Solution du Problème H118
Le résultat k (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) du lancer d'un dé supposé parfait est écrit au tableau. Zig et Puce, chacun à son tour, écrivent sur une même ligne un nombre choisi parmi l'ensemble des 24 premiers nombres naturels 1 à 24, distinct de tous ceux qui ont déjà été écrits, y compris k, tel que la somme des deux derniers nombres inscrits est un carré parfait. La partie s'arrête quand l'un des deux joueurs est bloqué faute d'obtenir un carré ou parce que les 24 entiers ont tous été écrits. Le gagnant est donc celui ou celle qui écrit le dernier nombre. Zig commence.
Quelle est la probabilité de gain de Puce ?
Solution. Si Zig est futé, Puce n’a aucune chance de gagner.
En effet, en joignant les nombres susceptibles d’être écrits à la suite l’un de l’autre, on obtient le graphe :
On peut alors raisonner de la façon suivante : a) Celui qui écrit 7, 14, 5 ou 3 est sûr de perdre,
[Après 7, il suffit d’écrire 18 pour gagner ; après 5, il suffit d’écrire 20 pour ame- ner l’adversaire à 7 ; après 14, il suffit d’écrire 11 pour amener l’adversaire à 5 ; après 3, il suffit d’écrire 22 pour amener l’adversaire à 14.]
En particulier, si le dé donne 3 ou 5, Zig est sûr de pouvoir gagner.
b) Si le dé donne 2, Zig est sûr de pouvoir gagner,
[Sa stratégie est la suivante : il joue 23,… puis 12 et Puce a le choix entre 4 et 24.
— s’il joue 4, il devra rejouer 15 au tour suivant, puis Zig jouera 10 et terminera la suite obligatoire 6, 19, 17, 8, 1, 24,
— s’il joue 24, Zig devra jouer 1 et Puce aura le choix entre 8 et 15…
— s’il joue 8, Zig poursuit la suite 17, …, 15, 21, 4, menant Puce à 5,
— s’il joue 15, Zig joue 10 et termine la suite obligatoire 6, 19, 17, 8.]
c) Si le dé donne 1, Zig est sûr de pouvoir gagner,
[Il joue 24, Puce est obligé de jouer 12, donc il suffit alors à Zig de jouer 13 pour amener Puce à jouer 7 ou 14.]
d) Si le dé donne 4, Zig est sûr de pouvoir gagner,
[Il joue 21, Puce est obligé de jouer 15, donc il suffit alors à Zig de jouer 10 pour amener Puce sur la voie obligatoire 6, 19, 17, 8, 1, 24, 12, 13, etc..]
e) Si le dé donne 6, Zig est sûr de pouvoir gagner,
[Il joue 19, Puce devra jouer 1, puis Zig pourra jouer 24 et forcer Puce dans la voie 12, 13, 23, 2, etc.]
