J137. Super-cavalier
Super-cavalier (3,8) se déplace sur un échiquier de dimensions infinies de 3 cases horizontalement ou verticalement puis de 8 cases dans une direction perpendiculaire à la direction qu’il vient de prendre.
Démontrer qu’il peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente ( i.e. partageant un côté commun). Trouver le nombre minimum de déplacements.
Pour les plus courageux : trouver tous les couples d’entiers (a,b) tels que le super-cavalier (a,b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente.
Soient A, B, C, D, E les translations de vecteurs (3, 8), (3, –8), (8, 3), (8, –3) et (1, 0).
En notant '+' pour la composition de deux translations, l'équation xA +yB +zC +tD = E se résume à 3(x+y)+8(z+t)= 1 et 8(x-y) +3(z-t)= 0.
3(x+y)+8(z+t)= 1 a pour solutions x+y = 3 – 8p et z + t = 3p – 1 8(x-y) +3(z-t)= 0 a pour solutions x–y = 3q et z – t = –8q
x = (3–8p +3q)/2 y = (3–8p–3q)/2 z = (3p – 1 – 8q)/2 t = (3p – 1 +8q)/2 p et q doivent être impairs, soit p=2u + 1 et q= 2w + 1.
x = –8u+3w–1, y = –8u–3w–4, z = 3u–8w–3, t=3u+8w+5 avec u et w entiers relatifs, il faut trouver le minimum de F(u,w) = |8u–3w+1| + |8u+3w+4| + |–3u+8w+3| + |3u+8w+5|.
Une étude sommaire montre que ce minimum est atteint pour (u,w) = (0, 0).
Alors (x, y, z, t) = (–1, –4, –3, +5).
Le nombre minimum de déplacements pour que le Super Cavalier (3,8) aille de sa case de départ à une case adjacente est F(0, 0) =1+4+3+5 = 13.
Initial – A – 4B – 3C +5D
(0, 0) (– 3, – 8) (– 15, +24) (– 39, +15) (+1, 0)
On a bien : – A– 4B– 3C+5D = E
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En remplaçant (8, 3) par (a, b), on devra résoudre en nombres entiers relatifs le système : . b(x+y)+a(z+t)= 1 et a(x-y) +b(z-t)= 0. La première équation exige que a et b soient premiers entre eux ( Bézout ) , il existe alors un couple d'entiers relatifs (m,n) premiers entre eux tel que |m | < a ,
|n | < b, et bm+an = 1, on posera x+y = m + pa et z+t = n – pb, x – y = qb et z – t = –qa , x = (m + pa + qb)/2, y = (m + pa – qb)/2, z = (n – pb – qa)/2, t = (n – pb + qa)/2 Pourra-t-on choisir p et q pour que les quatre parenthèses soient paires ? Si a et b sont de parités contraires, par exemple a pair et b impair, m sera impair, et il faudra q impair, ainsi les deux premières parenthèses seront paires. Il faudra ensuite n – pb pair , ce qui sera toujours possible en choisissant p de même parité que n.
Si a et b sont tous deux impairs, m et n sont de parités contraires, par exemple m pair n impair, il faudrait p et q de même parité pour que x et y soient entiers et au contraire p et q de parités contraires pour que z et t soient entiers. C'est impossible.
Les couples d’entiers strictement positifs (a,b) tels que le super-cavalier (a,b) peut toujours aller de sa case de départ à une case adjacente sont ceux où p.g.c.d.(a,b) = 1 et ab pair.
