E677. Une issue certaine
Q1 Zig Deux entiers positifs distincts a et b sont écrits au tableau. Au premier tour, on efface le plus petit des deux et on le remplace par la fraction ab/abs(a ‒ b) où abs(.) désigne la valeur absolue de la différence a ‒ b. Le processus se répète aussi longtemps que les deux nombres figurant sur le tableau sont distincts. Démontrer qu'après un nombre fini de tours, les deux nombres sont égaux à un même entier c.
Application numérique: a = 2016 et b = 2044. Déterminer c et le nombre de tours correspondant.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
L’entier est le plus petit multiple commun des entiers de départ ; en particulier partant du couple on aboutit à ; on verra que le nombre de tours vaut 72.
On va discuter au préalable ce qui se passe lorsque, au lieu que deux entiers , sur le tableau sont écrits les réciproques de deux entiers positifs . Supposant par exemple (et donc
) on laisse tel quel ; et on remplace par
. Le nouveau couple est donc
à savoir, en termes des dénominateurs, on passe de à .
La chose se répète jusqu’à ce que le deuxième dénominateur (qui au départ était le plus grand) devient plus petit que le premier. Maintenant on renverse les rôles, mais la règle reste telle quelle : le dénominateur le plus grand est remplacé par la différence des dénominateurs. Le processus se termine lorsque les dénominateurs sont égaux. Dans ce procédé on reconnait l’idée originale de Euclide qui mène à la notion de commensurabilité entre segments : on continue soustraire le segment le plus petit au segment le plus grand et, si le procédé mène à deux segments égaux, les segments de départ sont commensurables et le segment final est leur plus grand diviseur commun.
Deux remarques s’imposent :
Dans le cas des segments il se peut que le procédé ne se termine pas : c’est le cas des segments incommensurables, tels que par exemple le coté et la diagonale d’un carré.
Dans le cas des nombres entiers le procédé s’arrête sûrement et la valeur finale commune des dénominateur est le (Plus Grand Facteur Commun de et ) ; usuellement on accélère l’algorithme en remplaçant le terme le plus grand non pas par la différence « le plus grand moins le plus petit » mais par le reste « le plus grand modulo le plus petit » Il ne reste qu’à remarquer que si un seul coup transforme le couple [ en [ , quel que soit le nombre positif un seul coup transforme le couple [ en ; en d’autre mots, avec notations évidentes, les évolution des couples et sont identiques.
En particulier, revenant à Q1, pour étudier l’évolution du couple on peut se ramener à l’évolution de ; évolution qui, posant , amène au couple final où, comme d’habitude, dénote le plus petit multiple commun.
L’artifice employé est utile aussi pour l’évaluation du nombre de coups : dans l’exemple numérique proposé on a et on est ramené à évaluer le nombre de coups de l’algorithme (non accéléré) appliqué aux dénominateurs 72 et 73 ; en un seul coup on arrive aux dénominateurs 1 et 72, d’où encore 71 coups sont nécessaires pour arriver à la valeur commune 1.
