Universit´e Lille I Ann´ee 2008-2009
Master 2`eme ann´ee Feuille 4
Th´ eor` eme de pr´ eparation de Weierstrass
Exercice 1 (Convergence formelle) Soit X = (X1, . . . , Xn) on note
mk={f ∈C[[X]]|ordf >k}.
On note aussim=m1.
La suite (fn) de C[[X]] converge formellement vers f ∈C[[X]] si
∀k∈N ∃N ∈Ntel que n>N ⇒f−fn∈mk. La suite (fn) de C[[X]] est une suite de Cauchy si
∀k∈N ∃N ∈Ntel que p, q >N ⇒fp−fq∈mk. 1. Montrer que
\
k∈N
mk ={0}.
2. Montrer que toute suite de Cauchy de C[[X]] est formellement convergente.
3. Pour f ∈C[[X]] montrer l’´equivalence entre (a) f est inversible dans C[[X]],
(b) ordf = 0, (c) f /∈m.
Exercice 2 (S´erie convergente) Monter que la s´erie formelle P
kX1k1 ·. . .·Xnkn est une s´erie convergente pour |xk|<1 et que X
k
xk11 ·. . .·xknn = 1
(1−x1)·. . .·(1−xn).
Exercice 3
Prouver le th´eor`eme de pr´eparation de Weierstrass `a partir du th´eor`eme de division.
Exercice 4 (Compl´ement au th´eor`eme de pr´eparation)
Dans le th´eor`eme de pr´eparation de Weierstrass montrer que si la s´erie de d´epartf est en fait dans C{X1, . . . , Xn−1}[Xn] (au lieu de C{X1, . . . , Xn}). Alors l’unit´e α tel que f = αg (o`u g est le polynˆome de Weierstrass) v´erifie aussi α∈C{X1, . . . , Xn−1}[Xn].
Exercice 5 (Th´eor`eme des fonctions implicites)
A l’aide du th´` eor`eme de pr´eparation de Weierstrass pour une s´erie d’ordre 1 montrer le th´eor`eme des fonctions implicites suivant : Soitf ∈C{X1, . . . , Xn, Y} tel que
f(0) = 0 et ∂f
∂Y (0)6= 0, alors il existe un uniqueφ ∈C{X1, . . . , Xn} tel que
φ(0) = 0 et f(X1, . . . , Xn, φ(X1, . . . , Xn)) = 0.
1
Exercice 6 (Lemme d’Hensel)
SoitA =C{X1, . . . , Xn}. Pour f ∈A[y] on note ¯f(Y) = f(0, Y)∈C[Y].f =a0Yk+a1Yk−1+
· · ·ak ∈A[Y] est unitaire si a0 = 1. Montrer que si ¯f(Y) = (Y −α1)k1 ·. . .·(Y −αp)kp o`u les αi ∈C sont distincts alors il existe des polynˆomes unitaires f1, . . . , fp ∈A[Y] tels que
f =f1·. . .·fp, degfi =ki et f¯i = (Y −αi)ki, i= 1, . . . p.
Indication : faire une r´ecurrence surp.
Exercice 7 (Branches locales)
Calculer les ´equations des branches locales de y2 =x2(1 +x).
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