au pour σ(L

_E , L

_E

s

). Il en r´ esulte imm´ ediatement que

(3.8.10) ∀ t ∈ I , x(t) = x

+ _t

0

Au(s) ds .

D’autre part, pour tout n > 0, on a x _n (θ _n (t)) − x(t) ≤ x _n (t) − x(t) + R ε _n . Donc, pour tout t ∈ I, on a lim _n

x _n (θ _n (t)) = x(t).

Comme u _n

(t) ∈ ∂γ (x _n

(θ _n

(t))) p.p. sur I, et ∂γ ´ etant une multifonction s.c.s. (cf. [17], Proposition I.17) il r´ esulte d’un th´ eor` eme classique de fermeture (cf. [9], Th´ eor` eme VI.4) que u(t) ∈ ∂γ (x(t)) p.p.. En vertu de (3.8.10) et de ([3], Proposition 3.4), la fonction (γ ◦ x) est absolument continue et pour presque tout t ∈ I , on a

∂γ (x(t)), Au(t) =

D(γ ◦ x) dt (t)

o` u D(γ ◦ x) est la mesure diff´ erentielle.

Par suite ^D

_dt ^γ

^x

(t) = u(t), Au(t) p.p.. D’autre part, en vertu de (3.8.3), on a

(3.8.11)

lim sup

k

_T

0

u _n

(s), Au _n

(s) ds ≤ γ(x(T )) − γ (x

)

= _T

0

u(s), Au(s) ds . Posons Ψ(x

) = x

, Ax

si x

∈ LB _E

s

et Ψ(x

) = + ∞ ailleurs. Alors Ψ est une fonction σ(E

, E)-s.c.i. et strictement convexe sur E

et (3.8.11) est ´ equivalente ` a

lim sup

k

_T

0

Ψ(u _n

(s)) ds ≤ ^T

0

Ψ(u(s)) ds .

Donc en vertu de la Proposition 3.2 de [3], on a u(t) ∈ Ls ^σ { u _n

(t) } , o` u Ls ^σ { u _n

(t) } : =

_p

{ u _n

(t) : k ≥ p } ^σ . Soit N un n´ egligeable tel que, pour tout t ∈ (I \ N ), u(t) ∈ Ls ^σ { u _n

(t) } et ∀ n > 0, Au _n (t) ∈ F (x _n (θ _n (t))).

Fixons t ∈ (I \ N ), il existe une sous-suite (u _m

(t)) de (u _n

(t)) ((m _k ) d´ ependant

de t) qui converge pour σ(E

, E) vers u(t). Comme A est un op´ erateur lin´ eaire

compact, quitte ` a extraire une sous-suite de (Au _m

(t)), on peut supposer que

Au _m

(t) converge en norme vers y ∈ E . D’autre part, Au _m

(t) converge vers

Au(t) pour σ(E, E

), par suite y = Au(t) et Au _m

(t) converge en norme vers

Au(t). Comme Au _m

(t) ∈ F (x _m

(θ _m

(t))), on en d´ eduit que Au(t) ∈ F (x(t)).

Ce qui ach` eve la d´ emonstration.

Commentaires. Il n’est gu` ere possible d’utiliser les techniques pr´ econis´ ees dans [5] et [10] dans la d´ emonstration du Th´ eor` eme 3.7 car E n’est pas Hilber- tien et γ est suppos´ ee seulement localement lipschitzienne et r´ eguli` ere. Ceci n´ ecessite des techniques nouvelles dans la construction des solutions approch´ ees (cf. Lemme 3.8) et dans la convergence de telles solutions. Dans le cas Hilber- tien, C. Castaing a obtenu l’existence des solutions (locales) absolument continues pour le probl` eme de rafle perturb´ e suivant

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ du

dt ∈ − N _C

_t

(u(t)) + F (u(t)) , u(0) = x

∈ C (0) ,

o` u C est une multifonction lipschitzienne de [0, T ] ` a valeurs convexes compactes non vides de H et F est une multifonction s.c.s. ` a valeurs compactes non vides de H telle que ∀ x ∈ H , F (x) ⊂ A(∂γ (x)) avec A un op´ erateur lineaire compact dans H et γ une fonction convexe continue sur H . Des r´ esultats de ce type ont

´

et´ e obtenus r´ ecemment par A. Syam ([16], Chap. IV) en utilisant des techniques d´ evelop´ ees dans [10].

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H. Benabdellah,

Universit´ e Cadi Ayyad, Facult´ e des Sciences Semlalia, D´ epartement de Math´ ematiques, B.P.: S15-Marrakech – MAROC

and A. Faik,

Universit´ e des Sciences et Techniques du Languedoc,

D´ epartement de Math´ ematiques, Analyse Convexe, case 051, 34095 Montpellier – FRANCE